6.2.2 向量的减法运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.2 向量的减法运算 【学习目标】 1. 认识与理解相反向量的概念及其性质. 1. 掌握向量的减法运算的运算法则及其几何意义. 1. 能熟练运用向量的加法、减法运算法则进行向量运算. 【学习重点】 1. 相反向量的概念与性质. 2. 向量减法的三角形法则：“共起点，连终点，方向指向被减向量”. 3. 向量减法的几何意义. 【学习难点】 1. 理解向量减法的几何意义，尤其是差向量的指向. 2. 向量减法与加法的关系转化. 学习任务一 相反向量与向量减法的定义 【合作探究】 1. 问题引入： · 在实数中，减去一个数等于加上这个数的相反数.如 . · 类比实数的减法，向量的减法应该如何定义？ · 我们知道，向量 的相反向量是 ，满足 . · 那么， 能否转化为 ？ 1. 相反向量的概念： (1) 与向量 长度相等、方向相反的向量，叫做 的相反向量，记作 . (2) 性质：，. (3) 若 ， 互为相反向量，则 ，. 1. 向量减法的定义： · 向量 减去向量 等于 加上 的相反向量，即 · 这样，向量的减法就转化为了加法运算. 1. 几何意义（三角形法则）： · 已知 ，，在平面内任取一点 ，作 ，，则 · 即 表示从 的终点指向 的终点的向量. · 口诀：“共起点，连终点，方向指向被减向量”. 1. 向量减法的作图： (1) 同起点：将 和 的起点放在一起，差向量就是连接两个终点且指向被减向量终点的向量. (2) 如果两个向量共线，差向量的方向与模较大的向量方向一致，模为 . 【自主梳理】 1. 相反向量：长度相等、方向相反的向量. 1. 向量减法：. 1. 几何法：，其中 ，. 1. 口诀：共起点，连终点，方向指向被减向量. 学习任务二 向量减法的应用与计算 【合作探究】 1. 例1：已知向量 ， 不共线，作出 . · 解：任取一点 ，作 ，，连接 ，则 . 1. 例2：已知 ， 同向，，，求 . · 解： 与 同向，模为 . 1. 例3：已知 ， 反向，，，求 . · 解：， 与 同向，模为 . 1. 例4：已知 ， 垂直，，，求 . · 解：由向量减法的几何意义， 可以看作以 和 为邻边的平行四边形的另一条对角线（与加法对角线不同），其模满足 . 1. 例5（化简）：化简 . · 解：，，则原式 . 【自主梳理】 向量减法运算的注意点： 1. 作差向量时，起点必须相同，否则需平移. 2. 差向量的方向指向被减向量的终点. 3. 多个向量的加减混合运算可先化为加法，利用交换律、结合律简化. 【自查自纠】（正误判断） 1. 相反向量就是方向相反的向量. （ ） 1. . （ ） 1. 若 与 反向，则 . （ ） 1. 在 中，. （ ） 1. 零向量的相反向量是零向量. （ ） 答案：1.×（还需长度相等） 2.√ 3.√ 4.√ 5.√ 【典例分析】 例1：已知 ，，，用 ，， 表示 ，，. 解： 1　 2　 3　 例2：在平行四边形 中，设 ，，试用 ， 表示 ，. 解： （注意： 是从 指向 ，，则 ） 【习题巩固】 1. 在 中，，，则 等于（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 化简 的结果是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 ，，且 与 的夹角为 ，则 等于（ ） · A. 2 B. 10 C. 14 D. 2 或 14 1. 若 与 反向且 ，，则 ______. 1. （选做）在平行四边形 中，，， 是 与 的交点.试用 ， 表示 ，，，. 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. C（） 1. B（，） 1. B（） 1. （反向时 ，模相加） 1. ，，，. 学科网（北京）股份有限公司 $