2.2导数的基础应用（二）课件-2026届新高考数学二轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数的基础应用”专题，覆盖利用导数研究函数切线、单调性、极值与最值及证明不等式等核心考点。依据高考评价体系，通过五年真题统计明确切线、单调性等高频考点分布，系统梳理知识点并归纳常考题型，体现高考备考的针对性和实用性。 课件亮点在于“真题解析+技巧提炼+素养培养”，如切线问题“设切点求斜率”步骤、单调性讨论中二次求导方法，培养学生数学思维与表达能力。典型例题结合考情，帮助学生掌握解题技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

2.2 导数的基础应用（二） 专题二 导数 同学，导数的应用是高考数学中的核心考点之一，让我们梳理下近年高考都是如何考查的，高效备考. 考情分析 考查方式 五年真题统计 利用导数研究函数切线 2025新高考Ⅱ卷、2024天津卷、2023北京卷、2023全国乙卷（理）、2023全国乙卷（文）、2023天津卷 利用导数研究函数单调性 2024北京卷、2023全国甲卷（文）、2023全国甲卷（理）、2023北京卷、2022新高考Ⅱ卷、2022北京卷 利用导数研究函数极值与最值 2025上海卷、2024全国甲卷（理）、2024新高考Ⅱ卷、2023全国乙卷（理）、2023北京卷、2022新高考Ⅰ卷、2022全国乙卷（文） 同学，导数的基础应用我们要重点复习利用导数研究函数切线 、极值与最值、单调性讨论以及证明简单的函数不等式等，让我们一起梳理下重点知识和典型例题吧． 导数的基础应用（二） 考点剖析 3 1 不含参数单调性讨论 利用导数研究函数切线 求函数的极值与极值点 求函数的最值（不含参） 利用导数证明简单的函数不等式 5 4 2 6 求函数的最值（含参） 知识梳理 知识点1 函数的单调性与导数 1.函数的单调性与导数的关系 (1)已知函数在某个区间内可导, ①如果,那么函数在这个区间上单调递增;  ②如果那么函数在这个区间上单调递减;  ③如果,那么函数在这个区间上是常数函数. (2)可导函数在上单调递增，则有在上恒成立. (3)可导函数在上单调递减，则有在上恒成立. (4)若函数在区间上具有单调性,则在该区间上不变号. 知识梳理 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数的零点； 第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性. 知识点1 函数的单调性与导数 知识梳理 知识点2 函数的极值与最值 1.函数的极值 (1)函数的极小值 函数在点的函数值f(a)比它在点附近其他点的函数值都小，；而且在点附近的左侧，右侧，则叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. (2)函数的极大值 函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都大，；而且在点附近的左侧，右侧，则叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值. 2.函数的最大(小)值 (1)函数在区间上有最值的条件： 如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值. (2)求在区间上的最大(小)值的步骤： ①求函数在区间上的极值； ②将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 知识梳理 知识点2 函数的极值与最值 曲线在点处的切线方程为__________． 函数的导函数为， 所以函数在处的导数值， 所以曲线在点处的切线斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 即，故答案为：． 典型例题 利用导数研究函数切线 考点1 例1 解析 利用导数求函数在某点处的切线的方法步骤： 1.确定切点的位置：题目中给的在某点，该点就是切点； 2.求导数，这个点处的导数值就是函数在该点处的切线斜率； 3.计算出切线斜率后利用点斜式来写出切线的方程． 解题通法 过点作曲线的切线，写出一条切线方程：__________． 由可得，设过点作曲线的切线的切点为， 则，则该切线方程为， 将代入得，解得或， 故切点坐标为或，故切线方程为或， 故答案为：或 典型例题 例2 解析 利用导数研究函数切线 考点1 利用导数求函数过某点处切线的方法步骤： 1.设切点坐标，表示出在此点的导数等于斜率； 2.利用切点和已知点，两点表示出直线斜率； 3.利用导数表示出的斜率与两点表示出的斜率相等建立关系，求出切点坐标； 4.求出斜率，利用点斜式写出方程。 解题通法 已知函数． 试判断函数在上单调性并证明你的结论； 函数在上为减函数，证明如下： 因为，所以， 又因为，所以，，所以， 即函数在上为减函数． 典型例题 不含参数单调性讨论 考点2 例3 解析 若函数在某个区间内可导, 如果,那么函数在这个区间上单调递增;  如果,那么函数在这个区间上单调递减;   如果,那么函数在这个区间上是常数函数. 解题通法 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在上的单调性． （1），∴，又， ∴曲线在点处的切线方程是，即； （2）令， 则在上递减，且，， ∴，使，即， 当时，，当时，， ∴在上递增，在上递减， 典型例题 例4 解析 不含参数单调性讨论 考点2 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）讨论在上的单调性． ∴， 当且仅当，即时，等号成立，显然，等号不成立，故， ∴在上是减函数． 典型例题 例4 解析 不含参数单调性讨论 考点2 某些函数一次求导后，解和难度较大或甚至解不出(即很难得到的正负性)，则需要进行“二次求导” 解题通法 已知函数．求的极值； 因为函数， 所以， 设，， 所以在上单调递增． 又，所以当时，； 当时，又因为对恒成立， 所以当时，； 当时，．即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故，没有极小值． 典型例题 例5 解析 求函数的极值与极值点 考点3 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求在区间上的最大值； （1）因为，所以，则， 又，所以曲线在点处的切线方程为． （2）令，则， 当时，，在上单调递增． 因为，，所以，使得． 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 又，， 所以． 典型例题 求函数的最值（不含参） 考点4 例6 解析 已知函数，．讨论函数的最值； 函数的定义域为，， 当时，，在上单调递增，无最值； 当时，令，得，所以在上单调递减； 令，得，所以在单调递增， 所以的最小值为，无最大值． 综上，当时，无最值； 当时，的最小值为，无最大值． 典型例题 例7 解析 求函数的最值（含参） 考点5 求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的是最大值，最小的是最小值. 解题通法 已知函数． （1）当时，讨论函数在上的单调性； （2）当时，求在内的最大值； （1）当时，，，且． 当时，，，则，即，故函数在上单调递增． （2），令，则， 由且，可得，，则， 在内单调递增，所以，又当时，， 所以，在内单调递增，故． 典型例题 例8 解析 求函数的最值（含参） 考点5 若所给的闭区间含参数，则需对函数求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． 解题通法 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，．（参考数据：） （1）由题意得， 当时，在上恒成立，在上单调递减， 当时，令，解得． 当时，，当 ，． 所以在上单调递减，在上单调递增； 综合得：当时，在上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 典型例题 利用导数证明简单的函数不等式 考点6 例9 解析 利用导数判断函数的单调性 （2）由（1）可知，当时，的最小值为． 要证成立，需成立，即证． 令，则． 令，得（负值舍去）． 当时，；当时，． 因此在上单调递减，在，上单调递增． 所以当时，取得最小值， ， 故当时，． 典型例题 利用导数证明简单的函数不等式 考点6 解析 构造函数 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，．（参考数据：） 例9 典型例题 例10 解析 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． （1）的定义域为， ． 若，则，在上单调递减： 若，则由得， 当时，；当时，； 故在上单调递减，在上单调递增； 故当时，在上单调递减： 当时，在上单调递减，在上单调递增； 利用导数证明简单的函数不等式 考点6 典型例题 例10 解析 已知函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． （2）当时，由（1）知，当时，取得最小值． 所以，从而． 设，则． 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故当时，， 故当时，，即； 利用导数证明简单的函数不等式 考点6 再见 $