2.5导数与不等式恒成立（一） 课件-2026届高考数学二轮复习

专题一 导数 专题 2.5 不等式恒成立（一） 典例剖析 方法讲解 变式训练 专题一 导数 专题 2.5 不等式恒成立（一） 直接法 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题.不等式恒成立,则实数_______. 构造函数 当 单调递增 当 得 当时舍去 典例剖析 3 解析：构造函数当时 所以函数单调递增当时不符合题意故舍 当时令解得解得故函数在上单调递减在上单调递增 因为即 设函数解得 令解得故函数在上单调递增在上单调递减故又 例题.不等式恒成立,则实数_______. 典例剖析 4 例题 2. 设, 若恒成立,则实数_______. 当 当 当 典例剖析 5 解析：时单调递减 当时题意故舍去当时令 解得令解得故 即设函数令 解得令解得故在上单调递增在上单调递减故而则即 例题 2. 设, 若恒成立,则实数_______. 典例剖析 6 直接法解决不等式恒成立问题： 将不等式恒成立问题转化为函数最值问题. 利用导数研究函数的单调性并求极值最值. 方法讲解 练习 1. 若不等式恒成立, 解析：设函数 当时令解得令解得故函数在上单调递减上单调递增符合题意当当时不符题意故实数的取值范围为: 变式训练 练习 2. 若不等式恒成立,则实数的取值范围为_______. 解析：设函数当时符合题意当时令令解得上单调递减在上解得 当时令故函数在单调递减上单调递增故解得故实数的取值范围是: 变式训练 专题一 导数 专题 2.5 不等式恒成立（一） 端点恒成立 典例剖析 方法讲解 变式训练 例题.已知函数若时恒有 求实数的取值范围. 构造 因为 所以 单调递增 的取值范围为 典例剖析 11 解析： 构造求导得 因为函数单调递增故符合题意.当令解得 令解得故函数在单调递减则不符合题意.综上所述实数的取值范围为: 例题.已知函数若时恒有 求实数的取值范围. 典例剖析 12 例题 2. 设,若时恒有 求实数的取值范围. 当 当 单调递减 符合题意 不符合题意 典例剖析 13 解析：若则函数单调递增故符合题意.若函数上单调递增因为所以使得 故函数在上单调递减不符合题意. 若函数上单调递增故函数在上单调递减不符合题意.综上所述 例题 2. 设,若时恒有 求实数的取值范围. 典例剖析 14 端点恒成立： 1.若上,恒成立，且,则 2.由端点处所得的条件解得的参数范围是不等式恒成立的必要条件. 3.证明其充分性. 方法讲解 练习 1. 已知函数若恒成立求实数的取值范围. 解析：设若则函数在单调递增符合题意.若函数 当时函数即 所以函数在上单调递减 故函数 在上单调递减则 变式训练 练习 2. 已知函数 恒成立,求实数 的取值范围. 解析：设 若 ,则 在 上单调递增,因此 ,符合条件.若 ,设函数 ,当 时, ,故 即 在 上单调递增,因为 ,所以 ,故 在 上单调递增, ,符合题意; 当 时,令 ,解得 ,则 即 在上单调递减, ,因此函数 在上单调递减, , 不符合题意.综上所述 . 变式训练 专题二 导数 专题2.5 不等式恒成立(一） 端点不成立 典例剖析 方法讲解 变式训练 18 例题 1 . 已知函数 , 恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 19 解析: 例题 1 . 已知函数 , 恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 20 例题. 恒成立,求实数 的值. 典例剖析 21 解析: ,当 时, ,函数 单调递增,当 时, ,不符合题意.当 时, 在 上单调递增,当 , ,当 ,故 使得 ,即 ,函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,设函数 ,令 ,解得 ,令 ,解得 ,函数 在(0,1)上单调递增, 上单调递减,故 ,而 , 故 ,因为 ,所以 ,综上所述实数 的值为 e. 例题. 恒成立,求实数 的值. 典例剖析 22 方法：端点不成立 1.根据题目判断不是端点效应,而函数具有区间内的极值点. 2.利用导数研究函数的极值. 方法讲解 解析: ,设函数 , 函数 在 上单调递增,令 ,解得 ,令 ,解得 设 ,即 ,则函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,解得 因此 ,综上所述,实数 的取值范围为 . 练习 1.已知函数 , 恒成立,求实数 的取值范围. 典例剖析 24 解析: ,当 时, ,函数 单调递增,函数 无极值点不符合题意,舍去.当 时,当 ,则 即 函数 在 上单调递减,在 上单调递增, ,设函数 ,令 ,解得 ,令 ,解得 ,所以函数 在(0,1)上单调递增,在 上单调递减. ,当 时 ,而 ,由 解得 ,因为 ,所以 . 综上所述实数 的取值范围为 . 练习 2. 已知函数 ,的极小值点为 求实数 的取值范围. 典例剖析 25 千帆竞渡争朝夕 一苇以航向青云 $