12.2 复数的运算 课件-2025-2026学年高一下学期数学苏教版必修第二册

第十二章 复数 12.2 复数的运算 我们规定，复数的加法法则如下： 设z1 = a + bi，z2 = c + d i (a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的和 注意：两个复数的和仍然是一个确定的复数. 复数的加法法则 z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i 实部相加为实部 虚部相加为虚部 问题 1：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明. 设 z1 = a1 + b1i， z2 = a2 + b2i， z3 = a3 + b3i，其中a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R， ∵ z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i， z2 + z1 = (a2 + b2i) + (a1 + b1i) = (a2 + a1) + (b2 + b1)i， a1 + a2 = a2 + a1，b1 + b2 = b2 + b1， ∴ z1 + z2 = z2 + z1（交换律） ∵ (z1 + z2) + z3 = [(a1 + b1i) + (a2 + b2i)] + (a3 + b3i) = [(a1 + a2) + (b1 + b2)i] + (a3 + b3i) = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i， z1 + (z2 + z3) = (a1 + b1i) + [(a2 + b2i) + (a3 + b3i)] = (a1 + b1i) + [(a2 + a3) + (b2 + b3)i] = (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i， ∴ (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)（结合律） 问题 1：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明. 对任意 z1，z2，z3 ∈ C，都有： （1）交换律：z1＋z2 ＝ z2＋z1. （2）结合律：(z1＋z2)＋z3 ＝ z1＋(z2＋z3)； 复数加法的运算律 问题 2：实数的减法是加法的逆运算.类比实数减法的意义，如何定义复数的减法？ 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足 (c + di) + (x + yi) = a + bi 的复数 x + yi 叫做复数 a + bi 减去复数 c + di 的差，记作 (a + bi) - (c + di). 根据复数相等的定义，有 c + x = a，d + y = b，因此 x = a - c，y = b - d， 即 (a + bi) - (c + d i) = (a - c) + (b - d )i. 我们规定，复数的减法法则如下： 注意：两个复数的差仍然是一个确定的复数. 复数的减法法则 z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i 实部相减为实部 虚部相减为虚部 解：(5－6i) + (－2－i)－ (3 + 4i) = (5－2－3) + (－6－1－4)i = －11i . 例1：计算 (5－6i) + (－2－i)－ (3 + 4i). 练一练 1：复数 (1－i)－(2＋i)＋3i 等于 ( ) A.－1＋i B.1－i C.i D.－i A 问题3：设 a，b，c，d ∈R，则 (a＋b)(c＋d) 怎样展开？ (a＋b)(c＋d)＝ac＋ad＋bc＋bd 思考：类比多项式的乘法运算，想一想两个复数如何进行乘法运算？ 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 则z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2， ∵i2＝－1，∴ z1·z2＝ac＋adi＋bci－bd＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 复数的乘法：(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 注意：在进行复数乘法运算时，实际上不直接使用乘法法则，而使用多项式乘法法则. 问题4：复数的乘法满足交换律、结合律、乘法对加法满足分配律吗？ 对任意三个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di，z3＝e＋fi(a，b，c，d，e，f∈R)， 有z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i， z2·z1＝(c＋di)(a＋bi)＝(ca－db)＋(cb＋da)i， ∵ac－bd＝ca－db，ad＋bc＝cb＋da，∴z1·z2＝z2·z1(交换律). 同理(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)， z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3(分配律). 复数乘法的交换律、结合律、分配律 对任意 z1，z2，z3 ∈C， 交换律：z1·z2＝z2·z1； 结合律：(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)； 分配律：z1·(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z3. 解：(1) (2 + 3i)(2 - 3i) = 22 - (3i) 2= 4 - (- 9) = 13； 例 2：计算 (1) (2 + 3i)(2 - 3i)； (2) (a + bi)(a - bi). (2) (a + bi)(a - bi) = a2 - abi + abi - b2i2 = a2 - b2i2 = a2 + b2 . 我们把实部相等、虚部互为相反数的两个复数叫作互为共轭复数. 复数 z = a + bi 的共轭复数记作 ，即 . 当复数 z = a + bi 的虚部 b = 0 时， .（即实数的共轭复数是它本身） 思考：若 z1，z2 是共轭复数，则 z1z2 是一个怎样的数？ 练一练 2：证明：对任意的两个复数 z1，z2，若 z1·z2 = 0，则 z1，z2 至少有一个为 0. 证明：设 z1 ≠ 0，则 |z1| ≠ 0，z1 的共轭复数 ， 将 z1·z2 = 0 的左右两边同时乘 ，得 ∵ |z1|2 ≠ 0，∴ z2 ＝ 0. 根据本课所学，构建知识框图： 复数的运算 运算律 复数的加减运算 运算法则 共轭复数 , 运算律 复数的乘法运算 共轭复数积的特点 运算法则 根据乘法的运算律，实数范围内正整数指数幂的运算性质在复数范围内仍然成立，即对任何 z，z1，z2 ∈C 和 m，n∈N*，有 zm·zn ＝ zm＋n，(zm)n ＝ zmn，(z1·z2)n ＝ z1n·z2n. 对于复数 z，定义它的乘法 zn ＝ z·z·…·z. (即复数的乘方是相同复数的积) n个 在复数的乘方运算中，经常要计算 i 的乘方，i 的乘方有如下规律： i0 = 1，i1 = i，i2 = -1，i3 = -i，i4 = 1… 一般地，对任意自然数 n，有 i4n = 1，i4n＋1 = i，i4n＋2 = -1，i4n＋3 = -i. 例1：设 ，求证： （1）1 + ω + ω2 = 0； （2）ω3 = 1. 解：（1）∵ ， ∴ （2） 问题 1：类比实数的除法是乘法的逆运算. 复数的除法应该满足怎样的运算法则？ 我们把满足(c + di)(x + yi) = a + bi (c + di ≠ 0) 的复数 x + yi 叫做复数 a + bi 除以复数 c + di 的商，记作 (a+bi)÷(c+di) 或 利用(c + di)(c - di) = c2 + d 2. 于是将 的分母实数化得： 复数的除法法则： 两个复数相除 (除数不为 0)，所得的商是一个确定的复数 根式除法: 分子分母都乘以分母的“有理化因式”,从而使分母“有理化”. 复数除法: 分子分母都乘以分母的共轭复数，从而使得分母“实数化”. 类比 例2：计算 . 解法1：设 ， 则 (3 - 4i)(x + yi) = 2 - i， 即 (3x + 4y) + (3y - 4x)i = 2 - i， 所以 ， 解得 因此 解法2： 练一练：计算 (1 + 2i) ÷ (3 - 4i). 解： 进行复数除法运算的方法： ① 先把 (a+bi)÷(c+di) 写成 的形式； ② 把分子与分母都乘以分母的共轭复数c-di； ③ 再化简即可. 例3：在复数集 C 内解下列方程： （1）z2 + 4 = 0； （2）z2 - 10z + 40 = 0. 解：（1）设z = x + yi (x，y∈R)，则(x + yi)2 + 4 = 0，即(x2 - y2 + 4) + 2xyi = 0， （2）配方，得 (z - 5)2 = -15. 所以 ， 解得 或 ， 因此 z = 2i 或 z = -2i . 仿（1）得： 或 所以，得 或 探究：在复数集 C 内解方程：ax2 + bx + c = 0. 其中 a，b，c∈R，且 a ≠ 0. (∆ = b2 - 4ac < 0) 解： 将方程 ax2 + bx + c = 0 的二次项系数化为 1 得 配方，得 即 类似（1）可得： 由 ∆ < 0 知 所以原方程的根为 在复数集 C 内，实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求根公式为： ① 当 ∆ ≥ 0 时， ； ② 当 ∆ < 0 时， 对于实系数一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的求解问题，当∆ < 0时，此时方程两根满足： ① 根与系数关系仍然成立，即 ② 两个根互为共轭复数. 知识框图： 复数的乘方 运算性质 定义 复数的除法 运算法则 定义 复数集 C 内解方程 $