6.2.2 向量的减法运算 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.2.2向量的减法运算【导学】 导学目标： 1、了解相反向量的概念； 2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 【重点】向量减法的概念和向量减法的作图法； 【难点】减法运算时方向的确定. 【知识要点】 相反向量 如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量． 性质 (1)对于相反向量有：． (2)若与互为相反向量，则=-，． (3)零向量的相反向量仍是零向量． 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 求与的相反向量-的和的运算叫做与的差 三角形法则 -＝+（-） 作法 在平面内任取一点O，作＝，＝，则向量，如图所示． 向量减法的几何意义 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量． 【典型例题】 题型一 平面向量减法运算的理解 【例1-1】判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量． (　　) (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． (　　) (3)向量与向量的差与向量与向量的差互为相反向量． (　　) (4)相反向量是共线向量． (　　) 【例1-2】在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为 . 【例1-3】已知，为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若||＋||＝|＋|，则与方向相同； ②若||＋||＝|－|，则与方向相反； ③若||＋||＝|－|，则与有相等的模； ④若|||－|||＝|－|，则与方向相同． 题型二 向量的减法运算 【例2-1】化简：(－)－(－)． 【例2-2】如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【例2-3】已知，试用表示下列各式：(1)  (2) (3) 【例2-4】若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　　) A． ＝＋ B．＝－ C．＝－＋ D．＝－－ 题型三 向量的减法及其几何意义 【例3-1】（衔接教材P12L3）已知向量、、、，求作向量-、-. 【例3-2】平行四边形中，，，用、表示向量、. 【例3-3】给出下列不等式或等式： ①∣∣∣−∣∣∣<∣+∣<∣∣+∣∣； ②∣∣∣−∣∣∣=∣+∣=∣∣+∣∣； ③∣∣∣−∣∣∣=∣+∣<∣∣+∣∣； ④∣∣∣−∣∣∣<∣+∣=∣∣+∣∣。 其中，一定不成立的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 题型四 利用向量加法证明几何问题 【例4】如图，已知D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点， 求证： 题型五 向量加法的实际应用 【例5】已知某人在静水中游泳的速度的大小为43km/h，河水的流速的大小为4 km/h，现此人在河中游泳. (1) 如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度的大小为多少？ (2) 他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度的大小为多少？ (参考数据：tan35.260≈)​ ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $2020-2021创美高一数学导学案 数学必修第二册--导学案 第六章 平面向量 第六章 平面向量 §6.2.2向量的减法运算【导学】【解析】 导学目标： 1、了解相反向量的概念； 2、掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义； 3、通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想. 【重点】向量减法的概念和向量减法的作图法； 【难点】减法运算时方向的确定. 【知识要点】 相反向量 如果两个向量长度相等，而方向相反，那么称这两个向量是相反向量． 性质 (1)对于相反向量有：． (2)若与互为相反向量，则=-，． (3)零向量的相反向量仍是零向量． 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 减法 求与的相反向量-的和的运算叫做与的差 三角形法则 -＝+（-） 作法 在平面内任取一点O，作＝，＝，则向量，如图所示． 向量减法的几何意义 可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量． 【典型例题】 题型一 平面向量减法运算的理解 【例1-1】判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两个向量的差仍是一个向量． (√) (2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算． (√) (3)向量与向量的差与向量与向量的差互为相反向量． (√) (4)相反向量是共线向量． (√) 【例1-2】在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为 . 【例1-3】已知，为非零向量，则下列命题中真命题的序号是 . ①若||＋||＝|＋|，则与方向相同； ②若||＋||＝|－|，则与方向相反； ③若||＋||＝|－|，则与有相等的模； ④若|||－|||＝|－|，则与方向相同． 【答案】①④ 题型二 向量的减法运算 【例2-1】化简：(－)－(－)． 【答案】 【例2-2】如图，四边形是正方形，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【例2-3】已知，试用表示下列各式：(1)  (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3). 【例2-4】若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是(　B　) A． ＝＋ B．＝－ C．＝－＋ D．＝－－ 【答案】 题型三 向量的减法及其几何意义 【例3-1】（衔接教材P12L3）已知向量、、、，求作向量-、-. 【答案】略 【例3-2】平行四边形中，，，用、表示向量、. 【答案】略 【例3-3】给出下列不等式或等式： ①∣∣∣−∣∣∣<∣+∣<∣∣+∣∣； ②∣∣∣−∣∣∣=∣+∣=∣∣+∣∣； ③∣∣∣−∣∣∣=∣+∣<∣∣+∣∣； ④∣∣∣−∣∣∣<∣+∣=∣∣+∣∣。 其中，一定不成立的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 题型四 利用向量加法证明几何问题 【例4】如图，已知D,E,F分别是△ABC三边AB,BC,CA的中点， 求证： 【答案】略 题型五 向量加法的实际应用 【例5】已知某人在静水中游泳的速度的大小为43km/h，河水的流速的大小为4 km/h，现此人在河中游泳. (1) 如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度的大小为多少？ (2) 他必须朝哪个方向游，才能沿与水流垂直的方向前进？实际前进的速度的大小为多少？ (参考数据：tan35.260≈)​ 【答案】(1) 实际前进方向与水流方向夹角为60∘，实际速度大小为8 km/h； (2) 需朝与水流垂直方向偏上游约35.3∘的方向游，实际速度大小为42≈5.7 km/h ( 第 2 页 共 2 页 ) ( 第 1 页 共 2 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $