第5章 四边形 2026年中考数学专题复习课件（山东）

第4节　正方形 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.正方形的判定 (1)有一组邻边_________并且有一个角是_________的平行四边形(定义);  (2)一组邻边_________的矩形;  (3)一个角是_________的菱形;  (4)对角线相等且垂直的平行四边形. 　相等　 　直角　 　相等　 　直角　 ‹#› 1.下列命题为真命题的是( ) A.四边相等的四边形是正方形 B.有一组邻边相等的矩形是正方形 C.对角线相等的四边形是正方形 D.对角线互相垂直且平分的四边形是正方形 对点练习 B ‹#› 2.正方形的性质 (1)正方形的四个角都是_________;  (2)正方形的四条边都_________;  (3)正方形的两条对角线_________且互相_____________,每一条对角线平分一组对角;  (4)既是_________对称图形,又是轴对称图形.  知识要点 　直角　 　相等　 　相等　 　垂直平分　 　中心　 ‹#› 2.(1)正方形具有而矩形不一定具有的性质是( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.四个角都相等 B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 对点练习 D ‹#› (2)正方形具有而菱形不一定具有的性质是( ) A.对角线互相垂直 B.对角线相等 C.对边相等 D.邻边相等 B ‹#› 典型例题 研析 【考点1】正方形的性质 例1　(2025·广安中考)如图,E,F是正方形ABCD的对角线BD上的两点,BD=10,DE=BF,连接AE,AF,CE,CF. (1)求证:△ADE≌△CBF. (2)若四边形AECF的周长为4,求EF的长. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD为正方形, ∴AD=BC,BC∥AD, ∴∠ADE=∠CBF, 在△ADE和△CBF中, , ∴△ADE≌△CBF(SAS). ‹#› (2)连接AC交BD于点O,如图所示: ∵四边形ABCD为正方形,BD=10,∴BD垂直平分AC,OA=OC=OB=OD=BD=5, ∴AF=CF,AE=CE,由(1)可知:△ADE≌△CBF, ∴AE=CF,∴AF=CF=AE=CE, ∴四边形AECF是菱形,∴OF=OE,∴EF=2OF, ∵四边形AECF的周长为4AF=4,∴AF=, 在Rt△AOF中,由勾股定理得:OF===3, ∴EF=2OF=6. ‹#› 变式1-1　(2024·重庆中考B卷)如图,在边长为4的正方形ABCD中,点E是BC上一点,点F是CD延长线上一点,连接AE,AF,AM平分∠EAF交CD于点M.若BE=DF=1,则DM的长度为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.2 B. C. D. D ‹#› 变式1-2　如图,在边长为2的正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD上的动点,M,N分别是EF,AF的中点,则MN的最大值为______.   　 ‹#› 名师点金 特殊四边形性质的区别   矩形 菱形 正方形 边 对边相等 四边相等 四边相等 角 四角相等 对角相等 四角相等 对角线 相等 且平分 垂直且平分 垂直、相等 且平分 ‹#› 【考点2】正方形的判定 例2　如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,分别以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,连接BP,CP. (1)试判断四边形BPCO的形状,并说明理由; (2)请说明当▱ABCD的对角线满足什么条件时,四边形BPCO是正方形. ‹#› 【解析】(1)四边形BPCO为平行四边形. 理由:∵四边形ABCD为平行四边形,∴OC=OA=AC,OB=OD=BD, ∵以点B,C为圆心,AC,BD长为半径画弧,两弧交于点P,∴OB=CP,BP=OC, ∴四边形BPCO为平行四边形; (2)当AC⊥BD,AC=BD时,四边形BPCO为正方形.∵AC⊥BD,∴∠BOC=90°, ∵AC=BD,OB=BD,OC=AC,∴OB=OC, ∵四边形BPCO为平行四边形, ∴四边形BPCO为正方形. ‹#› 变式2　如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点E,F在对角线BD上,且BE=DF,OE=OA.求证:四边形AECF是正方形. ‹#› 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴AC⊥BD,OA=OC,OB=OD, ∵BE=DF, ∴OE=OF, ∴四边形AECF是菱形; ∵OE=OA=OF,∠AOE=∠AOF=90°, ∴△AOE与△AOF为等腰直角三角形, ∴∠OAE=∠OAF=45°, ∴∠EAF=90°, ∴菱形AECF是正方形. ‹#› 中考真题 体验 1.(2023·攀枝花中考)如图,已知正方形ABCD的边长为3,点P是对角线BD上的一点,PF⊥AD于点F,PE⊥AB于点E,连接PC,当PE∶PF=1∶2时,则PC=( ) A. B.2 C. D. C ‹#› 2.(2025·陕西中考)如图,正方形ABCD的边长为4,点E为AB的中点,点F在AD上,EF⊥EC,则△CEF的面积为( ) A.10 B.8 C.5 D.4 C ‹#› 3.(2024·呼伦贝尔、兴安盟中考)如图,边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,E是BC边上一点,F是BD上一点,连接DE,EF.若△DEF与△DEC关于直线DE对称,则△BEF的周长是( ) A.2 B.2+ C.4-2 D. A ‹#› 4.(2025·湖北中考)如图,折叠正方形ABCD的一边BC,使点C落在BD上的点F处,折痕BE交AC于点G.若DE=2,则CG的长是( ) A.　　B.2　　C.+1　　D.2-1 B ‹#› 5.(2024·龙东中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件_______________________,使得菱形ABCD为正方形.  　AC=BD(答案不唯一)　 ‹#› 6.(2025·内江中考)如图,在平面直角坐标系中,正方形ABCD的边AB在x轴上,点B的坐标为(1,0),点E在边CD上.将△ADE沿AE折叠,点D落在点F处.若点F的坐标为(0,3),则点E的坐标为___________.  　(-1.5,5)　 ‹#› 7.(2025·长沙中考)如图,正方形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,且BE=DF. (1)求证:四边形AECF是平行四边形; (2)连接EF,若BC=12,BE=5,求EF的长. ‹#› 【解析】(1)在正方形ABCD中,AB=CD,AB∥CD, ∵BE=DF, ∴AB-BE=CD-DF, ∴AE=CF, 又∵AB∥CD, ∴四边形AECF是平行四边形. ‹#› (2)过点E作EH⊥CD于点H,如图所示: ∴∠EHC=∠EHF=90°, ∵四边形ABCD是正方形,BC=12, ∴AB=BC=CD=AD=12,∠B=∠BCD=90°, ∴∠EHC=∠B=∠BCD=90°, ∴四边形EBCH是矩形, ∴EH=BC=12,CH=BE=5, ∴DH=CD-CH=12-5=7, ∵BE=DF=5,∴HF=DH-DF=7-5=2, 在Rt△EFH中,由勾股定理得:EF===2. ‹#› 本课结束 ‹#› $第2节　矩形 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.矩形的判定 (1)有一个角是_________的平行四边形(定义);  (2)对角线_________的平行四边形;  (3)有三个角是_________的四边形.  　直角　 　相等　 　直角　 ‹#› 1.下列条件中,不能判定平行四边形ABCD是矩形的是( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.∠A=∠C B.∠A=∠B C.AC=BD D.AB⊥BC 对点练习 A ‹#› 2.矩形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)矩形的四个角都是_________;  (2)矩形的对角线_________;  (3)既是_____________图形,又是轴对称图形.  知识要点 　直角　 　相等　 　中心对称　 ‹#› 2.下列语句中,不属于矩形性质的是( ) A.两条对角线互相平分 B.两条对角线相等 C.四个内角都是直角 D.两条对角线互相垂直 对点练习 D ‹#› 典型例题 研析 【考点2】矩形的判定 例1　(2024·长春中考)如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=90°,O是边AB的中点,∠AOD=∠BOC.求证:四边形ABCD是矩形. ‹#› 【证明】由题可知, ∵O是边AB的中点,∴OA=OB,在△AOD和△BOC中, , ∴△AOD≌△BOC(ASA),∴DA=CB,∵∠A=∠B=90°, ∴DA∥CB,∴四边形ABCD是平行四边形, 又∵∠A=90°,∴四边形ABCD是矩形. ‹#› 变式1-1　(2025·北京中考)如图,在△ABC中,D,E分别为AB,AC的中点,DF⊥BC,垂足为F,点G在DE的延长线上,DG=FC. (1)求证:四边形DFCG是矩形; (2)若∠B=45°,DF=3,DG=5,求BC和AC的长. ‹#› 【解析】(1)∵D,E分别为AB,AC的中点, ∴DE是△ABC的中位线, ∴DE∥BC,即DG∥CF, ∵DG=FC, ∴四边形DFCG是平行四边形, 又∵DF⊥BC, ∴平行四边形DFCG是矩形. ‹#› (2)∵DG=5,∴CF=DG=5;∵DF⊥BC,∴∠DFB=90°, 在Rt△BDF中,∠B=45°,DF=3,∴BD===3, BF===3,∴BC=BF+CF=8. ∵点D为AB的中点,∴AB=2BD=6. 如图所示,过点A作AH⊥BC于点H, 在Rt△ABH中,AH=AB·sin B=6·sin 45°=6,BH=AB·cos B=6·cos 45°=6, ∴CH=BC-BH=2,在Rt△AHC中, 由勾股定理得AC===2. ‹#› 变式1-2　(2025·云南中考)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,O是AC的中点.延长BO至点D,使OD=OB.连接AD,CD.记AB=a,BC=b,△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3. (1)求证:四边形ABCD是矩形; (2)若l2-l1=2,l3=28,求AC的长. ‹#› 【解析】(1)∵O是AC的中点,∴OA=OC, ∵OB=OD,∴四边形ABCD是平行四边形, ∵∠ABC=90°,∴平行四边形ABCD是矩形. (2)∵△AOB的周长为l1,△BOC的周长为l2,四边形ABCD的周长为l3, ∴l1=AB+OA+OB,l2=BC+OC+OB,l3=2(AB+BC), ∵OA=OC,AB=a,BC=b, ∴l2-l1=BC-AB=b-a=2,l3=2(a+b)=28, ∴,∴, ∴AB=6,BC=8,∴AC==10. ‹#› 名师点金 　矩形判定思路 (1)条件中有一个角是直角,判定该四边形是平行四边形; (2)四边形中有两个角是直角,找第三个为直角也可判定; (3)条件中有对角线相等,判定该四边形为平行四边形. 注意:(1)除了上述几种常用的判定方法外,还有“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”“两邻角相等的平行四边形是矩形”等. (2)对角线相等的四边形不一定是矩形(如等腰梯形). ‹#› 【考点2】矩形的性质与计算 例2　(2025·烟台中考)如图,BD是矩形ABCD的对角线,请按以下要求解决问题: (1)利用尺规作△BED,使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称(不写作法,保留作图痕迹); (2)在(1)的条件下,若BE交AD于点F,AB=1,BC=2,求AF的长. ‹#› 【解析】(1)如图,△BED即为所求作的三角形. 由作图可得:DE=DC,BE=BC,BD=BD,∴△BCD≌△BED(SSS), ∴△BED即为所求作的三角形; (2)∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=2,AB=CD=1,AD∥BC,∠A=90°, ∴∠ADB=∠CBD,∵∠EBD=∠CBD, ∴∠FBD=∠FDB,∴FB=FD, 设AF=x,则DF=2-x, 在Rt△ABF中,由勾股定理得AB2+AF2=BF2,即12+x2=(2-x)2, 解得:x=,∴AF=. ‹#› 中考真题 体验 1.(2025·泸州中考)矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角相等 A ‹#› 2.(2025·德阳中考)如图,要使平行四边形ABCD是矩形,需要增加的一个条件可以是( ) A.AB∥CD B.AB=BC C.∠B=∠D D.AC=BD D ‹#› 3.(2025·绥化中考)一个矩形的一条对角线长为10,两条对角线的一个交角为60°,则这个矩形的面积是( ) A.25 B.25 C.25 D.50 B ‹#› 4.(2025·辽宁中考)如图,在矩形ABCD中,点E在边AD上,BE=BC,连接CE,若AB=3,AE=4,则CE的长为( ) A.1 B.5 C.2 D. D ‹#› 5.(2023·内江中考)出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一,最早是由三国时期数学家刘徽创建.“将一个几何图形,任意切成多块小图形,几何图形的总面积保持不变,等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一,如图,在矩形ABCD中,AB=5,AD=12,对角线AC与BD交于点O,点E为BC边上的一个动点,EF⊥AC,EG⊥BD,垂足分别为点F,G,则EF+EG=___　.    ‹#› 6.(2025·内江中考)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点E,F分别是边AD,CD上的动点,连接BE,EF,点G为BE的中点,点H为EF的中点,连接GH,则GH的最大值是　____.  5　 ‹#› 7.(2025·青海中考)如图,在△ABC中,点O,D分别是边AB,BC的中点,过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E,连接AD,BE. (1)求证:四边形AEBD是平行四边形; (2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状,并证明. ‹#› 【解析】(1)∵点O是AB的中点, ∴OA=OB.∵AE∥BC, ∴∠EAO=∠DBO,∠AEO=∠BDO, 在△AEO和△BDO中, , ∴△AEO≌△BDO(AAS), ∴AE=BD,∵AE∥BD, ∴四边形AEBD是平行四边形. ‹#› (2)四边形AEBD是矩形.证明如下: ∵AB=AC,点D是BC的中点, ∴AD⊥BC,即∠ADB=90°, ∵由(1)得四边形AEBD是平行四边形, ∴▱AEBD是矩形. ‹#› 本课结束 ‹#› $第二十讲　四边形 第1节　平行四边形 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.平行四边形的概念及性质 (1)概念:两组对边分别　_____　的四边形.  (2)性质 边:对边_______________;角:对角_________;对角线:对角线______________ 平行 　平行且相等　 　相等　 　互相平分　  ‹#› 1.在▱ABCD中(如图),连接AC,已知∠BAC=40°,∠ACB=80°,则∠BCD=( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A.80° B.100° C.120° D.140° 对点练习 C ‹#› 2.平行四边形的判定 (1)边:①两组对边分别_________的四边形;  ②两组对边分别_________的四边形;  ③一组对边_______________的四边形.  (2)角:两组对角分别_________的四边形.  (3)对角线:对角线_____________的四边形.  知识要点 　平行　 　相等　 　平行且相等　 　相等　 　互相平分　 ‹#› 2.下列不能判断一个四边形是平行四边形的是( ) A.一组对边平行且相等的四边形 B.两组对边分别相等的四边形 C.对角线互相平分的四边形 D.一组对边相等,且另一组对边平行的四边形 对点练习 D ‹#› 3.两条平行线之间的距离 (1)如果两条直线平行,那么一条直线上所有的点到另一条直线的距离都_________.  (2)两条平行线中,一条直线上任意一点到另一条直线的_________,叫做两条平行线之间的距离.  知识要点 　相等　 　距离　 ‹#› 对点练习 3.如图,AD,CE是△ABC的高,过点A作AF∥BC,则下列线段的长可表示图中两条平行线之间的距离的是( ) A.AB　　B.AD　　C.CE　　D.AC B ‹#› 4.三角形的中位线 (1)定义:连接三角形两边_________的线段叫做三角形的中位线.  (2)性质: 三角形的中位线_________于三角形的第三边,且等于第三边的_________.  知识要点 　中点　 　平行　 　一半　 ‹#› 4.如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长为( ) 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.1 B.2 C.3 D.4 对点练习 D ‹#› 典型例题 研析 【考点1】平行四边形的判定 例1　(2024·武汉中考)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边BC,AD上,AF=CE. (1)求证:△ABE≌△CDF; (2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件,使四边形ABEF是平行四边形.(不需要说明理由) ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D. ∵AF=CE, ∴AD-AF=BC-CE, ∴DF=BE, 在△ABE与△CDF中, , ∴△ABE≌△CDF(SAS); ‹#› (2)添加BE=CE(答案不唯一). ∵AF=CE,BE=CE, ∴AF=BE, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴四边形ABEF是平行四边形. ‹#› 变式1-1　如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠C,BD为对角线. (1)证明:四边形ABCD是平行四边形; (2)已知AD>AB,请用无刻度的直尺和圆规作菱形BEDF,顶点E,F分别在边BC,AD上(保留作图痕迹,不要求写作法). ‹#› 【解析】(1)∵AD∥BC, ∴∠ADB=∠CBD,∠A=∠C, ∴180°-(∠ADB+∠A)=180°-(∠CBD+∠C), 即∠ABD=∠CDB, ∴AB∥CD, ∴四边形ABCD是平行四边形; (2)如图,四边形BEDF就是所求作的菱形. ‹#› 变式1-2　(2024·北京中考)如图,在四边形ABCD中,E是AB的中点,DB,CE交于点F,DF=FB,AF∥DC. (1)求证:四边形AFCD为平行四边形; (2)若∠EFB=90°,tan∠FEB=3,EF=1,求BC的长. ‹#› 【解析】(1)∵E是AB的中点, ∴AE=BE, ∵DF=BF, ∴EF是△ABD的中位线, ∴EF∥AD, ∴CF∥AD, ∵AF∥DC, ∴四边形AFCD为平行四边形; ‹#› (2)由(1)知,EF是△ABD的中位线,∴AD=2EF=2, ∵∠EFB=90°,tan∠FEB=3,∴BF=3EF=3, ∵DF=FB,∴DF=BF=3, ∵AD∥CE,∴∠ADF=∠EFB=90°, ∴AF==, ∵四边形AFCD为平行四边形, ∴CD=AF=, ∵DF=BF,CE⊥BD, ∴BC=CD=. ‹#› 【考点2】平行四边形的性质 例2　(2024·吉林中考)如图,在▱ABCD中,点O是AB的中点,连接CO并延长,交DA的延长线于点E.求证:AE=BC. ‹#› 【证明】∵点O是AB的中点, ∴AO=OB, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠E=∠BCO, 又∠AOE=∠BOC, ∴△AOE≌△BOC(AAS), ∴AE=BC. ‹#› 变式2-1　 (2025·新疆中考)如图,在▱ABCD中.∠BCD的平分线交AB于点E,若AD=2,则BE=　____.  2　 ‹#› 变式2-2　(2025·宜宾中考)如图,点E是平行四边形ABCD边CD的中点,连接AE并延长交BC的延长线于点F,AD=5.求证:△ADE≌△FCE,并求BF的长. ‹#› 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴BC∥AD,BC=AD=5,∴∠D=∠FCE, ∵E是CD的中点,∴DE=CE, 在△ADE和△FCE中, , ∴△ADE≌△FCE(ASA), ∴FC=AD=5, ∴BF=BC+FC=5+5=10. ‹#› 名师点金 利用平行四边形的性质进行相关计算 (1)进行角度和线段之间的转化: ①由对边平行可得相等的角,进而可得相似三角形; ②由对边相等、对角线互相平分可得相等的边; ③当有角平分线时可得等腰三角形,进而可得等角、等边. (2)找出所求线段或角所在的直角三角形,根据直角三角形的性质和勾股定理求解;若三角形为任意三角形,可以通过证两个三角形全等或相似利用其性质进行求解. ‹#› 【考点3】三角形的中位线 例3　如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D在AC上,且AD=2,点E是AB上的动点,连接DE,点F,G分别是BC和DE的中点,连接AG,FG,当AG=FG时,线段DE长为( ) A. B. C. D.4 A ‹#› 变式3-1　(2025·湖南中考)如图,在△ABC中,BC=6,点E是AC的中点,分别以点A,B为圆心,以大于AB的长为半径画弧,两弧相交于点M,N,直线MN交AB于点D,连接DE,则DE的长是______.  　3　 ‹#› 变式3-2　(2024·凉山州中考)如图,四边形ABCD各边中点分别是E,F,G,H,若对角线AC=24,BD=18,则四边形EFGH的周长是_______.  　42　 ‹#› 名师点金 　三角形的中位线定理的应用 (1)定理为证明平行关系提供了新的工具,为证明一条线段是另一条线段的2倍或一半提供了一个新的途径. (2)遇到一个中点时,要想到构造中位线,利用三角形中位线解决问题. (3)在应用三角形中位线定理解决问题时,应找出符合条件的基本图形. ‹#› 中考真题 体验 1.(2025·贵州中考)如图,小红想将一张矩形纸片沿AD,BC剪下后得到一个▱ABCD,若∠1=70°,则∠2的度数是( ) A.20° B.70° C.80° D.110° B ‹#› 2.(2025·山西中考)如图,在平行四边形ABCD中,点O是对角线AC的中点,点E是边AD的中点,连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成立的是( ) A.OE=AD B.OE=BC C.OE=AB D.OE=AC C ‹#› 3.(2025·湖北中考)如图,平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若A(-1,2),则点C的坐标是( ) A.(2,-1) B.(-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) C ‹#› 4.(2025·河北中考)平行四边形的一组邻边长分别为3,4,一条对角线长为n.若n为整数,则n的值可以为_________________.(写出一个即可)  　2(答案不唯一)　 ‹#› 5.(2025·山东中考)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8.点P为边AC上异于A的一点,以PA,PB为邻边作▱PAQB,则线段PQ的最小值是________.  　4.8　 ‹#› 6.(2024·泸州中考)如图,在▱ABCD中,E,F是对角线BD上的点,且DE=BF.求证:∠1=∠2. ‹#› 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD=BC,AD∥BC,∴∠ADE=∠CBF. 在△ADE和△CBF中,, ∴△ADE≌△CBF(SAS), ∴∠1=∠2. ‹#› 7.(2024·湖南中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E在边AB上,_______　.  请从“①∠B=∠AED;②AE=BE,AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件,填在横线上(填序号),再解决下列问题: (1)求证:四边形BCDE为平行四边形; (2)若AD⊥AB,AD=8,BC=10,求线段AE的长. ‹#› 【解析】(1)选择①,∵∠B=∠AED, ∴BC∥DE,∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形; 选择②,∵AE=BE,AE=CD, ∴BE=CD,∵AB∥CD,∴四边形BCDE为平行四边形; 答案:①或② (2)由(1)可知,四边形BCDE为平行四边形, ∴DE=BC=10,∵AD⊥AB,∴∠A=90°, ∴AE===6, 即线段AE的长为6. ‹#› 本课结束 ‹#› $第3节　菱形 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.菱形的判定 (1)有一组邻边_________的平行四边形(定义);  (2)对角线互相_________的平行四边形;  (3)四条边都_________的四边形.  　相等　 　垂直　 　相等　 ‹#› 1.如图,要使平行四边形ABCD为菱形,还需添加的一个条件是_______________________.(写出一个即可)  对点练习 　AB=AD(答案不唯一)　 ‹#› 2.菱形的性质 除具有平行四边形的性质外,还有: (1)菱形的四条边都_________;  (2)菱形的两条对角线互相_________,并且每一条对角线平分_____________;  (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的_________;  (4)既是_____________图形,又是轴对称图形.  知识要点 　相等　 　垂直　 　一组对角　 　一半　 　中心对称　 ‹#› 2.(1)如图,在菱形ABCD中,∠ABC=80°,则∠BDA的度数为( )　　　 A.40°　 B.50° C.80° D.100° (2)已知菱形两条对角线的长分别为5 cm和8 cm,则这个菱形的面积是　___　cm2.  对点练习 A 20 ‹#› 典型例题 研析 【考点1】菱形的判定 例1　(2025·扬州中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC的垂直平分线与边AD,BC分别相交于点E,F. (1)求证:四边形AFCE是菱形; (2)若AB=3,BC=5,CE平分∠ACD,求DE的长. ‹#› 【解析】(1)∵EF是AC的垂直平分线, ∴EA=EC,FA=FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90°, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB∥CD,∴∠OAE=∠OCF. 在△OAE和△OCF中, , ∴△OAE≌△OCF(ASA),∴EA=FC,∴EA=EC=FA=FC, ∴四边形AFCE是菱形. ‹#› (2)方法一:∵四边形ABCD是平行四边形,AB=3,BC=5, ∴CD=AB=3,∠D=∠B, ∵四边形AFCE是菱形, ∴∠ACB=∠ACE,∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠ECD, ∴∠ACB=∠ECD, ∴△CED∽△CAB, ∴=,即=,∴DE=. ‹#› 方法二:过点B作BP⊥AC于点P,在PC上截取PQ=PA,连接BQ,如图所示: 设PA=x,∠ACB=α,∵四边形ABCD是平行四边形,且AB=3,BC=5, ∴AD=BC=5,AB∥CD,OA=OC=AC.∵四边形AFCE是菱形, ∴∠ACB=∠ACE=α,AE=CF,EF⊥AC,∵CE平分∠ACD, ∴∠ACE=∠DCE=α,∴∠ACD=2α,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD=2α, ∵BP⊥AC,PQ=PA=x,∴BP是AQ的垂直平分线,∴BQ=AB=3, ∴∠BQA=∠BAC=2α,∵∠BQA是△QBC的一个外角,∴∠BQA=∠QBC+∠ACB, ∴2α=∠QBC+α,∴∠QBC=α,∴∠QBC=∠ACB=α,∴BQ=CQ=3, ∴CP=CQ+PQ=3+x. ‹#› 在Rt△ABP和Rt△CBP中,由勾股定理得:BP2=AB2-AP2=BC2-CP2, ∴32-x2=52-(3+x)2,解得:x=,∴AP=x=,CP=3+x=,∴AC=AP+PC=+=, ∴OC=AC=,∴BP===.∵EF⊥AC,BP⊥AC,∴EF∥BP,∴△OCF∽△PCB,∴=,∴PC·OF=OC·PB,∴OF=×,∴OF=, 在Rt△OCF中,由勾股定理得:CF===, ∴AE=CF=,∴DE=AD-AE=5-=. ‹#› 变式1-1　(2025·长春中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AB=5,OA=4,OB=3.求证:▱ABCD是菱形. 【证明】∵AB=5,OA=4,OB=3, ∴OB2+OA2=32+42=25,AB2=52=25, ∴OB2+OA2=AB2, ∴∠AOB=90°,∴AC⊥BD, ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴▱ABCD是菱形. ‹#› 变式1-2　(2025·贵州中考)如图,在▱ABCD中,E为对角线AC上的中点,连接BE,且BE⊥AC,垂足为E.延长BC至F,使CF=CE,连接EF,FD,且EF交CD于点G. 求证:▱ABCD是菱形; 若BE=EF,EC=4,求△DCF的面积. ‹#› 【解析】(1)∵E为对角线AC上的中点,且BE⊥AC,∴BE垂直平分AC,∴BA=BC, ∵四边形ABCD是平行四边形,∴▱ABCD是菱形; (2)如图,∵BE=EF,CE=CF=4,∴∠3=∠2=∠1,设∠3=∠2=∠1=α ∴∠4=∠1+∠2=2α,∵BE⊥AC,∴∠3+∠4=90°,∴α+2α=90°, 解得α=30°,∴∠4=60°,∵BE⊥AC,∴BC=2CE=2×4=8,∵BC=BA,∴△ABC为等边三角形,∴∠ABC=∠BAC=60°,∵四边形ABCD是菱形,∴AB∥CD,CD=BC=8, ∴∠FCG=∠ABC,∠ECG=∠BAC,∴∠FCG=∠ECG.∵CF=CE=4,∴CG⊥EF, ∵∠2=30°,∴CG=CF=2,∴FG==2, ∴S△DCF=CD·FG=×8×2=8. ‹#› 变式1-3　如图,四边形ABCD是平行四边形. (1)尺规作图:作对角线AC的垂直平分线MN(保留作图痕迹); (2)若直线MN分别交AD,BC于E,F两点,求证:四边形AFCE是菱形. ‹#› 【解析】(1)如图,直线MN即为所求; (2)设AC与EF交于点O.由作图可知,EF垂直平分线段AC, ∴OA=OC,∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AE∥CF,∴∠OAE=∠OCF, ∵∠AOE=∠COF, ∴△AOE≌△COF(ASA), ∴AE=CF, ∴四边形AFCE是平行四边形, ∵AC⊥EF, ∴四边形AFCE是菱形. ‹#› 名师点金 　菱形判定思路 (1)用边来判定: ①先说明四边形是平行四边形,再说明有一组邻边相等; ②说明四边形的四条边都相等. (2)用对角线进行判定: ①先说明四边形是平行四边形,再说明四边形的对角线互相垂直; ②说明四边形的对角线互相垂直平分. ‹#› 【考点2】菱形的性质与计算 例2　如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,连接EF. (1)求证:AE=AF; (2)若∠B=60°,求∠AEF的度数. ‹#› 【解析】(1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=AD,∠B=∠D. 又∵AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,∴∠AEB=∠AFD=90°,在△ABE与△ADF中, ∵,∴△ABE≌△ADF(AAS),∴AE=AF; (2)∵四边形ABCD是菱形,∴∠B+∠BAD=180°,而∠B=60°, ∴∠BAD=120°.又∵∠AEB=90°,∴∠BAE=30°,由(1)知△ABE≌△ADF, ∴∠BAE=∠DAF=30°, ∴∠EAF=120°-30°-30°=60°, ∴△AEF是等边三角形,∴∠AEF=60°. ‹#› 变式2-1　如图,在菱形ABCD中,AB=1,∠DAB=60°,则AC的长为( ) 　　　　　　　　　　　　　　　 A. B.1 C. D. D ‹#› 变式2-2　(2025·云南中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O.若AC=6,BD=5,则菱形ABCD的面积是_______.  　15　 ‹#› 变式2-3　(2024·广安中考)如图,菱形ABCD中,点E,F分别是AB,BC边上的点,BE=BF,求证:∠DEF=∠DFE. ‹#› 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,∠A=∠C, ∵BE=BF,∴AE=CF, 在△DAE和△DCF 中,, ∴△DAE≌△DCF(SAS), ∴DE=DF,∴∠DEF=∠DFE. ‹#› 变式2-4　(2025·泸州中考)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是边AB,BC上的点,且AE=CF.求证:AF=CE. 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC,∵AE=CF,∴AB-AE=BC-CF,即BE=BF, 在△ABF和△CBE中,, ∴△ABF≌△CBE(SAS),∴AF=CE. ‹#› 名师点金 　菱形计算中的常见解答技巧 (1)菱形是轴对称图形,它有两条对称轴,对角线所在的直线就是它的对称轴. (2)利用菱形的性质可以证明线段相等、角相等,它的对角线互相垂直且把菱形分成四个全等的直角三角形,由此可与勾股定理联系,得到对角线和边之间的关系. (3)菱形的面积等于两条对角线乘积的一半. ‹#› 中考真题 体验 1.(2025·内江中考)按如下步骤作四边形ABCD:(1)画∠EAF;(2)以点A为圆心,1个单位长为半径画弧,分别交AE,AF于点B,D;(3)分别以点B和点D为圆心,1个单位长为半径画弧,两弧交于点C;(4)连接BC,DC,BD.若∠A=40°,则∠BDC的度数是( ) A.64° B.66° C.68° D.70° D ‹#› 2.(2024·通辽中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD交于点O,以下条件不能证明▱ABCD是菱形的是( ) A.∠BAC=∠BCA B.∠ABD=∠CBD C.OA2+OB2=AD2 D.AD2+OA2=OD2 D ‹#› 3.(2025·河南中考)如图,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为( ) A.2 B.6-3 C.2 D.6-6 D ‹#› 4.(2025·龙东中考)如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,请添加一个条件_______________________,使平行四边形ABCD为菱形.  　AB=AD(答案不唯一)　 ‹#› 5.(2025·兰州中考)如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC,垂足为E,交BD于点F,BE=CE.若AB=4,则AF=______.  　4　 ‹#› 6.(2024·福建中考)如图,在菱形ABCD中,点E,F分别在边BC和CD上,且∠AEB=∠AFD.求证:BE=DF. ‹#› 【证明】∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠B=∠D. 在△ABE和△ADF 中, ∴△ABE≌△ADF(AAS), ∴BE=DF. ‹#› 7.(2025·遂宁中考)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E,F在对角线BD上,BE=EF=FD,且AF⊥AB,CE⊥CD. (1)求证:△ABF≌△CDE; (2)连接AE,CF,若∠ABD=30°,请判断四边形AECF的形状,并说明理由. ‹#› 【解析】(1)∵AB∥CD, ∴∠ABF=∠CDE,∵AF⊥AB,CE⊥CD, ∴∠BAF=∠DCE=90°, ∵BE=EF=FD, ∴BE+EF=FD+EF,即BF=DE, 在△ABF和△CDE中, , ∴△ABF≌△CDE(AAS). ‹#› (2)四边形AECF是菱形.理由如下: 如图所示:∵∠ABD=30°,AB∥CD, ∴∠CDB=∠ABD=30°,∵BE=EF,∠BAF=90°, ∴AE是Rt△ABF斜边BF上的中线, ∴AE=BF,在Rt△ABF中,∠ABD=30°, ∴AF=BF,∴AE=AF=BF, 同理可得CE=CF=DE,∵BF=DE, ∴AE=AF=CE=CF, ∴四边形AECF是菱形. ‹#› 本课结束 ‹#› $