6.2.3向量的数乘运算及其几何意义导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学导学案聚焦向量的数乘运算及其几何意义，涵盖数乘定义、运算律及共线向量定理等核心知识点。课堂导入承接向量加减法，通过表格系统梳理知识要点，以典型例题分题型搭建学习支架，帮助学生逐步掌握运算规则与几何意义。 资料亮点在于例题设计分层递进，从定义辨析到几何应用，培养学生运算能力与推理意识。结合共线定理及三点共线证明，发展几何直观与空间观念，注重知识迁移，助力学生用数学语言表达和解决问题，提升数学核心素养。

2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.2.3向量的数乘运算及其几何意义 导学目标： 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算； 2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行. 【重点】实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 【难点】理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【知识要点】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb 特别地 有； λa-λb。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 注：向量的线性运算的结果仍为向量。 对于任意向量、及任意实数、,恒有. 共线向量定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 注： 向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。 结论 证明（判断）A、B、C三点共线的方法： 且有公共点BA、B、C三点共线. 【典型例题】 题型一 向量的数乘的定义和运算法则 【例1-1】已知λ∈R，则下列结论正确的是（ ） A.  |λa|＝λ|a| B. |λa|＝|λ||a| C.  |λa|＝|λ|a D. |λa|>0 【例1-2】（衔接教材P14L5）计算 (1) (2) (3) 【例1-3】下列计算正确的个数是(　　) ① ②； ③ A．0 B．1 C．2 D．3 【例1-4】若C在线段AB上，且，则（ ） A. B.  C. D. 【例1-5】若为已知向量，且，则= . 题型二 向量的数乘的应用 【例2-1】（衔接教材P14L6）如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且，用向量表示 【例2-2】在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【例2-3】已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 题型三 向量共线的判定 【例3-1】判断下列各小题的向量是否共线. （1） （2） （3） . 【例3-2】（衔接教材P15L7）如图，已知任意两个非零向量，试作 ，，你能判断A、B、C三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 【例3-3】（衔接教材P16L8）已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数t的值. 题型四 向量共线的运用 【例4-1】在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【例4-2】如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（    ） A． B． C． D． 【例4-3】已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【例4-4】设两个非零向量与不共线． (1)若，求证三点共线． (2)试确定实数，使和共线． 【例4-5】如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，. (1)用表示； (2)求证：B，E，F三点共线． ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.2.3向量的数乘运算及其几何意义【导学】【解析】 导学目标： 1.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量积的三条运算律，会利用实数与向量积的运算律进行有关的计算； 2.理解两个向量平行的充要条件，能根据条件两个向量是否平行. 【重点】实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 【难点】理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件. 【知识要点】 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 数乘 求实数λ与向量的积的运算 (1)|λ|＝|λ|||； (2)当λ>0时，λ的方向与的方向相同；当λ<0时，λ的方向与的方向相反；当λ＝0时，λ＝0 λ(μ)＝λμ； (λ＋μ)a＝λ＋μ； λ(＋)＝λ＋λ 特别地 有； λ-λ。 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。 注：向量的线性运算的结果仍为向量。 对于任意向量、及任意实数、,恒有. 共线向量定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 注： 向量与实数之间可以象多项式一样进行运算。 结论 证明（判断）A、B、C三点共线的方法： 且有公共点BA、B、C三点共线. 【典型例题】 题型一 向量的数乘的定义和运算法则 【例1-1】已知λ∈R，则下列结论正确的是（ B） A.  |λ|＝λ|| B. |λ|＝|λ||| C.  |λ|＝|λ| D. |λ|>0 【例1-2】（衔接教材P14L5）计算 (1) (2) (3) 【答案】(1)-12 ；(2)； (3). 【例1-3】下列计算正确的个数是(　　) ① ②； ③ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【例1-4】若C在线段AB上，且，则（ ） A. B.  C. D. 【答案】D 【例1-5】若为已知向量，且，则= . 【答案】 题型二 向量的数乘的应用 【例2-1】（衔接教材P14L6）如图，平行四边形的两条对角线相交于点M，且，用向量表示 【答案】; ;;. 【例2-2】在中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【例2-3】已知等腰梯形ABCD中，，，BC的中点为E，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 题型三 向量共线的判定 【例3-1】判断下列各小题的向量是否共线. （1） （2） （3） . 【答案】(1)共线； (2)共线； (3)不共线. 【例3-2】（衔接教材P15L7）如图，已知任意两个非零向量，试作 ，，你能判断A、B、C三点之间的位置关系，并证明你的猜想. 【答案】略 【例3-3】（衔接教材P16L8）已知是两个不共线的向量，向量共线，求实数t的值. 【答案】 题型四 向量共线的运用 【例4-1】在中，是边上一点，且是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【例4-2】如图，在中，D是BC边中点，CP的延长线与AB交于AN，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【例4-3】已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【例4-4】设两个非零向量与不共线． (1)若，求证三点共线． (2)试确定实数，使和共线． 【答案】(1)略； （2）1. 【例4-5】如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，. (1)用表示； (2)求证：B，E，F三点共线． 【答案】(1);;;;. (2)由（1）， ,可知共线， 又因为 有公共点B 所以 B，E，F三点共线． ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $