6.2.4 向量的数量积（第2课时）导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.4 向量的数量积（第2课时） 【学习目标】 1. 理解向量数量积的运算律，掌握推导过程. 1. 能运用数量积运算律进行向量的化简、求值、求模等计算. 1. 会利用数量积运算律解决向量垂直的判定与应用问题. 【学习重点】 1. 向量数量积的交换律、结合律、分配律. 2. 利用运算律求模、夹角、证明垂直. 【学习难点】 1. 向量数量积结合律与数乘结合律的区别（数量积不满足结合律 无意义）. 2. 利用数量积运算律解决综合问题. 学习任务一 向量数量积的运算律 【合作探究】 1. 回顾数量积定义：，结果是一个实数. 1. 类比实数乘法，猜想并验证向量数量积的运算律： (1) 交换律：（显然成立，因为乘法交换和夹角相同）. (2) 结合律：（数乘结合律成立）. (3) 分配律：（重要，可借助投影证明）. (4) 注意： 没有意义，因为 是实数，实数与向量点乘未定义. 1. 思考与辨析： (1) （类比完全平方公式）. (2) . (3) （平方差公式）. (4) 注意：. 1. 垂直的判定：（适用于零向量）. 【自主梳理】 数量积的运算律（ 为任意向量，）： 1. 交换律： 2. 结合律（数乘）： 3. 分配律： 4. 完全平方： 5. 平方差： 学习任务二 数量积运算律的应用 【合作探究】 1. 例1（化简）：化简 . · 解：原式 · （因为 ）. 1. 例2（求模）：已知 ，，，求 . · 解：，所以 . 1. 例3（垂直判定）：已知 ，，且 与 垂直，求 . · 解：由 ，得 . · 代入 ，，得 ，所以 . · 例4:已知 ，，且 ，则 ______. · 解：，所以 . 【自主梳理】 应用数量积运算律解题常见类型： 1. 化简表达式：利用分配律、交换律合并. 2. 求模：利用 ，将模平方转化为数量积. 3. 求夹角：利用 . 4. 证明垂直：转化为数量积为零. 【自查自纠】（正误判断） 1. . （ ） 1. . （ ） 1. . （ ） 1. 若 ，则 . （ ） 1. 当且仅当 . （ ） 答案：1.√ 2.×（左边无意义，右边也无意义，但点积结果实数与向量点乘无定义） 3.×（应为 ） 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：已知 ，，，求 . 解：，所以 . 例2：已知 ，，且 与 的夹角为 ，求 与 的数量积. 解：. ，所以原式 . 例3：已知 ，，且 ，求 . 解：，得 ，即 ，，，所以 . 【习题巩固】 1. 已知 ，，且 ，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若 ，，且 ，则 与 的夹角为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 化简 的结果是（ ） · A.  B. · C.  D. 1. 已知 ，，且 ，则 在 方向上的投影数量为______. 1. （选做）在 中，，，且 ，，，求 边的长度和 与 的夹角的余弦值. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. A（，原式） 1. C（） 1. B（展开：） 1. .，所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $