6.2.4 向量的数量积（第1课时）导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积（第1课时） 【学习目标】 1. 理解向量的夹角，掌握向量的数量积公式和夹角公式. 1. 理解向量投影的概念，能推导投影向量的表达式. 1. 应用向量的数量积和投影向量解决相关问题. 【学习重点】 1. 向量夹角的定义及范围. 2. 数量积的定义与几何意义. 3. 投影向量与数量积的关系. 【学习难点】 1. 数量积的几何意义（投影）. 2. 区分投影与投影向量的概念. 学习任务一 向量的夹角与数量积的概念 【合作探究】 1. 问题引入： · 在物理学中，一个物体在力 的作用下产生位移 ，力所做的功为 ，其中 是力与位移的夹角. · 功是一个标量，它由两个向量（力与位移）决定.数学上能否将这种运算抽象为两个向量的“乘法”？ 1. 向量的夹角： · 已知两个非零向量 ，，在平面内任取一点 ，作 ，，则 （）称为向量 与 的夹角. (1) 当 时， 与 同向； (2) 当 时， 与 反向； (3) 当 时， 与 垂直，记作 . 1. 数量积的定义： · 两个非零向量 ， 的数量积（内积）是一个实数，记作 ， · 规定：零向量与任何向量的数量积为 . (1) 数量积的结果是数量（标量），不是向量. (2) 物理中，功就是力与位移的数量积. 1. 数量积的性质（由定义直接得到）： (1) （交换律） (2) (3) ，记作 (4) （柯西不等式） 1. 思考：数量积的正负由什么决定？ · 答：由 的符号决定： 时为正， 时为零， 时为负. 【自主梳理】 1. 夹角：，范围 . 1. 数量积：. 1. 垂直：. 1. 模长平方：. 学习任务二 投影向量与数量积的几何意义 【合作探究】 1. 投影的概念： · 对于非零向量 ，，考虑 在 方向上的投影. · 过 的终点向 所在直线作垂线，垂足与起点间的有向线段对应的向量称为投影向量. 1. 投影向量的大小为 ，方向与 相同（）或相反（）. 2. 投影向量记作 ，其中 是 方向的单位向量. 1. 投影的数量（射影）： · 在 方向上的投影数量（有向长度）为 . · 它是一个实数，可正可负. 1. 数量积的几何意义： · 等于 乘以 在 方向上的投影数量，也等于 乘以 在 方向上的投影数量. 1. 例题：已知 ，， 与 的夹角为 ，求： · (1) ； · (2) 在 方向上的投影数量. · 解： · (1) . · (2) 投影数量为 . 【自主梳理】 1. 投影数量：. 1. 投影向量：. 1. 几何意义：数量积是一个向量的模乘以另一向量在其方向上的投影. 学习任务三 数量积的应用与计算 【合作探究】 1. 例1：已知 ，，且 ，求 与 的夹角 . · 解：，所以 . 1. 例2：已知 ，，且 ，求 . · 解：，所以 . 1. 例3：已知 ，，，求 在 方向上的投影向量. · 解：投影数量为 ，单位向量 ，投影向量 . 【自主梳理】 数量积的计算方法： 1. 直接定义：已知模和夹角. 2. 坐标法（下一节）. 3. 运算律：交换律、数乘结合律、分配律等. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若 ，则 或 . （ ） 1. . （ ） 1. 两个向量的数量积可能为正、负或零. （ ） 1. 投影向量是一个向量，投影数量是一个实数. （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 答案：1.×（可能垂直） 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：已知 ，， 与 的夹角为 ，求： (1) ； (2) ； (3) 向量 在 方向上的投影向量. 解： (1) . (2) ，所以 . (3) 在 方向上的投影数量为 ，单位向量 ，投影向量 . 例2：已知 ，， 与 的夹角为 ，求 与 的数量积. 解：. ，所以原式 . 【习题巩固】 1. 若 ，，且 ，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，且 ，则 与 的夹角为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，，则 在 方向上的投影数量为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若 ，，，则 ______. 1. （选做）在等腰直角三角形 中，，，求 . 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. C（） 1. C（，） 1. A（投影数量 ） 1. （） 1. . 学科网（北京）股份有限公司 $