6.1平面向量的概念 导学案-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

新课预习 6.1平面向量的概念 【1】．教材知识提炼（填空） 概念 定义 数量 只有 没有 的量称为数量． 向量 既有 又有 的量叫做向量，向量的大小称为向量的 ． 有向线段的概念 (1)定义：具有 的线段叫做有向线段． (2)表示方法及长度：以A为起点、B为终点的有向线段记作 (如图所示)，线段 的长度也叫做有向线段的长度，记作 . (3)有向线段的三要素： 、 、 . 向量的表示方法 几何表示 用 表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，写成带箭头的小写字母，，，… 单位向量 长度为 的向量 零向量 模为 的向量，记作 零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向 且长度 的向量 记作： 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量（平行向量） 方向 的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量和平行，记作 .规定：零向量与任意向量 ，即对于任意向量，都有∥. 【2】基于教材的训练 一、单选题 1．以下选项中，都是向量的是（    ） A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力 C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度 2．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 3．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 4．数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（    ） A．﹣1 B．2 C．1 D．3 5．下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 7．已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 8．如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（    ） A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 二、多选题 9．下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 10．(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 11．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 三、填空题 12．下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 13．已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    四、解答题 15．如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 16．在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？    17．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 18．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 19．中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新课预习 6.1平面向量的概念（详解版） 【1】．教材知识提炼 概念 定义 数量 只有大小没有方向的量称为数量． 向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小称为向量的模． 有向线段的概念 (1)定义：具有方向的线段叫做有向线段． (2)表示方法及长度：以A为起点、B为终点的有向线段记作(如图所示)，线段AB的长度也叫做有向线段的长度，记作. (3)有向线段的三要素：起点、方向、长度． 向量的表示方法 几何表示 用有向线段表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向 字母表示 通常在印刷时，用黑体小写字母a，b，c，…表示向量，书写时，写成带箭头的小写字母，，，… 单位向量 长度为1的向量 零向量 模为 0 的向量，记作，零向量的方向可以是任意的 相等向量 方向相同且长度相等的向量 记作： 相反向量 方向相反、长度相等的向量 共线向量（平行向量） 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量．向量和平行，记作∥.规定：零向量与任意向量平行，即对于任意向量，都有∥. 【2】基于教材的训练 一、单选题 1．以下选项中，都是向量的是（    ） A．正弦线、海拔 B．质量、摩擦力 C．△ABC的三边、体积 D．余弦线、速度 【答案】D 【知识点】平面向量的概念与表示 【分析】根据向量的定义判断． 【详解】表示三角函数值的正切线、余弦线、正弦线既有大小，又有方向，都是向量．海拔、质量、△ABC的三边和体积均只有大小，没有方向，不是向量．速度既有大小又有方向，是向量， 故选：D． 2．下列说法正确的是（    ） A．向量的模是一个正实数 B．零向量没有方向 C．单位向量的模等于1个单位长度 D．零向量就是实数0 【答案】C 【知识点】零向量与单位向量、向量的模 【分析】根据向量的模、零向量和单位向量的定义逐个选项分析可得答案. 【详解】对于A，零向量的模等于零，故A错误； 对于B，零向量有方向，其方向是任意的，故B错误； 对于C，根据单位向量的定义可C知正确； 对于D，零向量有大小还有方向，而实数只有大小没有方向，故D错误. 故选：C. 3．下列说法错误的是（    ）． A．向量与向量长度相等 B．起点相同的单位向量，终点必相同 C．向量的模可以比较大小 D．任一非零向量都可以平行移动 【答案】B 【知识点】平面向量的概念与表示、向量的模、零向量与单位向量 【分析】根据向量的定义，相反向量，单位向量，模的定义，判断选项. 【详解】和长度相等，方向相反，故A正确； 单位向量的方向不确定，故起点相同时，终点不一定相同，故B错误； 向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故C正确； 向量只与长度和方向有关，与位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故D正确． 故选：B 4．数轴上点A，B分别对应﹣1、2，则向量的长度是（    ） A．﹣1 B．2 C．1 D．3 【答案】D 【知识点】向量的模 【分析】根据数轴上的点的位置，直接计算长度，即可得解. 【详解】数轴上点A，B分别对应﹣1、2， 则向量的长度即||＝3， 故选：D． 5．下列说法正确的是(　　) A．单位向量都相等 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、向量的模 【解析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项. 【详解】对于A，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A错误； 对于B，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当时可能，所以B错误； 对于C，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当时和不一定平行，所以C错误； 对于D，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若，则成立，所以D正确. 综上可知，D为正确选项， 故选：D 【点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题. 6．下列说法正确的是（   ） A．向量与向量是相等向量 B．若两个向量是共线向量，则向量所在的直线可以平行，也可以重合 C．与实数类似，对于两个向量，有，，三种关系 D．向量的模是一个非负实数 【答案】D 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据相等向量的概念判断A；根据共线向量的定义判断B；由向量的性质判断C；根据空间向量模的定义判断D. 【详解】对于A，向量与向量是相反向量，不是相等向量，因此A不正确； 对于B，若两个非零向量是共线向量，则这两个向量所在的直线可以平行，也可以重合， 若两个共线向量中含有零向量时，零向量所在直线不确定，故B错误； 对于C，与实数不一样，两个实数可以比较大小，而两个向量不能比较大小，因此C不正确； 对于D，向量的模指的是向量的长度，是一个非负实数，因此D正确. 故选：D. 7．已知平面向量，是单位向量，则“，是相等向量”是“，的方向相同”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】相等向量、零向量与单位向量、充要条件的证明 【分析】根据单位向量及相等向量的定义和性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若，则的方向必相同，充分性成立， 若的方向相同，又是单位向量，则，必要性成立， 所以“是相等向量”是“的方向相同”的充要条件. 故选：A 8．如图，在矩形ABCD中，，M，N分别为边AB，CD的中点，在以A，B，C，D，M，N为起点和终点的所有有向线段表示的向量中，相等的向量共有（    ） A．12对 B．18对 C．20对 D．24对 【答案】D 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义，结合矩形的性质进行求解即可. 【详解】在矩形ABCD中，，点M，N分别为AB和CD的中点， 所以AMND和MNCB为边长相等的正方形，如图所示： 由题意得：，则，有3对；， 则，有6对； ，有1对；，有1对；，有1对； 共有：对，又上述成对向量的方向相反的向量也有12对， 综上，相等的非零向量共有24对. 故选：D 二、多选题 9．下列说法不正确的有（   ） A．向量就是所在的直线平行于所在的直线 B．相等的非零向量是长度相等，方向相同的向量 C．零向量与任一向量平行 D．共线向量是在一条直线上的向量 【答案】AD 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量 【分析】利用向量的相关意义，逐项判断即可. 【详解】对于A：向量与平行，包含所在的直线与所在的直线平行和重合两种情况，故A错误； 对于B：若两个向量长度相等，方向相同，则称两个向量为相等向量，故B正确； 对于C：零向量与任一向量平行，故C正确； 对于D：共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D错误. 故选：AD. 10．(多选)关于非零向量，下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【答案】BD 【知识点】相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】根据相等向量、向量的定义逐一判断即可. 【详解】A：两个非零向量相等除了它们的模相等之外还要方向相同，故本选项命题不正确； B：由，可以得到非零向量的方向相反，所以，因此本选项命题正确； C：两个向量不能比较大小，所以本选项命题不正确； D：由向量相等的定义可以判断本选项命题正确， 故选：BD 11．如图，在菱形中，若，则以下说法中正确的是（ ） A．与不平行 B． C．与的模相等的向量有9个（不含） D．与相等的向量只有一个（不含） 【答案】BCD 【知识点】向量的模、相等向量、平行向量（共线向量） 【分析】对A，根据平行向量的定义判断；对B，根据条件，求得得解；对C，根据相等向量的定义结合图形求解判断；对D，根据相等向量的定义判断. 【详解】对于A，向量与的方向是相反的，是平行向量，故A错误； 对于B，因为，则，所以，故B正确； 对于C，根据菱形的性质结合，可知对角线与菱形的边长相等， 故与的模相等的向量有，，，，，，，，，共9个向量，故C正确； 对于D，与相等的向量需要方向相同，模相等，只有，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 12．下列说法正确的是 .（填序号） ①若，则； ②若，则； ③若，则与共线； ④若，则一定不与共线. 【答案】③ 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、向量的模 【分析】根据共线向量、相等向量、模长等的定义，逐一判断即可得出结论. 【详解】对于①，若，则可知共线，不一定有，也可能，因此①错误； 对于②，若，但的方向不一定相同，因此②错误； 对于③，若，则与共线，显然③正确； 对于④，若，则可能，此时与共线，所以④错误. 故答案为：③ 13．已知、是任意两个向量，下列条件：①；②；③、的方向相反；④或；⑤与都是单位向量，其中与平行的充分不必要条件是 . 【答案】①③④ 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、零向量与单位向量、判断命题的充分不必要条件 【分析】：与方向相同或相反；：与方向相同且模长相等；：与长度相等；：模长为0，与任意向量平行；单位向量：模长为1；若，则是的充分条件；若，则是的必要条件； 【详解】与平行则与方向相同或相反， 对于①：若，与方向相同，则；若，则与模长不一定相等，则与不一定相等，即①对； 对于②：若，与长度相等，与方向无关，则与不一定平行；若与平行，则与方向相同或相反，与模长无关，即②错； 对于③：若、的方向相反，则；若，则与方向相同或相反，即③对； 对于④：若或，则；若，则与方向相同或相反，即④对； 对于⑤：若与都是单位向量，则，方向不一定相同或相反；若，则模长不一定为1，即⑤错. 故答案为：①③④ 14．如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，在分别以正六边形的顶点和中心为始点和终点的向量中，与向量相等的向量有 个.    【答案】3 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义及正六边形的性质即可求解. 【详解】根据正六边形的性质和相等向量的定义知，与向量相等的向量有，，，共3个. 故答案为：3 四、解答题 15．如图，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形. (1)找出与相等的向量； (2)找出与共线的向量. 【答案】(1) (2) 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量 【分析】（1）根据相等向量的定义写出即可； （2）根据共线向量的定义直接写出. 【详解】（1）由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形知， 与的长度相等且方向相同，所以与相等的向量为. （2）由题干图可知，与方向相同，与方向相反， 所以与共线的向量有. 16．在图中的方格纸中有一个向量，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？与长度相等的共线向量有多少个（除外）？    【答案】7个，个. 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、向量的模 【分析】根据给定条件，利用相等向量的定义，确定给定图形中的向量起点即可判断作答. 【详解】当向量的起点C是图中所圈的格点时，可以作出与相等的向量， 这样的格点共有8个，除去点A外，还有7个，所以共有7个向量与相等； 与长度相等的共线向量（除外），有与相等的向量，还有与方向相反且长度相等的向量， 所以与长度相等的共线向量共有（个）.    17．如图，和是在各边的三等分点处相交的两个全等的正三角形，设的边长为a，写出图中给出的长度为的所有向量中， （1）与向量相等的向量； （2）与向量共线的向量； （3）与向量平行的向量. 【答案】（1），；（2），，，，；（3），，，，. 【知识点】平行向量（共线向量）、相等向量、平面向量的概念与表示 【分析】（1）利用相等向量定义可得解； （2）利用共线向量定义可得解； （3）利用平行向量定义可得解. 【详解】（1）与向量相等的向量，即与向量大小相等，方向相同的向量，有，； （2）与向量共线的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，； （3）与向量平行的向量，即与向量方向相同或相反的向量，有，，，，. 18．在如图的方格纸上，已知向量，每个小正方形的边长为1.      (1)试以B为终点画一个向量，使； (2)在图中画一个以A为起点的向量，使，并说出向量的终点的轨迹是什么？ 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析, 终点的轨迹是以A为圆心，半径为的圆 【知识点】相等向量、向量的模 【分析】（1）根据相等向量的定义可得向量； （2）根据向量的模长公式的几何知识可得轨迹. 【详解】（1）根据相等向量的定义，所作向量与向量平行，且长度相等． 图如下所示：    （2）由平面几何知识可知所有这样的向量的终点的轨迹是以为圆心，半径为的圆．    19．中国象棋中的“马”走“日”．如图是一个棋盘，当“马”自点A走“一步”后的落点可以为点、或，表示该“马”走“一步”的向量为、或，它们是相等的向量吗？在图中分别用向量表示当“马”在点B处各走“一步”的情形．    【答案】，，，这三个向量不相等，马在点走一步的向量为：． 【知识点】相等向量 【分析】根据相等向量的定义即可判断，，这三个向量是否相等，根据马走日的走法即可找出马在点走一步的向量． 【详解】解：，，，这三个向量的方向不同，不相等， 如图，马在点走一步的向量为：．    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $