6.3 三角形的中位线 课件 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

6.3 三角形的中位线 第1课时　平行线间的距离 1. (新教材P164例3)如图，直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D. 求证：AC＝BD. 证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠1＝∠2＝90°. ∴AC∥BD. ∵AB∥CD， ∴四边形ACDB是平行四边形． ∴AC＝BD. (1)点到直线的距离：指点到直线的________的长度，如图1中的PQ的长度． (2)平行线间的距离：从一条直线上任意一点到另一条直线的_________的长度，如图2中的AB或CD或EF的长度． 结论：平行线间的距离处处______． 垂线段 垂线段 相等 2.如图，在▱ABCD中，AD＝12，AC＝26，∠ADB＝90°，则AD与BC间的距离为 ( ) A. 5     B．10 C．2     D．26 B 3.如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b.如果AB＝5 cm，AC＝4 cm，那么平行线a，b之间的距离为 ( ) A. 5 cm     B．4 cm C．3 cm     D．不能确定 B 4. 如图，直线a∥b，A是直线a上的一个动点．若该点从如图所示的点A出发向右运动，那么 △ABC的面积______．(填“会变”或 “不变”) 5.如图，已知直线a∥b，点A，B，C在直线a上，点D，E，F在直线b上，AB＝EF＝2，若△CEF的面积为5，则△ABD的面积为 ( ) A．2     B．4     C．5    D．10 不变 C ∴△BEN≌△DFM(SAS). ∴EN＝FM，∠BEN＝∠DFM. ∴∠FEN＝∠EFM.∴FM∥EN. ∴四边形MENF是平行四边形． 6. (新教材P164例4)如图，在▱ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM＝BN，DF＝BE.求证：四边形MENF是平行四边形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC. ∴∠EBN＝∠FDM. 在△BEN和△DFM中， 7.(新教材P167T4)已知：如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB和CD上的点，AE＝CF，M，N分别是DE和BF的中点． 求证：四边形ENFM是平行四边形． 又∵AE＝CF，∴DF＝EB. ∴四边形DFBE是平行四边形． ∴DE∥BF，DE＝BF.∴ME∥FN. ∵M，N分别是DE和BF的中点， ∴四边形ENFM是平行四边形． ∴ME＝ DE，FN＝ BF.∴ME＝FN. 证明：在▱ABCD中，DC AB，∴DF∥EB. 8.如图，AB∥CD，点E在CD上，若AB＝ 4 cm，S△ABE＝12 cm2，则平行线DC与AB 间的距离等于_____. 9.如图，在▱ABCD中，已知AB＝4 cm，BC＝9 cm，∠B＝30°，则AD，BC之间的 距离为______，▱ABCD的面积 为_______． 6 cm 2 cm 18 cm2 10.如图，点P在▱ABCD的边AB上，连接CP，DP，△APD的面积为S1，△BPC的面积为S2，△CDP的面积为S3，则 ( ) A. S3＝S1＋S2 B．S3＞S1＋S2 C．S3＜S1＋S2 D．S3＝ (S1＋S2) A 11.如图，在▱ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，对边AD和BC之间的距离为4 cm，则对边AB和CD之间的距离是_______． 8 cm 12.(新教材P168T11(1))如图，一张平行四边形纸片ABCD，AD＞AB.折叠平行四边形纸片ABCD，可以得到∠BAD和∠BCD的平分线，其中∠BAD的平分线交BC于点E，∠BCD的平分线交AD于点F. 求证：四边形AECF是平行四边形． 证明：依题意，得AE平分∠BAD，CF平分∠BCD， ∴∠BAE＝∠DAE，∠BCF＝∠DCF. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD∥BC，AD＝BC. ∴∠BEA＝∠DAE，∠BCF＝∠DFC. ∴∠BAE＝∠BEA，∠DCF＝∠DFC. ∴AB＝EB，DC＝DF.∴AB＝EB＝DC＝DF. ∴AD－DF＝BC－BE，即AF＝EC. 又∵AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形． 13.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC的中点，DE⊥BC，CE∥AD，且AC＝2，CE＝4. (1)求证：四边形ACED是平行四边形； (1)证明：由题知∠ACB＝90°，DE⊥BC， ∴∠CDE＝∠ACB＝90°. ∴AC∥DE. 又∵CE∥AD， ∴四边形ACED是平行四边形． (2)求四边形ACEB的周长． (2)解：在▱ACED中，DE＝AC＝2. ∵D是BC的中点，DE⊥BC， ∴BC＝2CD＝4，BE＝CE＝4. 在Rt△CDE中，CD＝ . 在Rt△ACB中，AB＝ . ∴四边形ACEB的周长＝AC＋CE＋BE＋AB ＝10＋2 . 14.(新教材P178T19)如图，在平行四边形纸片ABCD中，AB＝3 cm，将纸片沿对角线AC对折，边BC与边AD相交于点E，此时△CDE恰为等边三角形，求： (1)AD的长度； 解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝CD＝3 cm. ∵将纸片沿对角线AC对折，∴∠B′＝∠B，AB′＝AB. ∵△CDE为等边三角形，∴∠D＝∠B＝∠B′＝60°. ∴△BB′C是等边三角形． ∴BC＝AB＋AB′＝6(cm).∴AD＝BC＝6 cm. ∴EF＝ ED＝ CD＝ (cm)， (2)重叠部分的面积． 解：(2)如图，过点C作CF⊥AD于点F. ∵△CDE是等边三角形， AE＝AD－ED＝3(cm). 在Rt△CEF中，由勾股定理，得 CF＝ (cm). ∴S△AEC＝ AE·CF＝ ×3× ＝ (cm2). 第2课时　三角形的中位线 三角形的中位线 定义 连接三角形两边_____的线段叫作三角形的中位线 性质 三角形的中位线_____于第三边，且等于_______________ 几何语言  ∵DE是△ABC的中位线， ∴___________________________ 中点 平行 第三边的一半 DE∥BC，DE＝ BC 三角形的中位线定理的证明： 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点．求证： DE∥BC，且DE＝ BC. 证明：如图,延长DE到点F,使EF＝DE，连接FC, DC, AF. ∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形． ∴四边形DBCF是平行四边形． ∴CF DA. ∵AD＝BD，∴CF BD. ∴DF BC. 又∵DE＝ DF，∴DE∥BC，且DE＝ BC. 解：∵O是BD的中点，E是AB的中点，OE＝1， ∴AD＝2OE＝2. 1. 如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是AB的中点，∠ADB＝90°，AC＝6，OE＝1，求AD和BD的长． 又∵OA＝ AC＝3， ∴BD＝2OD＝2 . ∴在Rt△ODA中，OD＝ . 2.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，BC，AC的中点． (1)图中共有_____个平行四边形； (2)若AB＝10 cm，AC＝6 cm，则四边形ADEF的周长为____cm； (3)若△ABC的周长为6 cm，面积为12 cm2， 则△DEF的周长为____cm，面积为___cm2. 3 16 3 3 ∴四边形DEBF是平行四边形． 3. 如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点，点F在CB的延长线上，且BF＝ BC.求证：四边形DEBF是平行四边形． 证明：∵D，E分别是△ABC的边AB，AC上的中点， ∴DE＝ BC，DE∥BC. ∵BF＝ BC，∴DE BF. 4.如图，O为△ABC内的一动点，D，E，F，G分别为AB，AC，OC，OB的中点．求证：四边形DEFG为平行四边形． 证明：∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴四边形DEFG为平行四边形． ∴DE＝ BC，DE∥BC. 同理可得GF＝ BC，GF∥BC. ∴DE GF. 5.(2025·深圳二模)如图，在△ABC中，AC＝BC，DE为△ABC的中位线，连接CD.若∠B＝70°，则∠EDC的度数为 ( ) A. 21° B．22° C．20° D．19° C 6.(2025·珠海期中)如图，为测量某生态农庄中水塘旁的A，B两点间的距离，在地面上确定点O，分别取OA，OB的中点C，D，量得CD＝10 m，则A，B之间的距离是 ( ) A. 10 m B．15 m C．20 m D．25 m C 7.如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点．求证：△EFG是等腰三角形． 证明：∵E，G分别为AB，AC的中点， ∵F，G分别是DC，AC的中点， 又∵AD＝BC，∴EG＝FG. ∴△EFG是等腰三角形． ∴EG＝ BC. ∴FG＝ AD. 8.(新教材P174T3)如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点．四边形EGFH是平行四边形吗？请证明你的结论． 解：四边形EGFH是平行四边形．证明如下： ∵E，G是AB，AC的中点， ∵F，H分别是DC，DB的中点， ∴EG BC. ∴FH BC. ∴EG FH. ∴四边形EGFH是平行四边形． 9.(2025·江门期中)如图，在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，BE垂直AD，交AD的延长线于点E，M是BC的中点，连接EM. 求证：EM＝ (AB－AC). 证明：如图，延长BE与AC的延长线交于点F. ∵AD平分∠BAC，BE⊥AE， ∴∠BAE＝∠FAE， ∠BEA＝∠FEA＝90°. 在△AEF和△AEB中， ∴△AEF≌△AEB(ASA). ∴BE＝EF，AF＝AB，且AF＝AC＋CF. ∴CF＝AB－AC. ∵M为BC的中点，E为BF的中点， ∴EM＝ CF.∴EM＝ (AB－AC). 证明：如图，EF为△ABC的中位线，AD是中线，连接DE，DF. ∵D，E分别是BC，AB的中点， ∴DE∥AC.同理，得DF∥AB. ∴四边形AEDF是平行四边形． ∴AD与EF互相平分． ∴三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． 10.(新教材P174T2)求证：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分． $