导数的基础应用（一）课件-2026届高三数学二轮复习

2.1 导数的基础应用（一） 专题二 导数 同学，函数与导数是高考数学中的核心考点之一，让我们梳理下近年高考都是如何考查的，高效备考. 考情分析 考查方式 五年真题统计 导数概念和几何意义 2025年全国一卷、北京卷、天津卷，2024年新课标I、II卷，北京卷、天津卷、全国甲卷，2023年全国甲卷、乙卷、北京卷、天津卷、上海卷，2022年全国II卷，北京卷、浙江卷 导数与函数单调性 2025年全国一卷、北京卷，2024年新课标II卷、天津卷，2023年全国I卷、上海卷，2022年全国II卷、北京卷、浙江卷 2025年全国一卷、北京卷，2024年新课标II卷、天津卷，2023年全国I卷、上海卷，2022年全国II卷、北京卷、浙江卷 导数与函数极值，最值 导数与函数零点，方程根 2025年全国二卷、天津卷，2024年新课标II卷、北京卷，2023年全国乙卷，2022年全国甲卷、乙卷 高考对此也经常以不同的方式进行考查，将导数与函数单调性，极值最值，零点和方程根综合起来考查，且考查得较为灵活，需要深入理解概念、熟练运用公式． 导数的基础应用（一） 考点剖析 2 1 导数概念与几何意义 利用导数求解函数单调性 4 利用导数求解函数零点/方程根的个数 3 利用导数求解函数的极值与最值 知识梳理 知识点1 导数的概念与几何意义 （1）函数在处的导数记作或． ． （2）函数的导函数（简称导数）． （3）函数在处的导数的几何意义就是曲线在点处的切线的斜率，相应的切线方程为 知识梳理 知识点2 导数的计算 （1）导数的运算法则 若， 存在，则有 ； ； （）； （2）复合函数的定义及其导数 复合函数的导数与函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 知识梳理 知识点3 导数与函数单调性 设函数在内可导，是的导函数，则 时，在上单调递增 时，在上单调递减 时，在上为常数函数 解析 典型例题 导数的概念与几何意义 考点1 例1 曲线在点处的切线方程为（ ） A．    B．    C．    D． 求导可得，所以切线的斜率为， 所以切线方程为，即， 故选：B. 切线斜率等于切点处导数值 解析 典型例题 导数的概念与几何意义 考点1 例2 已知函数与函数的图象在点处有相同的切线，则的值为_______. 因为，所以． 因为，所以． 因为与的图象在处有相同的切线，所以，所以． 故答案为： 切点处导数值相等 解析 典型例题 导数的概念与几何意义 考点1 例3 若对函数的图象上任意一点处的切线，函数的图象上总存在一点处的切线，使得，则的取值范围是（ ） A．    B． C．    D． 由，得，所以， 由，得，设该导函数值域为B， （1）当时，导函数单调递增，， 由题意得 故，解得； （2）当时，导函数单调递减，， 同理，与矛盾，舍去； （3）当时，不符合题意. 综上所述：的取值范围为.故选：. 直线垂直的斜率性质 解析 典型例题 利用导数求解函数单调性 考点2 例4 函数在上的单调递减区间为________. 由题意知，. 即，，因为，所以， 所以在中，， 所以在上的单调递减区间为. 故答案为： 单调递减，导数值为负 解三角不等式 解析 典型例题 利用导数求解函数单调性 考点2 例5 已知函数在上有增区间，则a的取值范围是________. 由题得， 因为函数在上有增区间， 所以存在使得成立，即成立， 因为时，，所以. 故答案为： 运用导数与单调性关系， 再参变分离，研究函数最值 解析 典型例题 利用导数求解函数单调性 考点2 例6 已知函数，则函数的单调增区间为________. 函数的定义域为R，， 令，解得，所以函数的单调递增区间为. 故答案为：. 解析 典型例题 利用导数求解函数的极值与最值 考点3 例7 由函数，可得， 令，即，解得或， 要使得是函数的极小值点，则满足，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 已知是函数的极小值点，那么实数的取值范围是（ ） A．     B．     C．     D． 运用极小值点的意义得解 解析 典型例题 利用导数求解函数的极值与最值 考点3 例8 由图象可知：当时，单调递减， 当时，单调递增， 故是函数的极小值点，无极大值. 故选：C 如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是（    ） A．在处取得极大值 B．是函数的极值点 C．是函数的极小值点 D．函数在区间上单调递减 解析 典型例题 利用导数求解函数的极值与最值 考点3 例9 ①若，， 当时，，单调递减，， 当时，，， 所以在单调递增，在单调递减， 则此时， 所以的最大值为2； ②当时， 当时，，单调递减，所以， 当时，在单调递增，所以， 因为无最大值，所以，解得； 设函数，①若，则的最大值为________；②若无最大值，则实数的取值范围是________. 分段函数 分类讨论 解析 典型例题 利用导数求解函数的极值与最值 考点3 ③当时， 当时，，单调递减，， 当时，在单调递增，在单调递减， 所以，因为无最大值，所以，此种情况无解，舍去； ④当时， 当时，，单调递减，， 当时，在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以， 因为无最大值，所以，此种情况无解，舍去； 所以实数的取值范围是 例9 设函数，①若，则的最大值为________；②若无最大值，则实数的取值范围是________. 解析 典型例题 利用导数求解函数零点/方程根的个数 考点4 例10 已知方程，的根分别为，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 由题意得，， 令，则， 又恒成立， 故在R上单调递增，故， 所以. 故选：B 转为相似结构，构建函数 解析 典型例题 利用导数求解函数零点/方程根的个数 考点4 例11 若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（ ） A．     B．     C．     D． 因为，令，即，则，所以在上有两个不同的零点等价于曲线和在上有两个不同的交点， 设，，则，令，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，，当时，，且时，，图象如图， 故的取值范围为.故选：C 变形后，将函数零点问题转化为两个函数交点问题 解析 典型例题 利用导数求解函数零点/方程根的个数 考点4 例12 函数且关于的方程有三个不等实根，则实数取值范围为（    ） A． B． C． D． 由题意，关于方程有三个不等实根， 可转化为有三个不同的交点 结合图象，当时显然不成立；当时，考虑临界状况， 与相切，设切点为，由于 从而切线方程为：，由于直线过原点 故 数形结合可知，当，即时，有三个不同的交点 即关于的方程有三个不等实根 故选：B． 数形结合研究函数临界状态 再见 $