精品解析：山东省淄博市张店区第八中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

2025-2026学年山东省淄博市张店八中初二下册期中数学 一．选择题（共10小题） 1. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 2. 能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（　　） A. B. C. D. 3. 下列图形中，已知，则能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于 的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 5. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A. B. C. D. 6. 一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，则小球停留在黑色区域内的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线，点是上一点，的角平分线交于点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 下列命题中，真命题有（ ） ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A. B. C. D. 10. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． 一次函数的“关联点”为； 若一次函数的“关联点”为，则，； 若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； 若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为． 以上说法正确的是（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共5小题） 11. 分别写有数字的五张大小和质地均相同的卡片,从中任意抽取一张,抽到无理数的概率是___________ 12. 已知一次函数图象经过与两点，则该函数的图象与y轴交点的坐标为________． 13. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“和谐数”．例如：四位数，∵，∴是“和谐数”；又如：四位数，∵，∴不是“和谐数”．若一个“和谐数”为，则这个数为______. 14. 若关于x，y的方程组，解为．则关于x，y的方程组的解是________ ． 15. 如图，已知长方形纸带ABCD，AB//CD，AD//BC，将纸带沿EF折叠后，点B、C分别落在H、G的位置，再沿GF折叠成图2，点A、D分别落在Q、H的位置，已知，则的大小为______度． 　　 三．解答题（共8小题） 16. 解方程组： （1）； （2）． 17. 完成证明并写出推理根据： 已知：如图，四边形，点E、F分别在边两方的延长线上，连接FA，若，． 求证：． 证明：∵点E在的延长线上（已知） ∴（平角定义） 又∵（已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（ ） ∴（ ） 18. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近_______（精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为_______； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下如果要使摸到黑球的概率为，需要往盒子里再放入多少个黑球？ 19. 如图，已知， （1）求证： （2）若平分，于点，，求的度数 20. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． （1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； （2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 21. 某体育用品商店用7800元购进一批篮球和排球，其中排球的进货数量比篮球的2倍多20个，篮球、排球每个的进价和售价如表： 篮球 排球 进价（元/件） 60 40 售价（元/件） 100 60 （1）该超市购进篮球和排球各多少个？ （2）该超市若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得多少利润？（注：利润=售价-进价） （3）某学校准备到该体育用品商量购买篮球和排球共22个，该体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案一：两种球类售价都打8折；方案二：购买2个篮球赠送一个排球． 学校根据购买清单，通过计算发现两种方案的购买总价是一样的．请你求出学校准备购买篮球和排球各多少个？ 22. 如图1，已知三角形，D是线段延长线上一点，． （1）求证：； （2）如图2，过C作交于H，平分，平分，若，求的度数； （3）如图3，，点P为线段上一点，点G为射线上一动点，线段分别交于点Q、M，其中，，又过P作，请直接写出与的数量关系． 23. 【模型建立】如图，在等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：． 【模型应用】 （1）如图，直线：与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线对应的函数表达式． （2）如图，四边形是长方形，O为坐标原点，点B的坐标为，点A、C分别在坐标轴上，P是线段上的动点，D是直线上的动点且在第四象限．若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年山东省淄博市张店八中初二下册期中数学 一．选择题（共10小题） 1. 从数学的观点看，对以下成语或诗句中的事件判断正确的是（ ） A. 诗句“清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 诗句“离离原上草，一岁一枯荣”是不可能事件 C. 成语“守株待兔”是随机事件 D. 成语“水中捞月”是随机事件 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件在随机试验中，可能出现也可能不出现；不可能事件在随机试验中一定不会出现；必然事件在随机试验中一定会出现． 【详解】解：A：清明节不一定会下雨，A为随机事件，故A错误； B：古原上的野草乱生乱长，每年春来茂盛秋来枯黄，B为必然事件，故B错误； C：守株不一定能等来兔子，C为随机事件，故C正确； D：水中不能捞到月亮，故D为不可能事件，故D错误． 故选：C 【点睛】本题考查对于事件类型的判断．掌握各事件的定义即可． 2. 能说明命题“对于任何实数a，”是假命题的一个反例可以是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了命题与定理：许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可． 写出一个a的值，不满足即可． 【详解】解：命题“对于任何实数a，”是假命题， 反例要满足，如． 故选：D． 3. 下列图形中，已知，则能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是注意平行判定的前提条件必须是三线八角． 在三线八角的前提下，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此判断即可． 【详解】解：A、和是对顶角，不能判定； B、∵，又∵，故，能判定； C、，，不能判定； D、和是同旁内角，，不能判定； 故选：B． 4. 如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于 的二元一次方程组的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与二元一次方程组的关系．观察图象得：一次函数 和 的图象交于点，再根据函数与方程组的关系结合交点坐标即可求得方程组的解． 【详解】解：∵ 一次函数 和 的图像交于点 ， ∴ 二元一次方程 的解就是M点的坐标，即， 故答案为：C． 5. 若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，以及二元一次方程的解，将k看作已知数求出x与y，代入中计算即可得到k的值． 【详解】解：， ①②得：， ， 将代入①得：， ， ， 关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解， ， 解得：． 故选：． 6. 一个小球在如图所示的方格地板上自由滚动，并随机停留在某块地板上，每块地板大小、质地完全相同，则小球停留在黑色区域内的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查几何概率，解题的关键是掌握：几何概率等于相应面积与总面积之比．先求出黑色地板在整个地板中所占的比值，再根据其比值得到所求概率． 【详解】解：由图可知，黑色地板有：，共9块地板， ∴黑色地板在整个地板中所占的比值为：， ∴小球停留在黑色区域的概率为：， 故选：B． 7. 如图，直线，点是上一点，的角平分线交于点，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，延长交于点，根据平行线的性质，结合角平分线的性质，求出的度数，三角形的外角求出的度数，平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴， ∴， ∵的角平分线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选D． 8. 下列命题中，真命题有（ ） ①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ④相等的角是对顶角； ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了判断命题的真假．根据平行线的判定、对顶角、平行线，垂直等知识逐项判断即可； 【详解】解：①在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题； ②在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系有平行、相交两种，原说法是假命题； ③在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是真命题； ④相等的角不一定是对顶角，原说法是假命题； ⑤两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，原说法是假命题． 真命题有2个． 故选：A 9. 《九章算术》是我国古代数学的经典著作，书中有一个问题：“今有黄金九枚，白银一十一枚，称之重适等．交易其一，金轻十三两．问金、银一枚各重几何？”．意思是：甲袋中装有黄金9枚（每枚黄金重量相同），乙袋中装有白银11枚（每枚白银重量相同），称重两袋相等．两袋互相交换1枚后，甲袋比乙袋轻了13两（袋子重量忽略不计）．问黄金、白银每枚各重多少两？设每枚黄金重x两，每枚白银重y两，根据题意得（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可得等量关系：①9枚黄金的重量=11枚白银的重量；②（10枚白银的重量+1枚黄金的重量）-（1枚白银的重量+8枚黄金的重量）=13两，根据等量关系列出方程组即可． 【详解】解：枚黄金重x两，每枚白银重y两 由题意得： 故选D． 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 10. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“关联点”．例如求的“关联点”：联立方程，解得，则的“关联点”为． 一次函数的“关联点”为； 若一次函数的“关联点”为，则，； 若一次函数和一次函数的“关联点”相同，则； 若一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且一次函数上没有“关联点”，若点为轴上一个动点，使得，则点的坐标为． 以上说法正确的是（　　） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】联立，解方程组即可判断；求出一次函数的“关联点”为，代入得，解得，即可判断；由一次函数和一次函数的“关联点”相同，则一次函数的“关联点”为，代入即可判断；由一次函数上没有“关联点”，则，所以，得，，故有，，设，所以，求得，，然后通过，得出，再求出的值即可判断． 【详解】解：联立， 解得， ∴一次函数的“关联点”为，故正确； ∵一次函数的“关联点”为， ∴， ∴， ∴一次函数的“关联点”为， 把代入得， 解得，故错误； ∵一次函数和一次函数的“关联点”相同， ∴一次函数的“关联点”为， ∴， ∴，故正确； ∵一次函数上没有“关联点”， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 当时，， 当时，， 解得， ∴，， ∴，， 设， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得：或， ∴或，故错误， 综上可得：正确，共个． 二．填空题（共5小题） 11. 分别写有数字的五张大小和质地均相同的卡片,从中任意抽取一张,抽到无理数的概率是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据无理数的概念确定无理数的个数，然后运用概率公式解答即可． 【详解】解：数据的无理数有2个，分别为和； 所以在这组数据中抽到无理数的概率为． 【点睛】本题考查了无理数的概念和运用概率公式求概率，其中确定无理数的个数是解答本题的关键． 12. 已知一次函数图象经过与两点，则该函数的图象与y轴交点的坐标为________． 【答案】（0，） 【解析】 【分析】设一次函数的解析式为y=kx+b，然后把与两点分别代入求出一次函数解析式，进而问题可求解． 【详解】设一次函数的解析式为y=kx+b， 把与两点分别代入得 ， 解得：， 所以一次函数的解析式为：， 当x=0时，y=， 所以该函数的图象与y轴交点的坐标为(0，)， 故答案为(0，). 【点睛】本题考查了一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握待定系数法是解本题的关键. 13. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为，满足，那么称这个四位数为“和谐数”．例如：四位数，∵，∴是“和谐数”；又如：四位数，∵，∴不是“和谐数”．若一个“和谐数”为，则这个数为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“和谐数”定义得出方程，然后解方程即可． 【详解】解：∵一个“和谐数”为， ∴， 解得， ∴这个数为． 14. 若关于x，y的方程组，解为．则关于x，y的方程组的解是________ ． 【答案】 【解析】 【详解】解：方程组变形得， ∵关于x，y的方程组，解为， ∴， ∴关于x，y的方程组变形得， ∴，， 解得：，， 即该方程组的解为：． 15. 如图，已知长方形纸带ABCD，AB//CD，AD//BC，将纸带沿EF折叠后，点B、C分别落在H、G的位置，再沿GF折叠成图2，点A、D分别落在Q、H的位置，已知，则的大小为______度． 　　 【答案】75 【解析】 【分析】设∠QHG=x，由翻折可得∠QHF=∠D=90°，∠GHE=∠B=90°，∠HGF=∠C=90°，所以∠GHF=90°-x，∠QHE=∠QHG+∠GHE=x+90°，根据∠QHE=2∠GHF，可得x+90°=2（90°-x），所以x=30°，进而可以解决问题． 【详解】解：设∠QHG=x，由翻折可知：∠QHF=∠D=90°，∠GHE=∠B=90°，∠HGF=∠C=90°， ∴∠GHF=90°-x，∠QHE=∠QHG+∠GHE=x+90°， ∵∠QHE=2∠GHF， ∴∠QHE=2（90°-x）， ∴x+90°=2（90°-x）， 解得：x=30°， ∴∠QHG=30°， ∴∠GHF=90°-x=60°， ∴∠GFH=30°， 由折叠可知：∠DFG=∠GFH=30°， ∴∠GFC=180°-30°=150°， ∴∠CFE=∠GFC=75°， 故答案为：75． 【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是利用翻折的性质得到相等的线段或角． 三．解答题（共8小题） 16. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（）利用加减消元法即可； （）先将原式化简后利用加减消元即可； 本题考查解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 【小问1详解】 得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故原方程组的解为：； 【小问2详解】 原方程组可化为：， 得：， 解得：， 把代入得：， 故原方程组的解为：． 17. 完成证明并写出推理根据： 已知：如图，四边形，点E、F分别在边两方的延长线上，连接FA，若，． 求证：． 证明：∵点E在的延长线上（已知） ∴（平角定义） 又∵（已知） ∴（ ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（ ） ∴（ ） 【答案】1；同角的补角相等；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定定理与性质定理求证即可． 【详解】证明：∵点E在的延长线上（已知） ∴（平角定义） 又∵（已知） ∴（同角的补角相等） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） 故答案为：1；同角的补角相等；3；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等． 18. 在一个不透明的盒子里装有颜色不同的黑、白两种球共40个，小颖做摸球实验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是“摸到白色球”的频率折线统计图． （1）请估计：当很大时，摸到白球的概率将会接近_______（精确到），假如你摸一次，你摸到白球的概率为_______； （2）试估算盒子里白、黑两种颜色的球各有多少个？ （3）在（2）条件下如果要使摸到黑球的概率为，需要往盒子里再放入多少个黑球？ 【答案】（1），； （2）估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； （3）需要往盒子里再放入个黑球． 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率、概率公式，解分式方程，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据统计图容易得出结果； （2）由摸到白球的概率将会接近，则白球，故黑球； （3）设需要往盒子里再放入个黑球； 根据题意得出方程，解方程即可； 【小问1详解】 解：根据统计图可知：当很大时，摸到白球的概率将会接近，假如你摸一次，你摸到白球的概率为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵摸到白球的概率将会接近， ∴摸到白球（个）， ∴黑球（个）， 答：估算盒子里白、黑两种颜色的球分别有个、个； 【小问3详解】 解：设需要往盒子里再放入个黑球， 根据题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， 答：需要往盒子里再放入个黑球． 19. 如图，已知， （1）求证： （2）若平分，于点，，求的度数 【答案】（1） 证明：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， ， （等量代换）， （同旁内角互补，两直线平行）； （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用平行线的判定与性质得出，进而得出，即可得出答案； （2）利用角平分线的定义结合已知得出，即可得出答案． 此题主要考查了平行线的判定与性质，正确得出是解题关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， 平分， （角平分线定义）， （已证）， 又， （垂直定义）， （已证）， （两直线平行，同位角相等）， ． 20. 定义：关于x，y的二元一次方程（其中a，b，c互不相同，且均不为0）中的常数项与未知数的系数互换，得到的方程叫“变更方程”．例如：的“变更方程”． （1）方程与它的“变更方程”组成的方程组的解为____________； （2）已知关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“变更方程”组成的方程组的解恰好是关于x，y的二元一次方程的一个解，求代数式的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组，理解题意并列出正确的方程组是解题的关键． （1）根据题意写出方程的“变更方程”后组成方程组，解方程组即可； （2）根据题意写出方程 “变更方程”，解得的值，再根据求得的值，将其代入中得到，，的关系，然后将其代入中计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得方程的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意可得的“变更方程”为， ∴联立方程组，得 解得． 即 是二元一次方程的一个解， 即， 21. 某体育用品商店用7800元购进一批篮球和排球，其中排球的进货数量比篮球的2倍多20个，篮球、排球每个的进价和售价如表： 篮球 排球 进价（元/件） 60 40 售价（元/件） 100 60 （1）该超市购进篮球和排球各多少个？ （2）该超市若按该售价将这批球类全部卖完后一共可获得多少利润？（注：利润=售价-进价） （3）某学校准备到该体育用品商量购买篮球和排球共22个，该体育用品商店给出以下两种优惠方案： 方案一：两种球类售价都打8折；方案二：购买2个篮球赠送一个排球． 学校根据购买清单，通过计算发现两种方案的购买总价是一样的．请你求出学校准备购买篮球和排球各多少个？ 【答案】（1）购进篮球50个，排球120个 （2）一共可获得4400元利润 （3）学校准备购买篮球12个，排球10个 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的混合运算的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解此题的关键． （1）设超市购进篮球个，则购进排球个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）根据题意列式计算即可得解； （3）设学校准备购买篮球y个，则学校准备购买排球个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解． 【小问1详解】 解：设超市购进篮球个，则购进排球个，则 ， 解得，， ， 答：购进篮球50个，排球120个； 【小问2详解】 解：（元）， 答：一共可获得4400元利润； 【小问3详解】 解：设学校准备购买篮球y个，则学校准备购买排球个， 由题意可得：， 解得：， ， 答：学校准备购买篮球12个，排球10个． 22. 如图1，已知三角形，D是线段延长线上一点，． （1）求证：； （2）如图2，过C作交于H，平分，平分，若，求的度数； （3）如图3，，点P为线段上一点，点G为射线上一动点，线段分别交于点Q、M，其中，，又过P作，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1） 证明：， ∴，， ∵， ∴． （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和是，三角形的外角的性质，掌握性质及定理是解题的关键． （1）由平行线的性质得出，，进而可得出结论． （2）过点F作，设，，可证，，即可求解． （3）设，，可证出，再证出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图：过点F作， ∵平分，， ∴设，， ∵，∴， ∵，∴， 即：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 即，∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：设，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 【模型建立】如图，在等腰直角三角形中，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：． 【模型应用】 （1）如图，直线：与坐标轴交于点A、B，将直线绕点A逆时针旋转至直线，求直线对应的函数表达式． （2）如图，四边形是长方形，O为坐标原点，点B的坐标为，点A、C分别在坐标轴上，P是线段上的动点，D是直线上的动点且在第四象限．若是以D为直角顶点的等腰直角三角形，请直接写出点D的坐标． 【答案】模型建立： 证明：如图1，为等腰直角三角形， ，， 又，， ，， ， 在与中， ， ； 模型应用：（1）， （2）或 【解析】 【分析】模型建立：根据为等腰直角三角形，，，可判定； 模型应用：（1）过点作，交于，过作轴于，根据，得出，，求得，最后运用待定系数法求直线的函数表达式； （2）当点为直角顶点，分点在直线的上方或下方两种情况，由此可得出结论． 【详解】模型建立： 略 模型应用：（1）如图2，过点作，交于，过作轴于， ， 为等腰直角三角形， 由模型建立可知：， ，， 直线中，若，则；若，则， ，， ，， ， ， 设的解析式为，则 ， 解得， 的解析式：； （2）当点在直线下方时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设； 则，，； 则，得，即： ，； ； 当点在直线上方时，过作轴的平行线，交直线于，交直线于，设； 则，，； 则，得，即： ，； ． 综上所述，或 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了点的坐标、矩形的性质、待定系数法、等腰直角三角形的性质以及全等三角形等相关知识的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，运用全等三角形的性质进行计算，解题时注意分类思想的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $