第4章 第2节 非多项式函数的导数-【高考零起点】2026年新高考数学总复习教用课件（艺考）

该高中数学高考复习课件聚焦“非多项式函数的导数”专题，覆盖导数基本公式、运算法则、几何意义及单调区间、极值最值等核心考点，对接高考评价体系，通过近五年全国卷真题分析明确切线方程、单调区间等高频考点占比，归纳选择、填空、解答题等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+方法提炼+素养培养”，如以2023全国甲卷切线方程题为例，解析“求导-算斜率-点斜式”三步法，培养数学思维与运算能力。设置易错点分析（如定义域忽略），帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，助力学生高效冲刺高考。

第四章　导　数 第二节　非多项式函数的导数 生物 1 目 录 ONTENTS C [典例精析] [知识梳理] [巩固练习] 生物 2 知 识 梳 理 生物 3 　　1.导数基本公式 (1)若f(x)＝ex，则f'(x)＝ex. (2)若f(x)＝ln x，则f'(x)＝. (3)若f(x)＝sin x，则f'(x)＝cos x. (4)若f(x)＝cos x，则f'(x)＝－sin x. (5)若f(x)＝ax，则f'(x)＝axln a(a＞0且a≠1). (6)若f(x)＝logax，则f'(x)＝(a＞0且a≠1). 返回 第二节　非多项式函数的导数 4 2. 导数运算法则 (1)[f(x)±g(x)]'＝f'(x)±g'(x). (2)[f(x)·g(x)]'＝f'(x)g(x)＋f(x)g'(x). (3)[cf(x)]'＝cf'(x). (4)'＝(g(x)≠0). (5)由(4)得：'＝－. 3. 求非多项式函数的单调区间、最值、极值的方法与多项式函数完全相同. 返回 第二节　非多项式函数的导数 5 典 例 精 析 生物 6 例1　求函数f(x)＝的导数. 答案 f'(x)＝'＝ ＝ ＝. 返回 第二节　非多项式函数的导数 7 例2　求函数f(x)＝(x2＋1)ln x的导数. 答案 f'(x)＝(x2＋1)'ln x＋(x2＋1)(ln x)' ＝2xln x＋ ＝2xln x＋x＋. 返回 第二节　非多项式函数的导数 8 例3　求函数f(x)＝sin x的图象在原点处的切线斜率及此切线的方程. 答案 f'(x)＝cos x，将原点的横坐标x＝0代入导函数得f'(0)＝1，所以原函数图象在原点处的切线斜率为1，由直线的点斜式方程，此切线方程为y－0＝1·(x－0)， 整理得y＝x. 返回 第二节　非多项式函数的导数 9 例4　求函数f(x)＝ex(x2＋3x－9)的单调区间. 答案 f'(x)＝(ex)'(x2＋3x－9)＋ex(x2＋3x－9)'＝ex(x2＋3x－9)＋ex(2x＋3)＝ex(x2＋5x－6)， 令ex(x2＋5x－6)＞0，因为ex恒大于零，所以x2＋5x－6＞0，x＜－6或x＞1. 所以该函数的单调递增区间为(－∞，－6)和(1，＋∞)，单调递减区间为(－6，1). 返回 第二节　非多项式函数的导数 10 例5　 求f(x)＝的单调区间. 答案 不难求得函数的定义域为(0，＋∞).由f'(x)＝，令＞0得1－lnx＞0，所以lnx＜1，解得0＜x＜e.从而该函数的单调递增区间为(0，e)，结合该函数的定义域，可知单调递减区间为(e，＋∞). 返回 第二节　非多项式函数的导数 11 巩 固 练 习 生物 12 一、选择题 1. 曲线y＝ex在点A(0，1)处的切线斜率为(　　) A. 1 B. 2 C. e D. 解析 答案 y'＝ex，y'＝1. A 返回 第二节　非多项式函数的导数 13 2. (2019全国Ⅱ卷)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为(　　) A. x－y－π－1＝0 B. 2x－y－2π－1＝0 C. 2x＋y－2π＋1＝0 D. x＋y－π＋1＝0 解析 答案 y'＝2cos x－sin x，y'x＝π＝－2，y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0. C 返回 第二节　非多项式函数的导数 14 3. 函数f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是(　　) A. (－∞，2) B.(0，3) C.(1，4) D.(2，＋∞) 解析 答案 f'(x)＝(x－2)·ex＞0⇒x＞2，单调递增区间为(2，＋∞). D 返回 第二节　非多项式函数的导数 15 4.设曲线y＝在点(3，2)处的切线与直线ax＋y＋1＝0垂 直，则a＝(　　) A.2 B. C.－ D.－2 答案 D 返回 第二节　非多项式函数的导数 16 两直线斜率存在时，两直线垂直的充要条件是它们的斜率之积为－1，已知直线ax＋y＋1＝0的斜率为－a，故曲线y＝在点(3，2)处的切线的斜率为. ∵y'＝＝－，于是y'＝－＝－. ∴＝－⇒a＝－2. 解析 返回 第二节　非多项式函数的导数 17 5. 已知曲线y＝－3ln x的一条切线的斜率为，则该切点的横 坐标为(　　) A. 3 B. 2 C. 1 D. 解析 答案 设该切点为P(x0，y0)，∴y'＝，x＞0，于是有y'|. ∴－x0－6＝0⇒x0＝3. A 返回 第二节　非多项式函数的导数 18 6.(2023全国甲卷)曲线y＝在点处的切线方程为 (　　) A.y＝x B. y＝x C.y＝x＋ D. y＝x＋ 答案 C 返回 第二节　非多项式函数的导数 19 设曲线y＝在点处的切线方程为y－＝k， ∵y＝， ∴y'＝. ∴k＝y'|x＝1＝. ∴y－. ∴曲线y＝在点处的切线方程为y＝x＋.故选C. 解析 返回 第二节　非多项式函数的导数 20 7. (2024全国甲卷理)设函数f，则曲线y＝f在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B. C. D. 答案 A 返回 第二节　非多项式函数的导数 21 f'，则f'＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝×1×. 解析 返回 第二节　非多项式函数的导数 22 8. (2022全国乙卷)函数f＝cos x＋sin x＋1在区间 的最小值、最大值分别为(　　) A. － B. － C. －＋2 D. －＋2 答案 D 返回 第二节　非多项式函数的导数 23 f'＝－sin x＋sin x＋cos x＝cos x， 所以f在区间和上f'＞0，即f单调递增；在区间上f'＜0，即f单调递减，又f＝f＝2，f＋2，f＝－＋1＝－，所以f在区间上的最小值为－，最大值为＋2.故选D. 解析 返回 第二节　非多项式函数的导数 24 9. (多选)设P是曲线y＝ex－x＋上的任意一点，P处的切线 的倾斜角为α，则角α的取值范围包含(　 　) A. B. C. D. 解析 答案 y＝ex－x＋，则y'＝ex－，由ex＞0，可得切线的斜率k＞－，由tanα＞－，可得0≤α＜或＜α＜π，则A、C、D正确，故选ACD. ACD　 返回 第二节　非多项式函数的导数 25 二、填空题 1. (2025全国Ⅰ卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________.  解析 答案 对于y＝ex＋x＋a，其导数为y'＝ex＋1，∵直线y＝2x＋5是曲线的一条切线，直线的斜率为2，令y'＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，∴切点坐标为(0，5)，∵切点(0，5)在曲线y＝ex＋x＋a上，∴5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 4 返回 第二节　非多项式函数的导数 26 2. (2022新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切 线，则a的取值范围是________________________.  解析 答案 ∵y＝(x＋a)ex，∴y'＝(x＋1＋a)ex，设切点为，则y0＝，切线斜率k＝，切线方程为： －.∵切线过原点， ∴－，整理得：＋ax0－a＝0.∵切线有两条，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，∴a的取值范围是∪，故答案为∪. ∪ 返回 第二节　非多项式函数的导数 27 3. (2024新高考Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点处的切线也是曲 线y＝ln(x＋1)＋a的切线，则a＝________.  解析 答案 由y＝ex＋x得y'＝ex＋1，y'|x＝0＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在处的切线方程为y＝2x＋1；由y＝ln＋a得y'＝，设切线与曲线y＝ln＋a相切的切点为，由两曲线有公切线得y'＝＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln＝2x＋1＋a－ln 2，根据两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. ln 2 返回 第二节　非多项式函数的导数 28 4. 已知f(x)为偶函数，当x≤0时，f(x)＝e－x－1－x，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线方程为__________.   解析 答案 偶函数关于y轴对称，∴当x＞0时，f(x)＝ex－1＋x，于是f'(x)＝ex－1＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f'(1)＝2，∴切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x. y＝2x 返回 第二节　非多项式函数的导数 29 5.(2021新高考Ⅰ卷)函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为__________.  解析 答案 f(x)＝2x－1－2ln x的定义域为(0，＋∞)，∴当0＜x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x，有f'(x)＝－2－＜0，此时f(x)单调递减；当＜x≤1时，f(x)＝2x－1－2ln x，有f'(x)＝2－≤0，此时f(x)单调递减；当x＞1时，f(x)＝2x－1－2ln x，有f'(x)＝2－＞0，此时f(x)单调递增. 又f(x)在各分段的界点处连续， ∴综上：0＜x≤1时，f(x)单调递减，x＞1时，f(x)单调递增.∴f(x)≥f(1)＝1，故答案为1. 1 返回 第二节　非多项式函数的导数 30 6. (2022新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln过坐标原点的两条切线的方程为___________， ______________.  答案 y＝x y＝－x 返回 第二节　非多项式函数的导数 31 ∵y＝ln，当x＞0时，y＝ln x，设切点为，由y'＝，∴y'，∴切线方程为y－ln x0＝，又∵切线过坐标原点，∴－ln x0＝，解得x0＝e，∴切线方程为y－1＝，即y＝x； 当x＜0时，y＝ln，设切点为，由y'＝，∴y'，∴切线方程为y－ln·，又切线过坐标原点，∴－ln·，解得x1＝－e，∴切线方程为y－1＝－·，即y＝－x.故答案为y＝x；y＝－x. 解析 返回 第二节　非多项式函数的导数 32 感谢聆听 33 $