精品解析：江西省赣州市南康区第五中学等校2025-2026学年八年级下学期4月期中数学试题

2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 若二次根式有意义，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 下列二次根式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列条件中，不能判断（为三边，为三个内角）为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是________． 8. 若的整数部分为，小数部分为，则的值______ 9. 如图，矩形的两边长分别为1和2，且，那么数轴上点A所表示的数是_______． 10. 如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为___________． 11. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为________． 12. 已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为．若点到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点的坐标为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 计算： （1）； （2）． 14. 已知，，求下列各式的值． （1）和； （2）． 15. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 16. 如图，在中，．求的长． 17. 某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米 （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点，主梁上有两根拉索分别为、，平面示意图如图所示. （1）若拉索⊥，、的长度分别为10米、26米，求拉索的长度； （2）若拉索、的长分别为13米、20米，且固定点、之间的距离为21米，求主梁在桥面以上的部分的高度． 19. 如图，矩形的对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 20. 【特例感知】 化简：； 解：． （1）请在横线上直接写出化简的结果： ①__________； ②__________． 【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 五、解答题（本大题共2小题，小题9分，共18分） 21. 【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点分别是边的中点．求证：，且． 方法一： 证明：如图2，延长到点，使，连接． 方法二： 证明：如图3，取中点，连接并延长到点，使，连接． 【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，B、C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了间的距离：先在池塘外选一点，连接，然后测出的中点、，并测出的长度为12米，则两点间的距离______米． 【深入探究】 （3）如图5，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 22. 如图，在中，，为钝角，作交于点． （1）若，则______； （2）求证：； （3）已知，，求的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在矩形中，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若分别是中点，请证明四边形一定是怎样的四边形（相遇时除外） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期期中考试八年级数学试卷 一、单项选择题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 1. 若二次根式有意义，则的值可能是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数是非负数，求出的取值范围，即可得出答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， ， 故选：D． 2. 下列二次根式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的四则运算，二次根式的性质，分母有理化，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式乘、除、加、减的运算法则逐一计算，即可得到答案． 【详解】解：A、，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、和不能合并，原计算错误，不符合题意； D、和不能合并，原计算错误，不符合题意； 故选：A 3. 依据所标数据，如图一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定，根据平行四边形的判定定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故C正确； 一组对边平行另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故D错误； 故选：C． 4. 下列条件中，不能判断（为三边，为三个内角）为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，掌握两较短边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形是解题关键．利用三角形内角和定理判断A、B 选项；利用勾股定理的逆定理，判断C、D选项． 【详解】解：A、，， ，即为直角三角形，不符合题意； B、，， ，，，即不为直角三角形，符合题意； C、， ，即为直角三角形，不符合题意； D、， 设，，， ，即为直角三角形，不符合题意； 故选：B 5. 如图，将沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，折叠的性质，一元一次方程解几何问题，掌握平行四边形、折叠的性质是关键． 令，则，进而可得，由折叠可知，，，，再根据三角形的内角和列出关于的方程式即可得出答案． 【详解】解：令，则， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， 由折叠可知，，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 6. 已知如图，以的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由勾股定理可知，根据等腰直角三角形的性质可知，，，根据三角形的面积公式可知，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：在中，， ， ， 、、均为等腰直角三角形， ，，， ，，， ． 二、填空题（本大题6小题，每小题3分，共18分） 7. 一个多边形的内角和是外角和的4倍，则这个多边形是________． 【答案】十边形 【解析】 【分析】明确任意多边形的外角和为固定值，多边形内角和公式为，其中为多边形的边数，根据题目给出的倍数关系列方程求解边数即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 任意多边形的外角和为，边形内角和公式为， 根据题意列方程得， 解得， 故这个多边形是十边形． 8. 若的整数部分为，小数部分为，则的值______ 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数的大小的方法． 先求出和的值，代入即可． 【详解】解：， ， ，， ∴， 故答案为：6． 9. 如图，矩形的两边长分别为1和2，且，那么数轴上点A所表示的数是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据勾股定理得到OB＝，再根据点A的位置可得答案． 【详解】解：由勾股定理可得OB＝， ∴OA＝OB＝， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【点睛】本题考查实数与数轴，勾股定理，根据勾股定理求出OB的长是解题关键． 10. 如图，四边形中，，，，点，分别为线段，上的动点（含端点，但点不与点重合），点，分别为，的中点，则长度的最大值为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，根据题意可知是的中位线，则，则令最大即可． 【详解】解：连接，， 点，分别为，的中点， 是的中位线， 则， 最大时，最大， 与重合时最大， 此时， 的最大值为． 11. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内离杯底的点处有滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处．则蚂蚁到达蜂蜜点的最短距离为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键，将杯子侧面展开，建立A关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：如图，将杯子侧面展开，作关于的对称点，连接，则即为最短距离， 圆柱形玻璃杯底面周长为，杯底的点处，沿与蜂蜜相对的点处， ，，， ， 故答案为：10． 12. 已知点A(0，4)，B(7，0)，C(7，4)，连接AC，BC得到矩形AOBC，点D的边AC上，将边OA沿OD折叠，点A的对应边为．若点到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由点A（0，4），B（7，0），C（7，4），可得BC=OA=4，OB=AC=7， 分两种情况： （1）当点A'在矩形AOBC的内部时，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示： ①当A'E：A'F=1：3时， ∵A'E+A'F=BC=4， ∴A'E=1，A'F=3， 由折叠的性质得：OA'=OA=4， 在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF=， ∴A'（，3）； ②当A'E：A'F=3：1时，同理得：A'（，1）； （2）当点A'在矩形AOBC的外部时，此时点A'在第四象限，过A'作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵A'F：A'E=1：3，则A'F：EF=1：2， ∴A'F=EF=BC=2， 由折叠的性质得：OA'=OA=4， 在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2， ∴A'（2，﹣2）； 故答案为（，3）或（，1）或（2，﹣2）． 考点：1、翻折变换（折叠问题）；2、坐标与图形性质；3、矩形的性质 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分) 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用乘法分配律展开，将各项二次根式化为最简后，合并同类二次根式； （2）先将系数与根式分别运算，按二次根式乘除法则计算，再化简为最简二次根式． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 14. 已知，，求下列各式的值． （1）和； （2）． 【答案】（1）4，； （2）17 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握二次根式的运算法则以及乘法公式是解题的关键； （1）直接把x，y的值代入和即可求解； （2）根据完全平方公式变形，再代入求值，即可求解 【小问1详解】 ∵，， ∴，； 【小问2详解】 15. 如图，为菱形的对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹） （1）如图，过点作的垂线； （2）如图，点为线段的中点，过点作的平行线． 【答案】（1） 即为所求； （2） 即为所求． 【解析】 【分析】（）作直线，由菱形的性质可得，即为的垂线； （）连接并延长，与的延长线相交于点，作直线，因为点为线段的中点，所以，因为，所以，，故可得，得到，所以四边形为平行四边形，即； 本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定，掌握菱形的性质及平行四边形的判定方法是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在中，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，含30度的直角三角形，掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，由三角形内角和定理，易证是等腰直角三角形，进而求得，再根据30度所对的直角边是斜边的一半，得到，进而得到，即可求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， , ，, ， ， 17. 某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为83米，宽AB为米，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长为米，宽为米 （1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为6元/m2的地砖，要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1）米； （2）元． 【解析】 【分析】（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算可得； （2）先计算出空白部分面积，再计算即可． 【小问1详解】 解：长方形ABCD的周长（米）， 答：长方形ABCD的周长是米； 【小问2详解】 解：通道的面积 （平方米）， 购买地砖需要花费（元）． 答：购买地砖需要花费元． 【点睛】本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分) 18. 某斜拉桥的主梁垂直于桥面于点，主梁上有两根拉索分别为、，平面示意图如图所示. （1）若拉索⊥，、的长度分别为10米、26米，求拉索的长度； （2）若拉索、的长分别为13米、20米，且固定点、之间的距离为21米，求主梁在桥面以上的部分的高度． 【答案】（1）拉索的长度是24米；（2）主梁在桥面以上的部分的高度是12米． 【解析】 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）设，由可知：，利用勾股定理得到，求解即可得到答案. 【详解】解：（1）∵，、的长度分别为10米、26米， ∴（米） ∴拉索的长度是24米； （2）设，由可知： ∵ ∴ ∴， 即 ∴ ∴（米） ∴主梁在桥面以上的部分的高度是12米. 【点睛】本题主要考查了勾股定理的使用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理. 19. 如图，矩形的对角线，相交于点，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：，， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形， ， 四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质，菱形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键． （1）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的性质得到，即可证明结论； （2）过点作，垂足为点，证明是等边三角形，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形，， 是等边三角形， 过点作，垂足为点， ，， ， ． 20. 【特例感知】 化简：； 解：． （1）请在横线上直接写出化简的结果： ①__________； ②__________． 【观察发现】（2）第n个式子是（n为正整数），请求出该式子化简的结果（需要写出推理步骤）． 【拓展应用】（3）从上述结果中找出规律，并利用这一规律计算：． 【答案】（1）①；②； （2）， ， ∴的化简结果为． （3）2023 【解析】 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算是解题的关键． （1）利用分母有理化求解作答即可； （2）根据，求解作答即可； （3）①利用（2）的结论，结合平方差公式计算即可；②先分母有理化，再逆用同分母的加减法则变形后，结合互为相反数的和为零，计算即可． 【详解】（1）①解：． 故答案为：． ②解：． 故答案为：． （2） 略 （3）解： ． 五、解答题（本大题共2小题，小题9分，共18分） 21. 【课本再现】我们把连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 下面是三角形中位线的性质及证明三角形中位线定理的两种添加辅助线的方法： 三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．已知：如图1，在中，点分别是边的中点．求证：，且． 方法一： 证明：如图2，延长到点，使，连接． 方法二： 证明：如图3，取中点，连接并延长到点，使，连接． 【回顾证法】 （1）请你选择其中一种证法，继续完成证明过程． 【实践应用】 （2）如图4，B、C两地被池塘隔开，在无法直接测量的情况下，小明通过下面的方法测出了间的距离：先在池塘外选一点，连接，然后测出的中点、，并测出的长度为12米，则两点间的距离______米． 【深入探究】 （3）如图5，是的中位线，是边上的中线．与是否互相平分？请证明你的结论． 【答案】（1）证明：方法一：延长到点，使，连接． 点分别是边的中点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 即，且； 方法二：取中点，连接并延长到点，使，连接． 点分别是边的中点， ，， 又， ， ，，， ， 点是中点， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 点分别是边的中点， ， 四边形是平行四边形， ，， 即，且； （2）24； （3）与互相平分， 证明如下： 如图，连接、， 是的中位线， ，，，， 是边上的中线， ， ， 四边形、是平行四边形， ，， ，， 四边形是平行四边形， 与互相平分； 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理的证明和应用，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确作辅助线是解题关键． （1）方法一：先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是平行四边形，即可证明结论； 方法二：证明，进而可证四边形、是平行四边形，即可证明结论； （2）根据三角形中位线定理即可求解； （3）连接、，根据三角形中位线定理，证明四边形、是平行四边形，进而证明四边形是平行四边形，即可证明结论． 【详解】（1） 略 （2）、是的中点，米， 米， 即两点间的距离24米， 故答案为：24； （3） 略 22. 如图，在中，，为钝角，作交于点． （1）若，则______； （2）求证：； （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2） 证明：， ． 即． ， ， ，即， ， ； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握角的和差是解题的关键． （1）根据题意求出，得到，即可得到答案； （2）由题意证明，即可得到结论； （3）过点作的垂线，垂足为，证明是等腰直角三角形，根据勾股定理求出． 【小问1详解】 解：， ． ， ． ， ， ． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点作的垂线，垂足为， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， 在中，． 六、解答题（本大题共12分） 23. 在矩形中，是对角线上的两个动点，分别从同时出发相向而行，速度均为每秒1个单位长度，运动时间为秒，其中． （1）若分别是中点，请证明四边形一定是怎样的四边形（相遇时除外） （2）在（1）条件下，若四边形为矩形，求的值． 【答案】（1） 解：四边形是平行四边形，理由如下： 由题意得：， 四边形是矩形， ， ， 分别是中点， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形为矩形时或 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质结合平行线的性质可得到，，通过中点可证明，进而证明，利用三角形全等可得，，则，即可证明； （2）分为两种情况，一种是四边形为矩形，另一种是为矩形，利用即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图1，连接， ， ， ①如图1，当四边形是矩形时， ， ， ， ； ②如图2，当四边形是矩形时， ， ， ； 综上，四边形为矩形时或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $