6.2.3 向量的数乘运算导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.3 向量的数乘运算 【学习目标】 1. 认识与理解向量数乘运算的概念及几何意义. 1. 掌握向量的数乘运算的运算律，并能进行向量的线性运算. 1. 理解共线向量定理，能证明三点共线和解决向量共线求参数问题. 【学习重点】 1. 向量数乘的定义及几何意义. 2. 向量数乘的运算律. 3. 共线向量定理及其应用. 【学习难点】 1. 理解向量数乘的几何意义（伸缩与方向）. 2. 用共线向量定理证明三点共线. 学习任务一 向量的数乘运算的概念与几何意义 【合作探究】 1. 问题引入： · 在实数中， 乘以 表示 的 倍.类比地，向量能否进行“乘法”？ · 例如，一个向量 能否与一个实数 相乘？结果是什么？ 1. 向量数乘的定义： · 实数 与向量 的积是一个向量，记作 . (1) 模：. (2) 方向：当 时， 与 同向；当 时， 与 反向；当 时，. 1. 几何意义： · 相当于对 进行伸缩： ：伸长；：缩短；：不变；：反向等长. · 这种运算称为向量的数乘. 1. 思考： 1. 与 的方向相同，长度是 的 倍. 2. 与 的方向相反，长度是 的 倍. 3. . 【自主梳理】 1. 数乘定义：实数 与向量 的乘积 是一个向量. 1. 模：. 1. 方向： 同向， 反向， 得零向量. 1. 几何意义：向量的伸缩与方向变化. 学习任务二 向量数乘的运算律与线性运算 【合作探究】 1. 运算律： · 对于任意实数 ， 和任意向量 ，，有： (1) 结合律： (2) 分配律： (3) 分配律： 1. 向量的线性运算： · 向量的加法、减法、数乘统称为向量的线性运算.线性运算的结果仍为向量. 1. 例题：化简下列各式： · (1)  (2)  (3) · 解： · (1) · (2) · (3) 1. 练习：已知 ，，求 ，，. · 解：；；. 【自主梳理】 向量线性运算律： 1. 实数与向量的乘法满足结合律、分配律. 2. 向量线性运算可类比实数的运算，但注意方向. 学习任务三 共线向量定理及其应用 【合作探究】 1. 共线向量定理： · 向量 （）与 共线的充要条件是：存在唯一一个实数 ，使得 . · 注：若 ，则 与 共线时 不唯一，但 与任何向量共线. 1. 三点共线问题： · 三点共线 （或 等）. 1. 例题：已知 ，，判断 是否共线. · 解：，存在实数 ，故 共线. 4.例题：已知 三点共线，且 ，则 ______. · 解：. · 【自主梳理】 共线向量定理的应用： 1. 证明向量共线：存在 使 . 2. 证明三点共线：转化为有公共起点的向量共线（如 ）. 3. 求参数：利用向量共线条件列方程，结合向量不共线时系数为零求解. 【自查自纠】（正误判断） 1. 当且仅当 或 . （ ） 1. 若 与 共线，则存在唯一实数 使 . （ ） 1. 向量的数乘结果仍是向量. （ ） 1. . （ ） 1. 若 ，则 与 同向. （ ） 答案：1.√ 2.×（ 时 不唯一） 3.√ 4.√ 5.×（可能反向，若 为正则同向，正确，但若 则 与 同向，因为 .第5题正确.） 【典例分析】 例1：已知 ， 是两个非零向量，且 ， 与 夹角为 ，求 . 解：，所以 . 例2：设 是两个不共线的向量，，，，若 三点共线，求 的值. 解：. 共线 ， 即 . 因为 不共线，所以 ，解得 ，. 【习题巩固】 1. 化简 的结果是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 在 中， 是 的中点，则 可表示为（ ） · A.  B. · C.  D. 1. 设 不共线，且 ，，，若 三点共线，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，且 与 反向，则 ______，______. 1. （选做）在平行四边形 中， 为 的中点，，，用 表示 ，并判断 是否共线. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. C（原式 ） 1. A（向量加法的平行四边形法则） 1. D（，，由共线得 ，解得 ） 1. （反向相减），（反向相加） 1. ， 共线需 即 ，因 与 不共线，故无解，所以 不共线. 学科网（北京）股份有限公司 $