6.2.1 向量的加法运算&6.2.2 向量的法运算-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

课时训练答案与解析 第六章 平面向量及其应用 核心素养培优·拓展提升 1.B 2.B 3.ABC 4.C 课时夯基过关练 5.解：(1)如图，根据向量相等的定义，AB 与a的方向相同，长度相等，即|A|=2, 6.1平面向量的概念 即可得到向量AB; 核心素养达标·夯实基础 1.A2.B3.C4.A5.D6.ABD 7.菱形8.√39.④ 10.解：(1)因为E,F,D分别是AC,AB, BC的中点， (2)如图，画出一个满足条件的向量AM, 所以，EF∥BC,且EF=BD=DC. 点M的轨迹是以点A为圆心，半径r= 所以，与E市相反的向量为F它，B心，D心 √5的圆. (2)因为△ABC的三边均不相等， 又EF=BD=DC, 所以，与E泸的模相等的向量为F它， Bd,D克，DC,Ci. (3)由(1)(2)可知，与E疗相等的向量为 6.2平面向量的运算 DB.CD 11.解：(1)因为1OA|=3,点A在点O的 6.2.1向量的加法运算 正西方向，故向量OA的图示如下： 北 6.2.2向量的减法运算 -011- 核心素养达标·夯实基础 0 1.D2.B3.C4.D5.A6.D7.A 上达达 8.D9.P交10.30° +东 11.解：以OB,O心为邻边作平行四边形 (2)因为Oi|=3√2，点B在点O的北 OBDC,连接OD,AD, 偏西45°方向，故向量O克的图示如下： 所以O市=Oi+O心=b十c, 北 所以A市=O市-OA=b十c-a. 3 12.证明：由题知A0=O心，D0=Oi, 因此Ai=Aò+Oi=O心+Dò=D0+ O心=DC.所以AB,DC平行且相等，因 1AB1=√TOB2-1OA2=3. 此四边形ABCD是平行四边形. 155 核心素养培优·拓展提升 (3)结论：AA十AA,+AA+…+AA 1.C2.A3.AD4.B ="2a+b. 5.2 6.解：设OA,OB,OC三 13.解：B市=BC+C市=(a+mb)+3(a- b)=4a+(m-3)b, 根绳子所受的力分别 为a,b,c,则a十b十 若A,B,D三点共线，则存在实数入，使 B=λAB, c=0. 因为a,b的合力为c=a十b,所以c=|c1. 即4a+(m-3)b=λ(a+b), 如图在平行四边形OB'C'A'中， 4=λ， 所以〈 解得m=7. 因为OB⊥OC,BC=OA, m-3=λ， 所以1OA1>1OB1,1OA1>1OC1,即 故当m=7时，A,B,D三，点共线. la>bl,a>cl. 核心素养培优·拓展提升 1.D 2.B 3.ABD 故细绳OA受力最大】 4.解：(1)如图所示， 6.2.3向量的数乘运算 因为G为△ABC重心， 核心素养达标·夯实基础 所以AG= 1.B2.B3.C4.C5.C6.A7.A 8.C9-16+310.211.C +A0=号A6+号a6, 12.解：(1)当P,Q是线段BC的三等分，点 所以AG=号AM+A衣， 时，以AB,AC为邻边作平行四边形 因为M,G,N三点共线，所以号x十3y ABDC, 连接AD,交BC于点O,连接PD,QD, 1,即x+y=3. 如图所示， x>1, 1<x<2, 则Ai+AC=A方，因为OB=OC,BP= (2)由题意可知y>1, → (1<y2, CQ=号BC,所以OP=PQ且OA- x十y=3, x-1+y-1=1, OD, 所以四边形APDQ是平行四边形，所 以A市+A夜=AD=AB+A=a+b. a-1+y-1D=3+2g2+ y-1 3+2写3+2 (2)当P,Q,S是线段BC的四等分，点 当且仅当2一=即y-1 y-1 时，如图所示，则Q是BC的中点，AB+ √2(x一1)时取等号， AC-A市+A$=2A, 又x十y=3,所以x=√2，y=3一√2时， 所以A市+A边+A$=(A在+AC 马十，吕取得最小位为3+22 (a+b). 3 6.2.4向量的数量积 核心素养达标·夯实基础 1.C2.C3.B4.B5.C6.AB7.B 156 8c9,410[]18 12.解：(1)a·b=(3e-2e2)·(2e1-3e2)= 6e-13e1·e2+6e吃=6-13cos120°+ 637 2 (2)设a十b与a一b的夹角为0， 则cos9=（a+b):(a-b)_ la+blla-b (5e-5e2)·(e+2）=0, 5e1-5e2e1+e2 所以0=90°，即a十b与a一b的夹角为 90°. 13.解：(1)由已知得a·b=2×1Xcos60°=1. 若c⊥d,则c·d=0. ∴.c·d=(a+5b)·(ma-2b)=ma2+ (5m-2)a·b-10b2=4m+5m-2- 10=9m-12=0,.m=4 31 故当m=专时，6与d垂克. (2),(2a-b)·(a+b)=2a+2a·b-a· b-=2a2+a·b-b=2×12+1×1× s12w-1=含a+61=Va+bF= v√a2+2a·b十b2= W1+2×1×1×cos120°+1=1， ÷2a01ba+》-方，即向量2a a+b b在向量0十b方向上的投影为2： 核心素养培优·拓展提升 1.C2.B3.A4.D5.-25 6.3平面向量基本定理及坐标表示 6.3.1平面向量基本定理 核心素养达标·夯实基础 1.A2.A3.A4.C5.C6.ABC 7.A8A9.110.-2或号 11.解：如图所示，连接CN,则四边形 ANCD是平行四边形.、第六章平面向量及其应用 6.2 平面向量的运算 6.2.1向量的加法运算6.2.2向量的减法运算 六素养目标 1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义； 2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，熟练应用向量加法的交换律和结合律； 3.通过类比实数的运算及运算律，研究向量的运算及运算律，培养学生数学运算的核心素养 核心素养达标夯实基础 一、选择题 6.如图所示，单位圆上有动点A,B,当|OA 1.已知四边形ABCD是平行四边形，则AC十 O取得最大值时，OA-O1等于() BA-DC=() A.DA B.DB C.A市 D.BD 2.四边形ABCD是梯形，AD∥BC,则OA+BC+ A.0 B.-1 AB等于( C.1 D.2 7.在△ABC中，若|AB1=|AC1=|AB-AC, 则△ABC的形状为() A.等边三角形 A.CD B.O元C.DA D.CO B.等腰三角形 3.若非零向量a,b满足|a十b=b1,则( C.直角三角形 A.|2a|>|2a+bB.|2a<|2a+bl D.等腰直角三角形 C.|2b|>a+2bD.|2b1≤|a+2b 8.已知O是△ABC所在平面内一点，且OA+ 4.若a一b一c=0,则关于向量a,b,c所组成的 O=OC,那么( ) 图形，下列结论正确的( ) A.点O在△ABC的内部 A.一定可以构成一个三角形 B.点O在△ABC的边AB上 B.一定不可能构成一个三角形 C.点O在边AB所在的直线上 C.都是非零向量时不能构成一个三角形 D.点O在△ABC的外部 D.都是非零向量时可能构成一个三角形 二、填空题 5.在矩形ABCD中，AB=2,BC=1,则|AB十 9.化简(AB+PC)+(BA-QC)= AD+ACI=( 10.已知点O为△ABC外接圆的圆心，且OA+ A.25 B.2√3 OB+0=0,则△ABC的内角A等于 C.3 D.4 4·数学 课时夯基过关练 三、解答题 12.求证：对角线互相平分的四边形是平行四 11.如图所示，O为△ABC内一点，OA=a,Oi 边形 b,OC=c,求作向量b十c-a. 已知：如图，四边形ABCD的两条对角线 AC,BD的交点为O,且O是AC,BD的 中点. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 核心素养培优拓展提升 1.若|A=7,|AC1=4,则|BC1的取值范 是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正 围是() 八边形ABCDEFGH,其中O为正八边形的 A.[3,7] B.(3,7) 中心，则O才一E市=( C.[3,11] D.(3,11) 2.下列向量运算结果错误的是( A.a+b+d=e B.c=f-d 图1 图2 C.a=c-b A.Oǒ B.D0C.DAD.A方 D.c+d+e=g 5.在静水中船的速度为20m/min,水流的速 3.(多选)给出下面四个结论，其中正确的结论 度为10m/min,若船沿垂直于水流的方向 有( 航行，则船实际行进的方向的正切值（相当 A.若线段AC=AB+BC,则向量AC=A范+ 于与河岸的夹角)为 BC 6.如图，无弹性的细绳OA,OB的术a B.若向量AC=AB+BC,则线段AC=AB十 一端分别固定在A,B处，同样的 B BC 细绳OC下端系着一个称盘，且 C.若向量AB与BC共线，则线段AC=AB+ 使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳 BC 子受力的大小，并判断哪根绳受力最大. D.若向量AB与BC反向共线，则AB一BC1= AB+BC 4.八卦是中国古老文化的深奥概念，其深邃的 哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的 ·数学·5