第6章 　圆 2026年中考数学专题复习课件（山东）

第二十二讲　与圆有关的位置关系 (时间:40分钟　分值:60分) 1 1.(3分)平面内,☉O的半径为3,若点P在☉O外,则OP的长可能为 ( ) A.4 B.3 C.2 D.1 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.(3分)如图,已知点A,B在☉O上,∠AOB=72°,直线MN与☉O相切,切点为C,且C为的中点,则∠ACM等于( ) A.18° B.30° C.36° D.72° A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.(3分)如图,EA,ED是☉O的切线,切点为A,D,点B,C在☉O上,若∠BAE+ ∠BCD=236°,则∠E=( ) A.56° B.60° C.68° D.70° C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(3分)(2025·龙东中考)如图,PA,PB是圆O的切线,A,B为切点,AC是直径, ∠BAC=35°,∠P=________.  　70°　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.(10分)(2025·湖南中考)如图,△ABC的顶点A,C在☉O上,圆心O在边AB上, ∠ACB=120°,BC与☉O相切于点C,连接OC. (1)求∠ACO的度数; (2)求证:AC=BC. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1)∵BC与☉O相切于点C, ∴OC⊥CB,∴∠OCB=90°, ∴∠ACO=∠ACB-∠OCB=120°-90°=30°; (2)∵OA=OC,∴∠A=∠ACO=30°, ∴∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-30°-120°=30°, ∴∠A=∠B,∴AC=BC. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【B层 提能力】 6.(3分)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AD⊥AB,以D为圆心,AD为半径的弧恰好与BC相切,切点为E,若=,则sin C的值是( ) A. B. C. D. B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.(3分)《测圆海镜》卷中记载:“假令有圆城一所,不知周径.甲乙二人俱在干地,乙东行三百二十步而立,甲南行六百步望见乙,问径几里?”大意是:如图,△ABC中∠A=90°,AB=320步,AC=600步,☉O是△ABC的内切圆,切点为D,E,F,求☉O的直径.根据题意,☉O的直径是( ) A.200步 B.240步 C.280步 D.320步 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.(3分)(2025·西宁二模)如图,菱形ABCD,∠B=60°,AB=4,☉O内切于菱形ABCD,则☉O的半径为______.   　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.(3分)(2025·泸州中考)如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD=10,☉O与梯形ABCD的各边都相切,且☉O的面积为16π,则点B到CD的距离为_____.   　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(12分)(2025·苏州中考)如图,在四边形ABCD中,BD=CD,∠C=∠BAD.以AB为直径的☉O经过点D,且与边CD交于点E,连接AE,BE. (1)求证:BC为☉O的切线; (2)若AB=,sin∠AED=,求BE的长. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1)∵AB是☉O的直径, ∴∠ADB=90°, ∵BD=CD, ∴∠C=∠DBC, ∵∠C=∠BAD, ∴∠DBC=∠BAD, ∴∠OBC=∠ABD+∠DBC=∠ABD+∠BAD=90°, ∴BC⊥OB, ∵OB是☉O的半径,∴BC为☉O的切线. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)作DF⊥BC于点F,则∠BFD=∠CFD=∠ABC=90°,BF=CF,∴DF∥AB, ∵∠ABD=∠AED,AB=,∴=sin∠ABD=sin∠AED=, ∴AD=AB=×=1,∴BD===3, ∵DF∥AB,∴∠BDF=∠ABD, ∴=sin∠BDF=sin∠ABD=,∴BF=BD=×3=, ∵∠BEC=∠BAD=180°-∠BED,∠C=∠BAD, ∴∠BEC=∠C,∴BE=BC=2BF=2×=. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【C层 培素养】 11.(14分)【问题背景】 已知点A是半径为r的☉O上的定点,连接OA,将线段OA绕点O按逆时针方向旋转α(0°<α<90°)得到OE,连接AE,过点A作☉O的切线l,在直线l上取点C,使得∠CAE为锐角. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【初步感知】 (1)如图1,当α=60°时,∠CAE=________°;  【问题探究】 (2)以线段AC为对角线作矩形ABCD,使得边AD过点E,连接CE,对角线AC,BD相交于点F. ①如图2,当AC=2r时,求证:无论α在给定的范围内如何变化,BC=CD+ED总成立; ②如图3,当AC=r,=时,请补全图形,并求tan α及的值. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1) ∵α=60°,OA=OE,∴∠OAE=∠OEA=α=60°, ∵AC与☉O相切,∴∠OAC=90°,∴∠CAE=30°. 答案:30 (2)①∵四边形ABCD是矩形,AC=2r,∴OA=OE=CF=DF=r,∵∠OAC=∠ADC=90°, ∴∠OAE+∠CAD=∠ACD+∠CAD,∴∠OAE=∠ACD,∵OA=OE,CF=DF, ∴∠OAE=∠OEA=∠ACD=∠CDF, 在△OAE和△FCD中,,∴△OAE≌△FCD(AAS),∴AE=CD, ∵AD=AE+ED,∴BC=CD+ED. 即无论α在给定的范围内如何变化,BC=CD+ED总成立. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ②补全图形如图,∵AC是切线,∴∠OAC=90°,设OA=3m,则AC=r=4m,OC=5m, ∵=,OE=OA=3m,∴CE=2m,OE+CE=5m=OC,即点E在线段OC上,∴tan α==. 如图,过O作OH⊥AE,垂足为H,则AH=EH,∵∠OHE=90°=∠D,∠OEH=∠CED, ∴△OEH∽△CED,∴==,设EH=AH=3a,则DE=2a,∴AD=AH+EH+ED=8a, 在Rt△ACD中,CD2=AC2-AD2=16m2-64a2,在Rt△CED中,CD2=CE2-ED2=4m2-4a2, ∴16m2-64a2=4m2-4a2,解得a=m, ∴CB=AD=m,CD==m=AB,∴==.   ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 本课结束 $第二十三讲　圆的有关计算 (时间:40分钟　分值:60分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)圆心角为90°,半径为3的扇形弧长为( ) A.2π B.3π C.π D.π C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(3分)(2025·湖南中考)如图,北京市某处A位于北纬40°(即∠AOC=40°),东经116°,三沙市海域某处B位于北纬15°(即∠BOC=15°),东经116°.设地球的半径约为R千米,则在东经116°所在经线圈上的点A和点B之间的劣弧长约为 ( ) A.πR(千米) B.πR(千米) C.πR(千米) D.πR(千米) C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(3分)若用半径为10 cm的半圆形纸片围成一个圆锥的侧面,则这个圆锥底面圆的半径为______cm.  　5　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4.(3分)(2025·德阳中考)等宽曲线是指在任何方向上的直径都相等的一种几何图形,它在我们的日常生活中应用比较广泛,例如可以利用等宽曲线设计自行车的车轮等.如图,分别以等边三角形ABC的三个顶点为圆心,以边长为半径画弧,得到的封闭图形就是等宽曲线(图中阴影部分),如果AB=1,那么这个等宽曲线的周长是______.  　π　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(3分)(2025·苏州中考)“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮,共设有28个回转式太空舱全景轿厢,其示意图如图所示.该摩天轮高128 m(即最高点离水面平台MN的距离),圆心O到MN的距离为68 m,摩天轮匀速旋转一圈用时30 min.某轿厢从点A出发,10 min后到达点B,此过程中,该轿厢所经过的路径(即)长度为　______m.(结果保留π)  40π　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6.(12分)(2025·无锡二模)如图,在半圆O中,直径AB的长为6,点C是半圆上一点,过圆心O作AB的垂线交线段AC的延长线于点D,交弦BC于点E. (1)求证:∠D=∠ABC; (2)若OE=CE,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π). ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】(1)∵AB是直径,∴∠ACB=90°∴∠A+∠ABC=90°∵DO⊥AB, ∴∠A+∠D=90°∴∠D=∠ABC; (2)设∠B=α,则∠BCO=α,∵OE=CE,∴∠EOC=∠BCO=α, 在△BCO中,α+α+90°+α=180°,∴α=30°∴∠A=60°,∵OA=AB=3, ∴OC=OA=3,OD=3,△AOC中OA边上的高为, ∴S阴影=×3×3--×3× =-π. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【B层 提能力】 7.(3分)如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC=10,∠C=70°,以AB为直径作半圆,与AC,BC分别相交于点D,E,则的长度为( ) A. B. C. D. C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(3分)(2025·山西中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别以点B,C为圆心、BC的长为半径画弧,与BA,CA的延长线分别交于点D,E.若BC=4,则图中阴影部分的面积为 ( ) A.2π-4　 B.4π-4　 C.8π-8　 D.4π-8 D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9.(3分)两个半径相等的半圆按如图方式放置,半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合,若半圆的半径为2,则阴影部分的面积是( ) A.- B. C.- D.- A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(3分)如图,小珍同学用半径为8 cm,圆心角为100°的扇形纸片,制作一个底面半径为2 cm的圆锥侧面,则圆锥上粘贴部分的面积是______cm2.   　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(3分)(2025·烟台中考)如图,正六边形ABCDEF的边长为4,中心为点O,以点O为圆心,以AB长为半径作圆心角为120°的扇形,则图中阴影部分的面积为__________.   -8　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【C层 培素养】 12.(3分)如图,已知在矩形ABCD中,AB=1,BC=,点P是AD边上的一个动点,连接BP,点C关于直线BP的对称点为C1,当点P运动时,点C1也随之运动.若点P从点A运动到点D,则线段CC1扫过的区域的面积是( ) A.π　　B.π+　　C.　　D.2π B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13.(15分)装有水的水槽放置在水平台面上,其横截面是以AB为直径的半圆O,AB=50 cm,如图1和图2所示,MN为水面截线,GH为台面截线,MN∥GH. 计算:在图1中,已知MN=48 cm,作OC⊥MN于点C. (1)求OC的长. 操作　将图1中的水槽沿GH向右作无滑动的滚动,使水流出一部分,当∠ANM=30°时停止滚动.如图2,其中,半圆的中点为Q,GH与半圆的切点为E,连接OE交MN于点D. 探究 在图2中: (2)操作后水面高度下降了多少? (3)连接OQ并延长交GH于点F,求线段EF与的长度,并比较大小. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 【解析】(1)连接OM,如图,∵O为圆心,OC⊥MN于点C,MN=48 cm, ∴MC=MN=24 cm,∵AB=50 cm,∴OM=AB=25 cm, 在Rt△OMC 中,OC===7(cm); (2)∵GH与半圆的切点为E,∴OE⊥GH, ∵MN∥GH,∴OE⊥MN于点D, ∵∠ANM=30°,ON=25 cm, ∴OD=ON=(cm), ∴操作后水面高度下降了-7=(cm); ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3)∵OE⊥MN于点D,∠ANM=30°, ∴∠DOB=60°, ∵半圆的中点为Q,∴=, ∴∠QOB=90°,∴∠QOE=30°, ∴EF=tan ∠QOE·OE=cm, 的长为=(cm), ∵-π==>0,∴EF的长度大于的长度. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 本课结束 $第二十一讲　圆的认识 (时间:40分钟　分值:50分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)(2025·重庆中考)如图,点A,B,C在☉O上,∠AOB=100°,∠C的度数是( ) A.40° B.50° C.80° D.100° B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(3分)如图,CD是☉O的直径,点A,B在☉O上.若=,∠AOC=36°,则∠D=( ) A.9° B.18° C.36° D.45° B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(3分)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的弦,AB⊥CD,垂足为E.若CD=8,OD=5,则BE的长为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(3分)(2025·扬州中考)如图,点A,B,C在☉O上,∠BAC=50°,则∠OBC=_______°.  　40　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(3分)如图,AB是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在AB上方的圆弧上,∠1,∠4的一边分别经过点A,B,则∠1+∠2+∠3+∠4=_______°.  　90　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(3分)如图,☉O的直径AB平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C=_______°.  　55　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 7.(3分)(2025·湖北中考)如图,△ABC内接于☉O,∠BAC=30°.分别以点A和点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于M,N两点,作直线MN交AC于点D,连接BD并延长交☉O于点E,连接OA,OE,则∠AOE的度数是( ) A.30° B.50° C.60° D.75° C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(3分)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何?”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD为☉O的直径,弦AB⊥CD,垂足为E,CE=1寸,AB=10寸,则直径CD的长度为_______寸.  　26　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(3分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=x+与☉O相交于A,B两点,且点A在x轴上,则弦AB的长为_________.  　2　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(3分)(2025·广安中考)如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,∠BCD=120°,☉O的半径为6,则BD的长为_________.  　6　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(8分)(2025·上海中考)如图,在☉O中,AB和CD是弦,半径OA,OB分别交CD于点E,F,且CE=DF. (1)求证:AB∥CD; (2)若=,求证:AB2=BF·OB. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】(1)连接OC,OD, ∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC, ∵CE=DF, ∴△OCE≌△ODF(SAS), ∴OE=OF,∴=, ∵∠EOF=∠AOB, ∴△EOF∽△AOB, ∴∠OEF=∠OAB, ∴AB∥CD; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)由(1)得△OCE≌△ODF,∴∠COE=∠DOF, ∵=,∴∠AOB=∠DOF,∴∠AOB=∠DOF=∠COE, 连接AF,∵OA=OD,∴△AOF≌△DOF(SAS),∴∠OAF=∠ODF=∠OCE, ∵∠OEC=∠AEF,∴△OEC∽△FEA, ∴∠COE=∠AFE,∵AB∥CD,∴∠AFE=∠FAB, ∴∠AOB=∠FAB,∵∠ABF=∠OBA, ∴△BAF∽△BOA, ∴=, ∴AB2=BF·OB. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【C层 培素养】 12.(12分)【感知】如图①,点A,B,P均在☉O上,∠AOB=90°,则锐角∠APB的大小为________°.  【探究】小明遇到这样一个问题:如图②,☉O是等边三角形ABC的外接圆,点P在上(点P不与点A,C重合),连接PA,PB,PC.求证:PB=PA+PC.小明发现,延长PA至点E,使AE=PC,连接BE,通过证明△PBC≌△EBA.可推得△PBE是等边三角形,进而得证.下面是小明的部分证明过程: ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 证明:延长PA至点E,使AE=PC,连接BE. ∵四边形ABCP是☉O的内接四边形, ∴∠BAP+∠BCP=180°. ∵∠BAP+∠BAE=180°, ∴∠BCP=∠BAE. ∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC, ∴△PBC≌△EBA(SAS). 请你补全余下的证明过程. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【应用】如图③,☉O是△ABC的外接圆,∠ABC=90°,AB=BC,点P在☉O上,且点P与点B在AC的两侧,连接PA,PB,PC,若PB=2PA,则的值为________　.  ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】【感知】∵∠AOB=90°, ∴∠APB=∠AOB=45°(在同圆中,同弧所对的圆周角是圆心角的一半). 答案:45 【探究】延长PA至点E,使AE=PC,连接BE.∵四边形ABCP是☉O的内接四边形, ∴∠BAP+∠BCP=180°,∵∠BAP+∠BAE=180°,∴∠BCP=∠BAE, ∵△ABC是等边三角形,∴BA=BC,∴△PBC≌△EBA(SAS),∴PB=EB, ∵△ABC是等边三角形,∴∠ACB=60°, ∴∠APB=60°,∴△PBE为等边三角形, ∴PB=PE=AE+AP=PC+AP; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【应用】如图③,延长PA至点G,使AG=PC,连接BG. ∵四边形ABCP是☉O的内接四边形,∴∠BAP+∠BCP=180°, ∵∠BAP+∠BAG=180°,∴∠BCP=∠BAG, ∵BC=BA,∴△PBC≌△GBA(SAS),∴PB=GB,∠PBC=∠GBA, ∵∠ABC=90°,∴∠PBG=∠GBA+∠ABP=∠PBC+∠ABP=∠ABC=90°, ∴PG=BP,∵PG=PA+AG=PA+PC,∴PC=PG-PA=4PA-PA=3PA, ∴==. 答案:   ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束 $