6.2.3 向量的数量枳-【名师大课堂】2025-2026学年高中数学必修第二册同步小作业（人教A版）

课时3向量的数量积 A级基础练 1.(多选)关于平面向量a,b,c,下列说法中正 4.设P为△ABC所在平面内一点，且满足 确的是 PA.PB=PB.PC=PC.PA,则P是 A.(a+b)·c=a·c+b·c △ABC的 () B.(a·b)c=a(b·c) A.重心 B.垂心 C.若a·b<0,则a与b的夹角为钝角 C.外心 D.内心 D.la·b|=|alIb台a∥b 5.已知|a|=√2，b是非零向量，e是与向量b 2.已知平面向量a,b满足a=2,|b=1,a· 方向相同的单位向量，向量a在向量b上的 (a一b)=5,则向量a与b的夹角为( 投影向量为一e,则a与b的夹角为() A.45° B.60° A.晋 B哥 C.120 D.135° c号 D晋 6.已知△ABC的外接圆圆心为O,且AB+AC =2AO,|OA|=1AB|,则向量BA在向量 3.（多选)若平面向量a,b,c两两的夹角相等， BC上的投影向量为 ( 且a=1,1b|=2,1c|=3,则|a+b+c|的 A.BC B.3BC 值可能为 ( 4 A.√3 B.√6 D.-3BC 4 C.3 D.6 B级综合练 1.设向量a,b满足a+b|=3,a-b|=1, :2.(多选)若向量a,b满足|a=|b=2,a+b= a与b的夹角为0，则b1cos9十acos0 a b1 2√5，则 () A.a·b=-2 ( B.a与b的夹角为写 A.2 B号 C.a⊥(a-2b〉 C.4 D.3 D.a-b在b上的投影向量为)b 3.(多选)已知向量a,b,c满足|b十c=2, (2)求∠MPN的余弦值. 且a=|b=2,|c=4,向量a与b,a与c, a+2b与b-c的夹角都是，则入的值可 能为 ( A-是 C.-1 D.1 4.如图，在△ABC中，已知|AB|=2,|AC1= 6√2，∠BAC=45°，BC,AC边上的两条中 线AM,BN相交于点P. (1)求|AM; 8P店=PA+A店=2PA,则P PAL 二2. 5.解：(1)由题可知A方=AB+B方=AB+3BC=A方 +子(AC-A)=子A店+子AC 因为点E为AD的中点，所以A它=号AD=号A店 +gAC. 因为ai=mA店，AN=nAC,所以A应-Ai十 , 因为M,N,E三点共线，所以，十1=1， 3m 6n 所以3m+6n=(3m+6m)(动+品)=2+(0+ %)≥2+2兴·贺=2+2=4，当且仅当0-器 m 2n 即m=号m=号时，等子成立， 所以3m十6n的最小值为4. (2)由2AO=OB+O元，得2AO=OA+AB+OA +AC,即AO=上AB+AC), O=A应-Aò=(}A+6A)-(A+A心 =A店-bAC-C弦，所以O/C, 又E,C,B三点不共线，所以OE∥BC 课时3向量的数量积 A级基础练 1.AD A 根据向量的运算律可知，A正确， (a·b)c表示与向量c共线的向量， 3 a(b·c)表示与向量a共线的向量，则 (a·b)c与a(b·c)不一定相等. 当两个非零向量a与b的方向相反时， C X a·b=一ab<0,此时a与b的夹 角为180°，不是钝角. 若a与b中至少有一个零向量，则 |a·b|=|ab=0,此时a与b共线； 若a与b均为非零向量，设a与b的夹 D√ 角为0，则|a·b=a|bcos=a |b,可得c0s0=土1，又0≤0≤π，所以 0=0或π，即a与b共线，反之也成立. 综上，a·b|=a|b台a∥b. 8 2.C因为a=2a·(a-b)=a2-a·b=|a2- a·b=5, 所以a·b=一1.设向量a与b的夹角为0，则cos0 8治==-名因为9∈[0]，所 =0·b 以02 3.AD由平面向量a,b,c两两的夹角相等，得夹角 为0°或120°.当夹角为0°时，a+b十c|=a+b +c=1+2+3=6;当夹角为120°时，|a+b+c (a+b+c)2 √Ja+b+c2+2a·b+2a·c+2b·c √14-2-3-6=3.故a十b+c的值为6或√3. 4.B由PA·PB=PB·PC,得PB·(PA-PC)= PB·CA=O,即PB⊥CA,同理PA⊥BC,PC⊥ BA,所以P是△ABC的垂心，故选B. 5.D设向量a与b的夹角为0.由题意可知向量a在 向量b上的投影向量为acos0e,则|acos0e= -e,所以4：b=-1,即2cos0=-1,所以cos0 b 厂2，因为0≤小≤180，所以0=1358 6.A由AB+AC=2AO,得点 O为BC的中点.又点O为 △ABC的外接圆圆心，故B D O △ABC为直角三角形，且 ∠BAC=90°，则OA=OB,又1OA|=|AB1,所以 △ABO为等边三角形.如图，过点A作BC的垂 线，套足为D.设AB=B0=号BC=m,则BD 罗，国此可得向量BA在向量B武上的投影向量为 BD=上BC. B级综合练 1.B因为a+b=3,所以a2+2a·b+b2=9①. 又a-b=1,所以a2-2a·b+b=1②.由①② 得a·b=2,a2+b=5,所以cos0十acos6 a b a6+al8。名-县选B 2.BC因为a=|b=2,所以a+b|=√(a+b)= √a+2a·b+b=√8+2a·b=2√5，则a·b=2, 故A错送：闲为cosa,6)=日论=2灵2=司 0≤a,b)≤，所以a,b=号，故B正确：因为a· (a-2b)=a2-2a·b=4-2×2=0,所以a⊥(a 2b),故C正确；a-b在b上的投影向量为|a-b cose-b:b·合=a1日n治·合 ah.b=一b,故D错误. b12 3.AD设b与c的夹角为0，则b+c2=|b2+c2 +2b·c=20+2b·c=12,所以b·c=-4,所以 0s9=:日=-日义0≤C,所以9-经由 3 题意得a·b=2,a·c=4,则a+2b|=√a+2b) =2√7，|b-c|=√(b-c)'=√16入+8入+4，(a+ 2b)·(h-c)=4以+10，所以a+2b)·(h-xC) a+2b b-ic 27是可含解行=一是高= 4λ+10 4.解：(1)因为M为BC的中点， 所以Ai=子(A应+AC. 所以A脉=子（亦+衣+2A市·心）=子 (AB2+AC12+2ABIACI cos<AB,AC>). 又|A1=2,|AC1=6√2，∠BAC=45°， 所以=(4+72+2x2x6万×)=25， 所以AM=5. (2)因为N为AC的中，点，所以B亦=A市-A方= 号心-A成，又A成=子（市+AO, 所以Ai.B时=名(A+AC)·(}A心-A迹) 合号花-号术.防-)=合分×2-司 ×12-4)=13, 又B时1=兮AC-A=V18-12+4=而， 所以cos〈AM,B亦〉= AM.BN 13 AMB=5X√d =13√10 50 又∠MPN与AM,B市的夹角相等，所以cos ∠MPN=13D,即∠MPN的余弦值为13d 50 50 第三节平面向量基本定理及 坐标表示 课时1平面向量基本定理 A级基础练 1.ACB中DA与BC共线，D中OD与OB共线，A,C 中两向量不共线，故选AC. 2.A 8 因为2e2-4e1=-2(2e1-e2),所以2e1-e2和 A 2e2一4e1共线，不能作为基底. 设e1+e2=入(e1-2e2)=ae1-2e2,则 B 入=1， -2λ=1， 无解，故e1十e2和e1-2e2不共线， 能作为基底。 C 与B同理可得e,一2e2和e1不共线，e1十e2和 D 2e2十e1也不共线，均能作为基底. 自以上分析知选A. 3.AD由平面向量基本定理，可知A,D说法正确，B 说法错误.对于C,当入1=入2=41=42=0时，这样 的入有无数个，故C说法错误. 4.C通解如图，设AC与BD相交于点O,又G为 △ACD的重心，可得O为BD的中点，点G在OD 上，且DG=2G0,则AG=A0+O元=AO+3Oi= Aò+。BD=号(Ai+AD)+6(Ai-AB) }A成+号市.又AG=x店十yA市，则x=子y =号所以3x十y 5 G 0 B 秒解由题意知DG:GB=1:2,所以由分点恒等 式得花=号+号市，所以=子y=号，所以 3x+y-号 5.解：(1)B0-BA+AQ=-A+号AC 因为A庆=子A店，所以C成=C+A求=一AC+ }成 (2)Ai=A店+入BQ=A店+X(-A店+号AC) (1-A)Ai+AC,Ai=A心+μC京=AC+4 AC+子A)=号A店+1-)A元 1-A= 4 由平面向量基本定理，得 解得 =1