6.1 平面向量的概念导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念 【学习目标】 1. 能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认知向量，掌握向量与数量的区别. 1. 会用有向线段、字母表示向量，了解有向线段与向量的联系与区别. 1. 理解向量的模、零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行向量（共线向量）等概念，会在图形中进行辨识. 【学习重点】 1. 向量的概念、表示方法. 2. 零向量、单位向量、相等向量、相反向量、平行（共线）向量的定义. 【学习难点】 1. 理解向量与有向线段的区别与联系. 2. 平行向量与共线向量的等价性. 学习任务一 向量的概念及其表示 【合作探究】 1. 问题引入： · 在物理中，我们学过位移、速度、力等量.它们与长度、质量、时间等量有什么不同？ (1) 长度、质量等只用大小就能描述； (2) 位移、速度等既有大小，又有方向. · 在数学中，我们把既有大小又有方向的量称为向量，而只有大小没有方向的量称为数量. 1. 向量与数量的区别： (1) 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. (2) 数量可以比较大小. 1. 向量的表示： (1) 几何表示：用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头表示方向.起点和终点分别记为 ，，则向量记作 . (2) 字母表示：用小写字母 ，， 等表示. 1. 向量的模：向量 的大小称为向量的长度或模，记作 或 . 1. 两个特殊向量： (1) 零向量：长度为 的向量，记作 ，方向任意. (2) 单位向量：长度等于 个单位的向量，记作 . 【自主梳理】 1. 向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量. 1. 向量的表示： (1) 有向线段：（起点 ，终点 ）. (2) 字母：， 等. 1. 向量的模： 或 . 1. 零向量：，，方向任意. 1. 单位向量：，方向任意（有无数个）. 学习任务二 向量间的关系 【合作探究】 1. 相等向量： (1) 定义：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. (2) 记法：. (3) 性质：向量可以自由平移，与起点无关. 1. 相反向量： (1) 定义：长度相等、方向相反的向量互为相反向量. (2) 记法： 或 . 1. 平行向量（共线向量）： (1) 定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量. (2) 记法：. (3) 规定：零向量与任何向量平行. (4) 因为向量可以平移，所以平行向量也叫做共线向量. 1. 思考： (1) 两个单位向量一定相等吗？为什么？ · （不一定，方向可能不同.） (2) 若 且 ，则 一定成立吗？ · （不一定，方向可能相反.） 【自主梳理】 1. 相等向量： 且方向相同. 1. 相反向量： 且方向相反. 1. 平行向量：方向相同或相反；零向量与任何向量平行. 1. 共线向量：平行向量即为共线向量（因为可平移至同一直线）. 学习任务三 概念辨析与简单应用 【合作探究】 1. 例1：下列说法正确的是（ ） · A. 数量可以比较大小，向量也可以比较大小 · B. 方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 · C. 向量的大小与方向有关 · D. 向量的模可以比较大小 · 解：向量的模是数量，可以比较大小，但向量本身不能比较大小，故只有 D 正确. 1. 例2：在同一平面内，把所有长度为 的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是（ ） · A. 单位圆 B. 一段弧 C. 线段 D. 直线 · 解：长度为 的向量即单位向量，起点固定，终点构成半径为 的圆，故 A 正确. 1. 判断题（口头或书写）： · 两个有共同起点且长度相等的向量，终点相同.（ ） · 零向量的方向是确定的.（ ） · 两个单位向量一定相等.（ ） · 答案：×，×，×. 【自主梳理】 易错点提醒： 1. 向量不能比较大小，但模可以比较. 2. 零向量方向任意，但不是没有方向. 3. 单位向量有无数个，它们不一定相等. 【自查自纠】（正误判断） 1. 向量 的长度就是 . （ ） 1. 零向量与任何向量都平行. （ ） 1. 若 ，则 与 的长度相等且方向相同. （ ） 1. 相反向量就是方向相反的向量. （ ） 1. 共线向量一定在同一直线上. （ ） 答案：1.√ 2.√ 3.√ 4.×（还需长度相等） 5.×（可平移至同一直线） 【典例分析】 例1：判断下列命题的真假： (1) 两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同. (2) 若 ，则 . (3) 若 ，则 . (4) 若 ，则 或 . 解： (1) 假.向量可以平移，相等向量起点不一定相同. (2) 真.相等向量方向相同，故平行. (3) 假.长度相等但方向不一定相同. (4) 假.平行向量方向相同或相反，但长度不一定相等. 例2：若点 ，，， 是正方形 的四个顶点， 为中心.写出与 相等的向量，与 平行的向量，与 相反的向量. 解： 1. 与 相等的向量：（因为正方形对边平行且等长，方向相同）. 2. 与 平行的向量：，，，，以及零向量（默认包含）. 3. 与 相反的向量：，. 【习题巩固】 1. 下列命题中，正确的是（ ） · A. 向量的模是一个正实数 · B. 零向量没有方向 · C. 单位向量都相等 · D. 零向量与任何向量平行 1. 给出下列四个命题： · ① 若 ，则 ； · ② 若 ，则 ； · ③ 若 ，则 ； · ④ 若 ，则 . · 其中正确的命题个数是（ ） · A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 1. 在 中，， 分别是边 ， 的中点，则下列向量中与 相等的是（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 已知 是正方形 的中心，则与 平行的向量有________（写出所有可能）. 1. （选做）设 为正六边形 的中心，以 为起点，各顶点为终点的向量中，与 相等的向量有哪些？与 相反的向量有哪些？ 【参考答案】 自查自纠：已附. 习题巩固： 1. D（A：模可以为0；B：零向量方向任意；C：单位向量方向不一定相同） 1. B（①正确，③正确；②④错误） 1. B（由三角形中位线性质， 且方向相同，故 ） 1. 与 平行的向量有 ，， 的相反向量等，具体：，，，，还有零向量. 正六边形中心到顶点的向量模相等，相邻夹角 .与 相等的向量：只有 本身（因为方向相同且模相等）；与 相反的向量：（ 到对顶点的向量）. 学科网（北京）股份有限公司 $