2026年中考考前数学训练试卷（辽宁卷）

**基本信息** 立足中考模拟，融合大连马拉松、广东醒狮非遗等时代情境，分层考查数学抽象、运算推理及模型应用能力，适配中考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|实数、立体图形、轴对称、统计量|基础题考查抽象能力与几何直观| |填空题|5/15|不等式、配方法、光的折射几何计算|结合物理情境，体现空间观念| |解答题|8/75|行程问题、数据统计、圆的切线、新定义“互顶函数”|17题马拉松行程模型化考查运算能力，23题新定义函数综合推理能力，20题醒狮梅花桩几何应用文化传承|

中考考前训练试卷 数学 (本试卷共23道题满分120分考试时间120分钟) 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效 参考公式：抛物线y=ax2+bx+d(a≠0)顶点坐标为（-会，妇) 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的) 1.下列实数中，是有理数的是() A B.6 c D.π 2.下列立体图形是棱锥的是( A B 3.在平面直角坐标系中，点A(2一8)和点B关于y轴对称，则点B的坐标是( A.(2,8) B.(-2,8) C.(-2,-8) D.(8,2) 4.下列计算正确的是() A.V2xv3=V6 B.5-5=2 C.2+5=2W3 D.⑧÷V2=4 5.如图，AB//CD,若∠FEB=35∠FGD=70°，则∠F的度数是( A.25 B.95 C.35 D.70 6.某校举行趣味数学竞赛，某班学生的成绩统计如下表所示：( 成绩分 60 70 80 90 100 人数 5159 6 5 则该班学生成绩的众数和中位数分别是 A.70分，80分 B.70分，75分 C.60分，80分 D.70分，85分 7.下列说法正确的是() A.若a=b,则a十c=b一c B.若是=，则a=b C.若a=-5,则2=5a D.若ac=bc,则a=b 8.一定质量的氧气，它的密度P(单位：kgm3)是它的体积V(单位：m3)的反比例函 数。若当V=10m3时，p=1.43kg/m,则当V=2m3时，氧气的密度p是() A.1.43kg/m3 B.2.86kg/m3 c.7.15kg/m3 D.14.3kg/m3 9.明代数学家程大位所著的《算法统宗》一书中记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将 来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少配成完？”其大意是：有83000根短竹，每根短竹可 制成毛笔的3个笔管或5个笔套，怎样安排制作笔管或笔套的短竹的数量，能使制成的1个笔管 和1个笔套正好配套？设用x根短竹制作笔管，则可列方程为() A.5x-3x=83000 B.5x+3x=83000 C.5x=383000-x) D.3x=5(83000-x) 10.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别是AB,AD边上的点，AE=DF连接CE,BF,BP 平分∠CBF交CD于点P.若∠CPB=60°，则∠CEB的度数是() A.60 B.55 c.50 D.45 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）》 11.比较大小：60.25 、 60°25.（填><”或=） 12.用配方法将方程x2-4x-1=0变形为(x-2=m,则m的值是 3.光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中斜射入空气时，会发生折射。由于 折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的。如图，有两束平行的光线从水 中斜射入空气中，若∠1=45°，∠2=120°，则∠3+∠4的度数是 14.如图，在△ABC中，AB=BC,由尺规作图得到的射线BD与AC交于点E,点F是BC的中 点，连接EF.若BE=AC=2,则△CEF的周长是 15.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在BC上，且CD=2BD,点M是AB边上的一个 动点，连接MD.将MD绕点D顺时针旋转90°得到DN,点M的对应点是点N.若 ∠A=120°，BC=12,则点B,N之间的距离的最小值是 4 (第13题图) (第14题图) (第15题图) 三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16.(10分) 1x5分计算：(-)202°+2-22+12÷(-3)-4n45. (2)(5分)解方程：x2-5x+3=0 17.(8分) 2025年5月11日，主题为“春意山海·花漾大连”的第35届大连马拉松赛于东港商务区鸣枪开赛。 小王参加了这次马拉松比赛，全程42ka,小王出发后按原计划的速度跑了一半，后来将平均 速度提高到原计划的1.2倍，结果比原计划提前h到达终点。 (1)求小王原计划的平均速度 (2)小李也参加了这次马拉松比赛，他原计划的平均速度是10km/h.比赛时，他按原计划的速 度跑了一段时间后.将剩余路程的平均速度提高到12am/h.若小李想在出发后4h之内 到达终点，则他提高速度后跑步的路程至少是多少千米？ 18.(8分) 某校计划组织学生参观科技馆，需从租车公司租用一辆电动巴士，往返总行程为210m该租车 公司提供X,Y,Z三种型号的电动巴士，每辆巴士每天的费用分别是400元、550元、700元 该校调查后获得了三种型号的电动巴士充满电后的行驶里程（单位：km)数据如图所示。 数量辆 6 190195200205210215220225230235行驶里程km -*-Y +一Z (第18题图) 分析数据如下表所示： 平均数km 中位数/km 众数/km 方差 X a 200 205 37.5 Y 216 215 31.5 Z 227.5 b 225 28.75 根据以上信息，解答下列问题： (1)现有一辆电动巴士，充满电后的行驶里程为232m, 则这辆电动巴士的型号最有可能是 (填XY或Z） (2)表格中a= b ;c= (3)综合考虑行驶里程和租车费用，你认为该校应选择哪种型号的电动巴士？请说明理由 19.(8分) 某商店销售一种玩具，每件的进价为20元.经试销发现，销售量y(单位：件)与销售单价x (单位：元)之间的函数关系如图所示 (1)求y关于x的函数解析式.（不必写出自变量的取值范围） (2)求每天的利润ω（单位：元）关于x的函数解析式.（不必写出自变量的取值范围） (3)若商店每天的利润想要达到2000元，并且想尽可能地减少库存，求销售单价应定为多少元 件】 200 150 0 3035 x元 20.(8分) 如图1是广东醒狮，它是首批国家级非物质文化遗产，其中高桩醒狮经融合创新已逐步演变为集 技巧性、观赏性于一体的标准化体育竞技项目，成为传统非遗活态传承的典范。如图2，三根梅 花桩AM,BP,CN垂直于地面放置，醒狮少年先从点C跳跃到点B,后跃至点A。已知 ∠MAB=59°，∠BCN=45,MP=0.25m,NP=1.35m。 (1)求醒狮少年从点C跳跃到点B,后跃至点A的路线长.（结果精确到0.1m) (2)若醒狮少年从点A直接腾跃至点C进行“采青”，求“采青”AC的长. (参考数据：sin31≈0.52c0s31°≈0.86，tan31°≈0.60，y2≈1.41)》 MP (第20题图1) (第20题图2) 21.(8分) 如图，AB是⊙O的直径.四边形ABCD内接于⊙O,AD=CD,对角线AC与BD交于点E 在BD的延长线上取一点F,使DF=DE,连接AF (1)求证：AF是⊙0的切线 (2)若sinBAC=,EC=1,求AE的长. D 0 22.(12分) [问题初探] (1)在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在△ACD中，∠D=2∠C,AB1CD垂足为 点B,且BC>AB.求证：BC=AD+BD.请你帮助同学们解答这个问题. [类比分析] (2)如图2，在△ABC中，∠C=2∠B,点D,E分别在AB,BC上，∠C=∠AED,AE=2DE, 探究线段AC,CE,BE之间的数量关系并证明. [学以致用] (3)如图3，在△ABC中，4∠BAC+∠ACB=180°，∠ABC为锐角，AC=13,BC=5,求 △ABC的面积. B B (第22题图1) (第22题图2) (第22题图3) 23.(13分) 若两个二次函数Y:V2分别过对方的顶点且顶点不重合，则称这两个二次函数为“互顶函数”。 例如：函数y1=(x-+2的顶点为点A(12),函数y,=-(&-2+3的顶点为点23)， 点A在y2的图象上，点B在y1的图象上，则称yy2为互顶函数”。 (尼知y,=-)+1,下列函数中，y1的互顶函数是 (填序号)》 ①y2=x②y3=-2x2+3③y4=2x+1-7 (2)若二次函数y,=(-2+m与二次函数y,=dx-4+2m为互顶函数，求ma的值 (6)已知二次函数y1=-2+2x+3与二次函数y,=kx-月+n为互顶函数”，y1的顶点 为点A,y2的顶点为点B,函数y1的图象与y轴交于点C,与x轴交于D,E两点（点D 在点E的左侧)· ①当△CAB为直角三角形时，求点B的坐标 ②设点A关于函数Y2的对称轴的对称点为点F,作直线AB.是否存在点B,使点D,F关于直 线AB对称？若存在，求y2的解析式，若不存在，请说明理由 ◆》选择题、填空题快速对答案。◆ 一、选择题 2 3 4 5 6 7 8 910 c A A C B B A 二、填空题 11 12 13 14 15 < 105 5+12+23 ◆选择题、填空题解析◆ 一、选择题 2.A【解析】A.被锥；B.圈雏；C.国柱；D校柱，救选A. 3.C【解析】利用美于y轴对称的点的坐标特点：横坐标五为相反数，纵坐标相同，可得点B 的坐标是（一2，一8），故选C 5.C【解析】，AB∥CD,∴.∠FHB=∠FGD=70 ,∠FEB=35°，.∠F=∠FHB-∠FEB=35.故选C 6.B【解折1这组数据的众数是70分，中位数是70十80=75（分）.故选B 2 7.B【解析】A.若a=b,则a十c=b+cC.若a=-5,则a2=一5a:D.若ac=c,c≠0，则 a=b.故选B. 8.C【解新1设P关于V的画最解折式为P=合∴k=PV .1.43×10=2p.∴p=7.15.故选C 10.A【解析】易证△ABF≌△BCE(SAS).∠BFA=∠CEB. AD∥BC,,∠BFA=∠CBF.,∠CEB=∠CBF ∠BCP=90°，∠CPB=60°，.∠CBP=30° BP平分∠CBF,∴∠CBF=2∠CBP=60.∠CEB=60°.故选A. 二、填空题 11.<【解析】60.25°=60°+0.25×60'=6015,6015<6025'， ∴.60.25<6025. 12.5【解折】x2-4x-1=0,∴.x2-4x=1. x2-4x+4=1+4,即(x-2)2=5.m=5. 13.105°【解折】，在水中平行的光线，在空气中也平行，且水面与杯底平行， .∠3=∠1，∠2+∠4=180°. :∠1=45°，∠2=120°，.∠3=45°，∠4=180°-∠2=60° ∠3+∠4=45°+60°=105. 14.5+1【解析】根据题意，可知BD是∠ABC的平分线. :AB=BC,BE1AC,AB=EC=AC=1.由为度定理，得BC=5。 ,点F是BC的中点，EF=BF=FC .CAcEr=EF+FC+EC=BF+FC+EC=BC+EC=/+1. 15.2+2√3【解析】如图，连接BN,过点D作DP⊥BC于 点D,使DP=BD,连接PN交AB于点N',设PD交AB 于点G, M 易证△PDN≌△BDM(SAS).∴.∠P=∠DBM. (第15题图) :∠PGN'=∠BGD,∠PN'G=∠GDB=90°. PN⊥AB..BN≥BN 当点N与点N重合时，点B,N之间的距离最小 3,BG=8 易得∠ABC=30,BD=PD=4.DG=4 3PG=4 43 3 ∠P=∠ABc-0,GN-PG2-2g 3 ,BN'=BG+GN'=2+23. 三、解答题 16.(1)解：原式=1十22一2十(-4)一22…3分 =一5.4445504*4*445分 (2)解：.a=1,b=一5，c=3, △=62-4ac=(-5)2-4X1X3=13>0.…6分 “方程有两个不相等的实数根x=一6土B=4ac=-(-5)士国 …8分 2a 2 ,=5+,厘，x,-5 444……小444444…10分 2 2 17.解：(1)设小王原计划的平均速度是xkm/h. 42x号42x】 根据题意，得 1.2x31 …2分 方程两边乘1.2x,得1.2×21-21=0.4x. 解得工=10.5.43分 检验：当x=10.5时，1.2x≠0.∴原分式方程的解为x=10.5. 答：小王原计划的平均速度是10.5km/h…4分 (2)设他提高速度后跑步的路程是ykm, 很据题意，得经之十≤4.………………6分 10 解得y≥12. 答：他提高速度后跑步的路程至少是12km.……8分 18.(1)Z …】分 (2)200227.5220…4分 (3)该校应选择Y型号的电动巴士。…5分 理由：X型号的电动巴士行驶里程的平均数、中位数、众数都小于210km,故不建议选择。 Y,Z型号的电动巴士行驶里程的平均数、中位数、众数都大于210km,其中Y型号的电动 巴土有90%的车辆符合行驶里程要求，且Y型号的电动巴士比Z型号的电动巴士更经济 实惠，故建议选择Y型号的电动巴士，（合理即可）………………8分 19.解：(1)根据图象可知y是x的一次函数 设y关于x的函数解析式为y=x十b. 200=30k+6, k=一10， 将(30,200)，(35,150)代人，得 解得 150=35k+b. b=500. .y关于x的函数解析式为y=一10x十500. 3分 (2)根据题意，得四=（一10x十500）(x一20)=一10x2+700x一10000.…5分 (3)根据题意，得一10x2+700x一10000=2000. 解得工)=30，工3=40.……”6分 :y=一10x十500，一10<0，y随x的增大而减小.…7分 :商店想尽可能地碱少库存，当x=30时，销售量y更大. 答：销售单价应定为30元.………………8分 20.解：(1)如图，过点B作EF∥MN交AM于点E,交CN于点F, 根据题意，得∠AEB=∠BEM=∠AMN=∠BPM=∠BPN=∠FNP=∠BFN=∠BFC=9O°， ∴.四边形EMPB、四边形BPNF均为矩形. ,∴.EB=MP=0.25,BF=PN=1.35. ……1分 :∠BCF=45°，.∠CBF=∠BFN-∠BCF=45. ∴.∠BCF=∠CBF.∴.BF=CF=1.35. 在Rt△BCF中，由勾股定理，得BC=√BF2+CF7=1.3521.90. :∠EAB=59°，，∠ABE=180°-∠EAB-∠AEB=31 ABAB= MP 在R△AEB中，'coS∠ABE=BE, BE0.25 =cos∠ABE0.86 0.29. (第20题图)】 ……44……0*0…3分 .BC+AB=1.90十0.29=2.19%2.2(m). 答：醒狮少年从点C跳跃到点B,后跃至点A的路线长约是2.2m.…4分 (2)如图，过点A作AD⊥CN于点D 根据题意，得∠MAD=∠ADC=90°， 由(I),易得四边形AEFD、四边形AMND均为矩形 DF=AE,AD=EF=MN=MP+PN=0.25+1.35=1.6.…5分 心在R△AEB中，tan∠ABE-A5 AE=BE·tan∠ABE≈0.25X0.60=0.15.…6分 .CD=CF-DF=CF-AE-1.35-0.15=1.2. …7分 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC=√AD+CD=√1.62+1.2=2(m). 答：“采青”AC的长约是2m.…8分 21.(1)证明：AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.AD⊥EF :DF=DE,AD是线段EF的垂直平分线.AE=AF.∠FAD=∠DAC.:1分 AD=CD,∠DAC=∠DCA.∠FAD=∠DCA.…2分 ∠ABD=∠DCA,∠FAD=∠ABD.……3分 '∠ADB=90°，∠ABD+∠DAB=90°，∠FAD+∠DAB=90°=∠FAB. .FA⊥AB. AB是⊙0的直径，AF是⊙0的切线，…4分 (2)解：如图，连接OC,OD. :AB是⊙O的直径，∠ACB=90 如∠BAC=7,86-2AB=2BC,…5分 AB=2OB=2OC,.OB=OC=BC..△BOC是等边三角形. (第21题图) .∠B0C=60°.∠AOC=120° :AD=CD,∴.∠AOD=∠COD=60 △DOC和△AOD均是等边三角形. ………6分 .AD=DC=OC=BC...AB=2DC,AD=BC. ∴∠ABD=∠BAC.∴BE=AE. '∠BAE=∠CDE,∠AEB=∠DEC,.△AEB∽△DEC.…7分 --2AB-B-2 8分 22.(1)证明：如图1，在线段BC上取一点P,使得BP=BD,连 接AP. AB⊥CD,BP=BD,∴AP=AD.∠APD=∠D 又：∠D=2∠C,∠APD=2∠C.…1分 ,∠APD=∠C+∠CAP,∴.∠C=∠CAP. (第22题图1) .CP=AP.∴.CP=AD .BC=CP十BP=AD十BD.…2分 (2)AC十CE=2BE.……3分 证明：如图2，延长AC到点Q,使得CQ=CE,连接EQ. 设∠B=a,则∠ACE=∠AED=2a. CE-CQ,∴∠CBQ=∠Q-3∠AcE=a, ∠Q=∠B.4分 (第22题图2) '∠AEB=∠AED+∠DEB=∠EAC+∠ACE, 即2a+∠DEB=∠EAC十2a,∠DEB=∠EAQ,△EDBn△AEQ.…6分 思是-AQ=EB AC+CQ=2BE,即AC+CE=2BE.… 7分 (3)解：如图3，作∠ABM=∠BAC,交AC于点M,过点 B作BH⊥AC,交AC的延长线于点H. ∴AM=BM. 设∠BAC=B,则∠ABM=B,∠ACB=180°-4B. (第22题图3) ∴∠ABC=180°-∠BAC-∠ACB=180°-B-(180°-48)=38. ∠ABC=∠ABM+∠CBM,∠CBM=∠ABC-∠ABM=2B.…8分 '∠CMB=∠MAB+∠ABM=2B,∴·∠CMB=∠CBM. CM=BC=5.AM=AC-CM=8.,BM=8.…9分 设CH=x. 在Rt△BHC中，由勾股定理，得BH=BC2-CH=52-x2 在Rt△BMH中，由勾股定理，得BH=BM一MH2=82-(5十x)2 10分 6-2=-5t识.解得z=子BH-BC-C开-6-- .…11分 eAC BHX13x156 …12分 23.(1)②4t*… 】分 【解析】易得y1的顶点是点(1,1). ①y2的顶点是(0,0)，当x=0时，y1=3.不合题意. ②y1的顶点是(0,3)，当x=0时，y1=3;当x=1时，y:=1.符合题意. ⑤③y,的顶点是（一1，一7），当x■一1时，y1=9.不合题意. (2)解：二次函数y1=(x一2)2+m的顶点是点(2，m),二次函数y2=a(x一4)2+2m的顶 点是点(4,2m）. …2分 函数y1和y:为“互顶函数”，点(2，m)在y:上，点(4,2m)在y1上. 将点(2，m)代入y2=a(x一4)2+2m,得m=a(2-4)+2mm=一4a.…3分 将点(4.2m)代入y1=(x一2)2+m,得2m=(4-2)2十m.m=4. 0l.4分 (3)解：①y1=-x2+2x+3=-(x-1)2+4,.点A(1,4). y2=(x一h)十n的顶点为点B,点B(h,n). 当.-时y1=3.六点C(0,3). 肾y…3时，一(x一1)2+4=0.解得x1■3，x2=一1， 点D在点E的左侧，六点D(一1,0)，E(3,0).…5分 :函数y,和y2为“互顶函数”，点B在y1上 y I,如图1，当∠ACB=90°时，过点A作AH⊥y轴于点H,过 点B作BG⊥y轴于点G. ∠AHC=∠ACB=∠CGB=90. :点A(1,4),C(0,3),∴AH=CH=1. D OG 8E .∠HAC=∠HCA=45°. (第23题图1) ∴.∠GCB=180°-∠ACB-∠HCA=45 :∠CGB=90°，∴∠GBC=90°-∠GCB=45 :OE=OC=3,.∠OEC=45°.六点B与点E重合，即点B(3,0).…7分 Ⅱ.如图2，当∠CAB=90时，过点A作AH⊥y轴于点H,过 点B作BM⊥HA,交HA的延长线于点M. H :点B(h,n),AM=h-1,BM=4-元 :∠HAC=45,∴∠BAM=180-∠CAB-∠HAC=45. :∠AMB=90°，∠ABM=90°-∠BAM=45. Do ∠BAM=∠ABM. (第23题图2) AM=BM,即h-1=4-n..h=5-n.,点B(5-n,n). 将点B(5-,n)代人y1=一(x-1)2+4,得n=一(5一n一1)2十4.解得1=3,2=4. 当n=3时，5-n=2..点B(2,3) 当=4时，5一n=1.点B(1,4),与点A重合，不合题意，舍去. 综上所述，点B的坐标是(3,0)或(2,3)。…9分 ②不存在。……………10分 理由：：yg的函数解析式为y2=k(x一h)产十n, 函数y:的对称轴为直线x=h. I当h>1时，点A(1,4)关于直线x=h的对称点F(2h-1,4), 如图3，连接AF,DB,BF. :点D(一1,0)，.由勾股定理，得AD=25. :点D,F关于直线AB对称， .AD=AF,即25=2h-1-1.解得h=√5+1. 当h=5+1时，2h1=25+1.∴.点F(25+1,4). (第23题图3) 当x=h=5+1时，y1=-(5+1-1)2+4=-1.∴点B(5+1,-1). 由勾股定理，得DB=√[5+1-(-1)]+(-1)2=√10+45， 由勾股定理，得BF=√[25+1-(5+1)]+[4-(-1)]=√/30. DB≠BF,此时不存在点B,使点D,F关于直线AB对称.…11分 Ⅱ.当0<h<1时，同理易得不存在点B,使点D,F关于直线AB对称.…12分 Ⅲ.当h<0时，点A(1,4)关于直线x=h的对称 点F(2h一1,4)，如图4，连接AF,DB,BF」 同理AD=AF,即25=1-(2h一1).解得=1-5. 点D(-1,0),-1>1-5, 点D在直线AB的上方. ∴此时不存在点B,使点D,F关于直线AB对称， (第23题图4) 综上所述，不存在点B,使点D,F关于直线AB对称.·13分