2.2 导数的基础应用(二)课件-2026届新高考数学二轮专题复习

专题二 导数 【高考二轮复习专题】 专题2.2 导数的基础应用(二) 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 导数的基础应用(二) 利用导数研究函数单调性 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值与最值 利用导数证明简单的函数不等式 在某点处的切线问题 过某点的切线问题 给函数解析式，求极值、最值 给出函数极值、最值，求参数 考点概览 20-25 年真题统计 具体考察方式 2024新高考Ⅱ卷第16题 给出具体函数解析式，求在曲线上某点处的切线方程 2024天津卷第20题 给出具体函数解析式，求在曲线上某点处的切线方程 2023北京卷第20题 给出曲线上某点处的切线方程，求参数 2023全国乙卷理科第21题 给出具体函数解析式，求在曲线上某点处的切线方程 2023全国乙卷文科第20题 给出具体函数解析式，求在曲线上某点处的切线方程 2023天津卷第20题 给出具体函数解析式，求某点出的切线斜率 2022天津卷第20题 给出具体函数解析式，求在曲线上某点处的切线方程 2022北京卷第20题 给出具体函数解析式，求在曲线上某点处的切线方程 2022全国甲卷文科第20题 给出曲线上某点处的切线方程，求参数 2022全国乙卷理科第21题 给出具体函数解析式，求在曲线上某点处的切线方程 2021天津卷第20题 给出具体函数解析式，求在曲线上某点处的切线方程 2021全国乙卷理科第21题 给出具体函数解析式，求在曲线上某点处的切线方程 2021全国乙卷文科第21题 给出具体函数解析式，求过某点的切线方程，并求切线方程与函数的公共点坐标 考点一 利用导数研究函数切线 考频统计 1．已知切点，求函数切线 若已知函数与切点，不知斜率．此时，利用点斜式写出切线方程． (1)求，得切点； (2)求导数，得； (3)写切线方程． 2．已知斜率，求函数切线 若已知函数与斜率，不知切点．此时设切点，此时解出，再将代入解出，此时利用点斜式写出切线方程 (1)求导数，令，求解得； (2)求，得切点； (3)写切线方程． 考点一 利用导数研究函数切线 知识点拨 3．求在曲线上某点处的切线方程 (1)求出函数的导数； (2)求切线的斜率； (3)写出切线方程，并化简． 4．求函数过某点的切线 (1)设切点； (2)求导数，得； (3)写切线方程； (4)将代入步骤(3)，解得； (5)将代入步骤(3)，得切线方程． 考点一 利用导数研究函数切线 知识点拨 已知函数．当时，求曲线在点处的切线方程． 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为， 即． 考点一 利用导数研究函数切线 重点题型 ，则， 所以，故处的切线斜率为． 已知函数．求曲线在处的切线斜率． 考点一 利用导数研究函数切线 重点题型 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点． ，在上单调递增， ，在无零点， 与假设矛盾，故直线不过． 设函数，直线是曲线在点处的切线．求证：不经过点． 考点一 利用导数研究函数切线 ，切线的斜率为， 重点题型 (1)由题意知，，， ， 则在点处的切线方程为，即， 设该切线与切于点，， 则，解得， 则，解得； 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (1)若，求a； 考点一 利用导数研究函数切线 重点题型 (2)设该切线与切于点，， 则，则切线方程为， 整理得， 则 整理得， 令，则， 令，解得或， 令，解得或， 已知函数，曲线在点处的切线也是曲线的切线． (2)求a的取值范围． 考点一 利用导数研究函数切线 重点题型 则变化时，的变化情况如下表： 0 1 0 0 0 考点一 利用导数研究函数切线 则的值域为，故的取值范围为． 重点题型 ①当时，在R上单调递增， ②当时，的解为：， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 综上可得：当时，在R上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减． 已知函数． (1)讨论的单调性； 考点一 利用导数研究函数切线 (1)由函数的解析式可得：，， 重点题型 则切线方程为：， 切线过坐标原点，则：， 整理可得：，即：， 解得：，则， 切线方程为：， 与联立得， 化简得，由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根， 是的一个因式，∴该方程可以分解因式为 解得，， 综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和． 考点一 利用导数研究函数切线 已知函数． (2)求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标． (2)由题意可得：，， 重点题型 解题通法 若已知函数过平面上一点，且或点其中一项含有参数，但已知过该点切线数量，可设切点，此时，由切点与斜率写出切线方程，再将点代入，最后进行参变分离或利用判别式法求解参数范围． (1)参变分离法求参数范围：对于方程，参变分离得，求函数的单调性和极值，画图象讨论函数和函数的交点数量． 考点一 利用导数研究函数切线 1．已知切线的数量求参数 归纳总结 解题通法 (2)判别式法求参数范围：对于二次方程，判别式，由判别式得方程的解的数量． 步骤1：设切点； 步骤2：求导数，得； 步骤3：写切线方程； 步骤4：将代入步骤3； 步骤5：进行参变分离或利用判别式法求解参数范围． 考点一 利用导数研究函数切线 1．已知切线的数量求参数 归纳总结 解题通法 求函数和的公切线． 步骤1：设函数的切点为，设函数的切点为； 步骤2：求导数与，得函数的斜率，函数的斜率； 步骤3：函数的切线，函数的切线； 步骤4：化简得，； 步骤5：对比得，联立解方程得公切线． 考点一 利用导数研究函数切线 2．公切线问题 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考察方式 2024北京卷第20题 给出具体解析式，求函数的单调区间 2023全国甲卷文科第20题 给出具体解析式，求给定区间范围内的单调区间 2023全国甲卷理科第21题 给出具体解析式，求给定区间范围内的单调区间 2023北京卷第20题 给出具体解析式，求导函数的单调区间 2022新高考Ⅱ卷第22题 给出具体解析式，求函数的单调区间 2022北京第第20题 给出具体解析式，求导函数在给定区间范围内的单调区间 2021全国甲卷理科第21题 给出具体解析式，求函数的单调区间 2021新高考Ⅰ卷第22题 给出具体解析式，讨论函数的单调性 2020全国Ⅰ卷文科第20题 给出具体解析式，讨论函数的单调性 2020全国Ⅰ卷理科第21题 给出具体解析式，讨论函数的单调性 考点二 利用导数研究函数单调性 考频统计 1 ．函数的单调性 函数单调性的判定方法：设函数在某个区间内可导，如果，则为增函数；如果，则为减函数． 2 ．已知函数的单调性问题 ①若在某个区间上单调递增，则在该区间上有恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递增； ②若在某个区间上单调递减，则在该区间上有恒成立(但不恒等于0)；反之，要满足，才能得出在某个区间上单调递减． 考点二 利用导数研究函数单调性 知识点拨 ， 令，由于，所以， 所以， 因为，，， 所以在上恒成立， 所以在上单调递减． 已知函数．讨论的单调性． 考点二 利用导数研究函数单调性 重点题型 已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； 考点二 利用导数研究函数单调性 (1)解：因为，所以， 即切点坐标为， 又， ∴切线斜率 ∴切线方程为： 重点题型 已知函数． (2)设，讨论函数在上的单调性； 考点二 利用导数研究函数单调性 所以，令， 则， ∴在上单调递增，∴ ∴在上恒成立， ∴在上单调递增． (2) 因为， 重点题型 解题通法 (1)求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)； (2)变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)； (3)求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)； (4)未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)； 考点二 利用导数研究函数单调性 1．不含参数单调性讨论 归纳总结 解题通法 (5)正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)； (6)一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)； 求二阶导往往需要构造新函数，令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数，对新函数再求导． (7)借助二阶定区间(通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性，进而判断一阶导函数正负区间段)． 考点二 利用导数研究函数单调性 1．不含参数单调性讨论 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考察方式 2025上海卷第19题 函数存在极值，求参数的取值范围 2024全国甲卷理科第21题 给出具体解析式，求函数的极值 2024新高考Ⅱ卷第16题 给出函数极小值，求参数的取值范围 2023全国乙卷理科第21题 函数存在极值，求参数的取值范围 2023北京卷第20题 给出具体解析式，求函数的极值点个数 2022新高考Ⅰ卷第22题 根据函数的极值，求参数 2022全国乙卷文科第20题 给出具体解析式，求函数的最值 2021全国乙卷理科第20题 根据函数的极值点，求参数 2021北京卷第19题 给出函数极值点，求参，利用导数研究函数的单调区间与最值 2021天津卷第20题 给出含参解析式，证明函数存在唯一极值点 2020天津卷第20题 给出具体解析式，求解函数的单调区间与极值 考点三 利用导数研究函数极值与最值 考频统计 1．判断函数的极值点，主要有两点 (1)导函数的变号零点，即为函数的极值点． (2)利用函数的单调性可得函数的极值点． 2．求函数在上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在内的极值． (2)求函数在区间端点处的函数值，． (3)将函数的各极值与，比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 知识点拨 已知函数．求的极值． ， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 重点题型 (1)当时，，则， ，， 此时，曲线在点处的切线方程为，即； 已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； 考点三 利用导数研究函数极值与最值 重点题型 由题意可得，解得，故， ，列表如下： 所以，函数的增区间为、，单调递减区间为． 当时，；当时，． 所以，，． 已知函数． (2)若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值． 增 极大值 减 极小值 增 (2)因为，则， 考点三 利用导数研究函数极值与最值 重点题型 若，则对任意恒成立，可知在上单调递增，无极值，不合题意；若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 等价于，解得，所以a的取值范围为； 已知函数．若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 因为的定义域为，且， 重点题型 由在区间存在极值点，则在区间上存在变号零点; 令，则， 令，在区间存在极值点，等价于在区间上存在变号零点， 当时，，在区间上单调递减， 此时，在区间上无零点，不合题意; 当，时，由于，所以在区间上单调递增， 所以，在区间上单调递增，， 已知函数．若在存在极值，求a的取值范围． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 由函数的解析式可得， 重点题型 当时，由可得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故的最小值为， 令，则， 函数在定义域内单调递增，， 据此可得恒成立，则， 由一次与对数函数的性质可得，当时，， 且注意到，根据零点存在性定理知:在区间上存在唯一零点． 当时，，单调减， 当时，，单调递增，所以． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 所以在区间上无零点，不符合题意； 重点题型 则函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 所以 ， 所以函数在区间上存在变号零点，符合题意． 综合上面可知:实数取值范围是． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 令，则， 重点题型 (1)因为，所以， 设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 考点三 利用导数研究函数极值与最值 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以． 重点题型 设函数，曲线在点处的切线方程为． (2)设函数，求的单调区间． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 则， 令，解得，不妨设，， 则，易知恒成立， 所以令，解得或； 令，解得或； 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 即的单调递减区间为和，单调递增区间为和． (2)由(1)得， 重点题型 设函数，曲线在点处的切线方程为． (3)求的极值点个数． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 由(2)知在，上单调递减，在，上单调递增， 当时，，，即 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增； 所以在上有一个极小值点； 当时，在上单调递减， 则，故， 所以在上存在唯一零点，不妨设为，则， (3)由(1)得，， 重点题型 设函数，曲线在点处的切线方程为． (3)求的极值点个数． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 当时，，则单调递减；在上有一个极大值点； 当时，在上单调递增， 则，故， 在上存在唯一零点，不妨设为，则， 此时，当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，， ，则单调递增，在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点． 此时，当时，，则单调递增； 重点题型 已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围. 考点三 利用导数研究函数极值与最值 （1）因为，故，故， 故， 故即为， 设，则， 故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. 重点题型 已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围. 考点三 利用导数研究函数极值与最值 （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，，时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，，时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 重点题型 解题通法 (1)不能忽略函数的定义域． (2)是可导函数在处取得极值的必要不充分条件，即的变号零点才是的极值点，所以判断的极值点时，除了找的实数根外，还需判断在左侧和右侧的单调性． (3)若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值． (4)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 1．求函数的极值与最值的规律方法 归纳总结 解题通法 法一：(转化法)利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该类型题的最优解； 法二：(构造新函数)通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于通性通法． 考点三 利用导数研究函数极值与最值 2．已知函数存在极值点，求参数 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考察方式 2025全国甲卷文科第20题 给出含参解析式，证明给定区间范围的不等式恒成立 2023天津卷第20题 给出具体解析式，证明给定区间范围的不等式恒成立 考点四 利用导数证明简单的函数不等式 考频统计 1 ．利用导数证明不等式问题 直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数． 考点四 利用导数证明简单的函数不等式 知识点拨 ， 令，下证即可． ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 已知函数．当时，证明：当时，恒成立． 考点四 利用导数证明简单的函数不等式 ，且时， 重点题型 ，当时，， 则当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 当时，令，则或； 由可得当时，，单调递增；当或时，，单调递减， 故是的极大值点，不符合题意，舍去； 已知函数. (1)若是的极小值点，求的取值范围； 考点四 利用导数证明简单的函数不等式 (1)由可得 重点题型 ①若，即，，故在上单调递增，不合题意，舍去； ②若，即时， 当或时，，单调递增；当时，，单调递减，故是的极大值点，不符合题意，舍去； ③若，即时， 当时，，单调递减；当或时，，单调递增， 故是的极小值点，符合题意． 综上所述，的取值范围. 考点四 利用导数证明简单的函数不等式 当时，， 重点题型 设，，， 当，当， 于是在单调递增，在单调递减， 于是， 则由可得， 当，当， 且在单调递减，在单调递增， 那么，即证． 已知函数. (2)若只有唯一的极值点，求证：. 考点四 利用导数证明简单的函数不等式 (2)由(1)可知，当时，此时有唯一的极大值点，要证：，设，， 重点题型 解题通法 1．待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右的函数，有时对复杂的式子要进行变形，利用导数研究其单调性和最值，借助所构造函数的单调性和最值即可得证． 考点四 利用导数证明简单的函数不等式 归纳总结 解题通法 2．对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略： (1)通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； (2)利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题． (3)根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别． 考点四 利用导数证明简单的函数不等式 归纳总结 $