第5章 三角形 课件2026年中考数学专题复习（山东）

第十九讲　锐角三角函数及其应用 (时间:40分钟　分值:50分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)若α是锐角,sin(α+15°)=,那么锐角α等于( ) A.15° B.30° C.45° D.60° B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2.(3分)(2025·深圳中考)如图为人行天桥的示意图,若高BC长为10米,斜道AC长为30米,则sin A的值为 ( ) A. B.3 C. D. D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3.(3分)在△ABC中,∠B=60°,AB=4,若△ABC是锐角三角形,则满足条件的BC长可以是 ( ) A.1 B.2 C.6 D.8 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 4.(3分)(2025·长春中考)如图,已知某山峰的海拔为m米,一位登山者到达海拔为n米的点A处,测得山峰顶端B的仰角为α,则A,B两点之间的距离为( ) A.(m-n)sin α米 B.米 C.(m-n)cos α米 D.米 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 5.(3分)(2025·辽宁中考)如图,为了测量树AB的高度,在水平地面上取一点C,在C处测得∠ACB=51°,BC=6 m,则树AB的高约为________m(结果精确到0.1 m.参考数据:sin51°≈0.78,cos51°≈0.63,tan51°≈1.23).  　7.4　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 6.(8分)(2025·连云港中考)如图,港口B位于岛A的北偏西37°方向,灯塔C在岛A的正东方向,AC=6 km,一艘海轮D在岛A的正北方向,且B,D,C三点在一条直线上,DC=BD. (1)求岛A与港口B之间的距离; (2)求tan C. (参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈) ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】(1)如图,过点B作BM⊥AD,垂足为M, ∵AC⊥AD,∴BM∥AC,∴△BDM∽△CDA, ∴=,∵DC=BD,AC=6 km, ∴=,得BM= km, 在Rt△ABM中, 由sin∠BAD=sin 37°==≈, ∴AB≈4 km, 答:岛A与港口B之间的距离约为4 km. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)在Rt△ABM中,AM=AB×cos 37°≈4×=(km), ∵△BDM∽△CDA, ∴==, ∴AD=AM=×=(km), ∴在Rt△ADC中,tan C===. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【B层 提能力】 7.(3分)(2025·广东中考)如图,在矩形ABCD中,E,F是BC边上的三等分点,连接DE,AF相交于点G,连接CG.若AB=8,BC=12,则tan∠GCF的值是( ) A. B. C. D. B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 8.(3分)如图,为了测量某电子厂的高度,小明用高1.8 m的测量仪EF测得顶端A的仰角为45°,小军在小明的前面5 m处用高1.5 m的测量仪CD测得顶端A的仰角为53°,则电子厂AB的高度为( ) (参考数据:sin53°≈,cos53°≈,tan53°≈) A.22.7 m B.22.4 m C.21.2 m D.23.0 m A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 9.(3分)(2025·内蒙古中考)如图,因地形原因,湖泊两端A,B的距离不易测量,某科技小组需要用无人机进行测量.他们将无人机上升并飞行至距湖面90 m的点C处.从C点测得A点的俯角为60°,测得B点的俯角为30°(A,B,C三点在同一竖直平面内),则湖泊两端A,B的距离为___________m(结果保留根号).  　120　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 10.(3分)如图,图1为《天工开物》记载的用于舂(chōng)捣谷物的工具——“碓(duì)”的结构简图,图2为其平面示意图.已知AB⊥CD于点B,AB与水平线l相交于点O,OE⊥l.若BC=4分米,OB=12分米,∠BOE=60°,则点C到水平线l的距离CF为　___________分米(结果用含根号的式子表示).  (6-2)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 11.(3分)在△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边,若b2=ac,则sin A的值为_______.   　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【C层 培素养】 12.(12分)(2025·广东中考)综合与实践 【阅读材料】 如图,在锐角△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则有==.这是解三角形的重要结论,可用于解决实际问题. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【问题提出】万绿湖是广东省重要的生态屏障和饮用水水源地.某综合与实践小组要绘制一幅万绿湖局部平面示意图,现需要知道湖中A,B两岛间的实际距离.由于地形原因,无法利用测距仪直接测量,该小组对这一问题进行了探究. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【方案设计】 工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度). 测量过程: 步骤1:如图,在空旷地找一点C; 步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得∠A≈43°,∠B≈51°; 步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得BC≈341 m,AC≈388.5 m. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【问题解决】 (1)请你利用【阅读材料】中的结论计算A,B两岛间的距离. (参考数据:sin 43°≈0.682,sin 51°≈0.777,sin 86°≈0.998) 【评价反思】 (2)设计其他方案计算A,B两岛间的距离.要求:选用【方案设计】中的工具,写出你的方案和所用的数学知识. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 【解析】(1)∵∠A≈43°,∠B≈51°, ∴∠C=180°-∠A-∠B≈180°-43°-51°=86°, 由题意得,=, 又∵BC≈341 m, ∴AB==≈=499(m), 答:A,B两岛间的距离为499 m. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (2)工具:测角仪、测距仪、无人机(只能测角度、水平面高度). 测量过程: 步骤1:如图,在空旷地找一点C,使得△ABC是锐角三角形; 步骤2:利用无人机多次测量并取平均值测得∠C的度数; 步骤3:利用测距仪多次测量并取平均值测得BC=a m,AC=b m. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 计算过程: 过点A作AD⊥BC于点D,则∠ADC=∠ADB=90°, ∵在Rt△ACD中,sin C=,cos C=, ∴AD=bsin C(m),CD=bcos C(m), ∴BD=BC-CD=(a-bcos C)(m), ∵在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2, ∴AB=(m). 答:A,B两岛间的距离为 m.   ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 本课结束 $第十七讲　直角三角形 (时间:40分钟　分值:50分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)(2025·深圳一模)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,以BC和AC为边向两边分 别作正方形,面积分别为S1和S2.已知S2=36,且AB=8,则S1的值为( ) A.14 B.10 C.44 D.100 D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 2.(3分)如图所示,在等腰△ABC中,AB=AC=5,BC=8,AG为底边中线,将△ABC沿 射线AG方向平移得对应△DEF,连接BD,若AD=DG,则BD的长为( ) A.6　 B.8　 C.2　 D.2 D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 3.(3分)如图,已知线段AB,按以下步骤作图:①过点B作BC⊥AB,使BC=AB,连接 AC;②以点C为圆心,以BC长为半径画弧,交AC于点D;③以点A为圆心,以AD长为 半径画弧,交AB于点E.若AE=mAB,则m的值为( ) A.　 B. C.-1　 D.-2 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 4.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8,BC=4,折叠△ABC,使点A与点B重合,折 痕DE与AB交于点D,与AC交于点E,则CE的长为_______.  　3　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 5.(3分)七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具.某同学用边长为4 dm的正方 形纸板制作了一副七巧板(见图),由5个等腰直角三角形,1个正方形和1个平行四 边形组成.则图中阴影部分的面积为_______dm2.  　2　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 6.(3分)(2025·福州模拟)如图1,小明按照体育老师教的方法确定适合自己的绳长: 一脚踩住绳子的中央,手肘靠近身体,两肘弯屈90°,小臂水平转向两侧,两手将绳 拉直,绳长即合适长度.将图1抽象成图2,若两手握住的绳柄两端距离约为1 m,小 臂到地面的距离约1.2 m,则适合小明的绳长为________m.  　2.6　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 7.(3分)勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》:“勾广三,股修四,径隅五.”观察 下列勾股数:3,4,5;5,12,13;7,24,25;….这类勾股数的特点是:勾为奇数,弦与股相差 为1.柏拉图研究了勾为偶数,弦与股相差为2的一类勾股数,如:6,8,10;8,15,17;…. 若此类勾股数的勾为2m(m≥3,m为正整数),则其弦是__________(结果用含m的式子 表示).  　m2+1　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 【B层 提能力】 8.(3分)(2025·海南模拟)如图,海中一渔船在A处且与小岛C相距7海里,若该渔船由 西向东航行3海里到达B处,此时测得小岛C位于B的北偏东30°方向上,则该渔船 此时与小岛C之间的距离是( ) A.4海里 B.4.5海里 C.5海里 D.5.5海里 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 9.(3分)如图,正方形ABCD由四个全等的直角三角形(△ABE,△BCF,△CDG,△DAH) 和中间一个小正方形EFGH组成,连接DE.若AE=4,BE=3,则DE= ( ) A.5　 B.2　 C.　 D.4 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 10.(3分)在△ABC中,AD是△ABC的高,AD=6,AB=6,AC=6,则△ABC的面积为 ____________.  　72或36　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 11.(10分)(2025·广东中考)如图,CD是Rt△ABC斜边AB上的中线,过点A,C分别作AE∥DC,CE∥AB,AE与CE相交于点E.现有以下命题: 命题1:若连接BE交CA于点F,则S△CFB=2S△CEF. 命题2:若连接ED,则ED⊥AC. 命题3:若连接ED,则ED=BC. 任选两个命题,先判断真假,再证明或举反例. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 【解析】命题1:若连接BE交CA于点F,则S△CFB=2S△CEF. 命题1是真命题,证明如下: 连接DE,交AC于点O,如图所示: ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴CD=DA=DB=AB, ∵AE∥DC,CE∥AB, ∴四边形ADCE是平行四边形, ∵DA=DC, ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 ∴四边形ADCE是菱形, ∴AC⊥DE,且OA=OC,OE=OD, ∵D为AB的中点, ∴DO是△ABC的中位线,则OD=BC, ∴S△CFB=CF·BC,S△CEF=CF·OE=CF·OD=CF·BC,则S△CFB=2S△CEF; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 命题2:若连接ED,则ED⊥AC. 命题2是真命题,证明如下: 连接DE,交AC于点O,如图所示: ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴CD=DA=DB=AB, ∵AE∥DC,CE∥AB, ∴四边形ADCE是平行四边形, ∵DA=DC, ∴四边形ADCE是菱形,∴AC⊥DE; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 命题3:若连接ED,则ED=BC. 命题3是真命题,证明如下: 连接DE,交AC于点O,如图所示: ∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线, ∴CD=DA=DB=AB,∵AE∥DC,CE∥AB, ∴四边形ADCE是平行四边形, ∴CE=AD,∴CE=DB,∵CE∥AB, ∴四边形BCED是平行四边形, ∴ED=BC. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 【C层 培素养】 12.(10分)为实现核心素养导向的教学目标,走向综合性、实践性的课程教学变革,某中学推进项目式学习,组织九年级数学研学小组,进行了“测量古树高度”的项目式学习活动.其中甲、乙两个研学小组分别设计了不同的测量方案;他们各自设计的测量方案示意图及测量数据如表所示: ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 活动课题 测量古树AB的高度 研学小组 甲组 乙组 测量 示意 图 测量 说明 CE⊥AB于点E,四边形BECD为一个矩形架,图中所有的点都在同一平面内 CD⊥AB于点D,图中所有的点都在同一平面内 测量 数据 CD=4 m,CE=12 m, ∠ACE=30° ∠ACD=45°,∠BCD=60°, CD=4 m 请你选择其中的一种测量方案,求古树AB的高度.(结果保留根号) ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 【解析】选甲组, ∵四边形BECD为矩形, ∴BE=CD=4 m, 在Rt△ACE中,∠ACE=30°, ∴AC=2AE, 由勾股定理得,AC2-AE2=EC2, 即4AE2-AE2=122, 解得AE=4(负值舍去), ∴AB=AE+BE=(4+4)m; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 选乙组, 在Rt△BCD中,∠BCD=60°,CD=4 m, ∴BC=2CD=8 m, ∴BD===4(m), 在Rt△ACD中,∠ACD=45°, ∴∠ACD=∠CAD=45°, ∴AD=CD=4, ∴AB=AD+BD=(4+4)m.   ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 26 本课结束 $第十六讲　等腰三角形 (时间:40分钟　分值:50分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)(2025·西安一模)如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,AD为BC边上的中线, 点P在AD上,连接PB,PC,若PB=13,PD=5,则CD的长为( ) A.10 B.11 C.12 D.13 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.(3分)(2025·达州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=8,BC=5,线段AB的垂直平分 线交AB于点E,交AC于点D,则△BDC的周长为 ( ) A.21 B.14 C.13 D.9 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.(3分)如图,在Rt△ABC中,D是AC的中点,∠BDC=60°,AC=6,则BC的长 是( ) A.3　 B.6　 C.　 D.3 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(3分)如图,在△ABC中,若AB=AC,AD=BD,∠CAD=24°,则∠C=________°.  　52　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.(3分)如图,a∥b,直线l与直线a,b分别交于B,A两点,分别以点A,B为圆心,大于AB 的长为半径画弧,两弧相交于点E,F,作直线EF,分别交直线a,b于点C,D,连接AC,若 ∠CDA=34°,则∠CAB的度数为________.  　56°　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(3分)如图,等边三角形纸片ABC的边长为6,E,F是边BC上的三等分点.分别过点 E,F沿着平行于BA,CA方向各剪一刀,则剪下的△DEF的周长是_________.  　6　　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.(8分)(2025·金华二模)如图,在△ABC中,AB=AC,点D是BC的中点,点E在BD上,连接AD,AE,AE=BE. (1)若∠B=40°,求∠DAE的度数. (2)若CA=CE,求∠B的度数. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1)∵AB=AC,∴∠C=∠B=40°, ∴∠BAC=180°-40°-40°=100°, ∵点D是BC的中点, ∴∠BAD=∠BAC=50°, ∵AE=BE, ∴∠BAE=∠B=40°, ∴∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)由条件可知∠CAE=∠CEA, 根据(1)可知:∠B=∠BAE,∠B=∠C, ∴∠CAE=∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B, ∴∠BAC+∠B+∠C =∠BAE+∠CAE+∠B+∠C =5∠B, ∵∠BAC+∠B+∠C=180°, ∴5∠B=180°, 解得:∠B=36°. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【B层 提能力】 8.(3分)如图,△ABC是等边三角形,AB=3,D是AB的中点,E是BC上一动点,则DE的 最小值为( ) A. B. C. D. C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.(3分)如图1,将边长为4的等边△ABC沿其BC边上的高AD剪开,再把△ADC向左平 移得到△A'D'C',当D'是BD的中点时,如图2,两个三角形重叠部分面积为_______.   　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(8分)(2025·长沙中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=72°,以点C为圆心,适当长为半径作弧,交CA于点M,交CB于点N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长度为半径作弧,两弧相交于点P,作射线CP交AB于点D. (1)求∠BCD的度数; (2)若BC=2.5,求AD的长. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1)∵AB=AC,∠B=72°, ∴∠ACB=∠B=72°, 由作图可知:CD是∠ACB的平分线, ∴∠BCD=∠ACD=∠ACB=36°; (2)∵∠BDC=180°-∠B-∠BCD=72°,∠B=72°, ∴∠BDC=∠B,∴CD=CB, ∵∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°, ∴∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°, ∴∠A=∠ACD, ∴AD=CD,∴AD=BC=2.5. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【C层 培素养】 11.(10分)【问题背景】 某校八年级数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现: ①如图,在△ABC中,若AD⊥BC,BD=CD,则有∠B=∠C; ②某同学顺势提出一个问题:既然①正确,那么进一步推得AB=AC,即知AB+BD=AC+CD.若把①中的BD=CD替换为AB+BD=AC+CD,还能推出∠B= ∠C吗? 基于此,社团成员小军、小民进行了探索研究,发现确实能推出∠B=∠C,并分别提供了不同的证明方法. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【问题解决】 (1)完成①的证明; (2)把②中小军、小民的证明过程补充完整. 小军 小民 证明:分别延长DB,DC至E,F两点,使得…… 证明:∵AD⊥BC, ∴△ADB与△ADC均为直角三角形 根据勾股定理,得…… ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1)∵AD⊥BC, ∴∠ADB=∠ADC=90°, 在△ADB和△ADC中, , ∴△ADB≌△ADC(SAS), ∴∠B=∠C; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)小军的证明过程: 分别延长DB,DC至E,F两点,使得BE=BA,CF=CA,如图所示, ∵AB+BD=AC+CD, ∴BE+BD=CF+CD, ∴DE=DF, ∵AD⊥BC, ∴∠ADE=∠ADF=90°, 在△ADE和△ADF中, , ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴△ADE≌△ADF(SAS), ∴∠E=∠F, ∵BE=BA,CF=CA, ∴∠E=∠BAE,∠F=∠CAF, ∵∠ABC=∠E+∠BAE,∠ACB=∠F+∠CAF, ∴∠ABC=∠ACB; 小民的证明过程: ∵AD⊥BC, ∴△ADB与△ADC均为直角三角形,   ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 根据勾股定理,得:AD2+BD2=AB2,AD2+CD2=AC2, ∴AB2-BD2=AC2-CD2, ∴(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD), ∵AB+BD=AC+CD, ∴AB-BD=AC-CD, ∴AB=AC, ∴∠B=∠C. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 本课结束 $第十三讲　图形初步知识 (时间:40分钟　分值:60分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)若∠A=80°,则∠A的补角是( ) A.100°　 B.80°　 C.40°　 D.10° A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 2.(3分)(2025·广西中考)在跳远比赛中,某同学从点C处起跳后,在沙池留下的脚印 如图所示,测量线段AB的长度作为他此次跳远成绩(最近着地点到起跳线的最短 距离),依据的数学原理是 ( ) A.垂线段最短 B.两点确定一条直线 C.两点之间,线段最短 D.两直线平行,内错角相等 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 3.(3分)(2025·长沙中考)如图,AB∥CD,直线EF与直线AB,CD分别交于点E,F,直 线EG与直线CD交于点G.若∠1=70°,∠2=50°,则∠GEF的度数为 ( ) A.50° B.60° C.65° D.70° B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 4.(3分)(2025·辽宁中考)如图,点C在∠AOB的边OA上,CD⊥OB,垂足为D,DE∥OA, 若∠EDB=40°,则∠ACD的度数为 ( ) A.50° B.120° C.130° D.140° C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 5.(3分)(2025·浙江中考)如图所示,直线a,b被直线c所截.若a∥b,∠1=91°,则 ( ) A.∠2=91° B.∠3=91° C.∠4=91° D.∠5=91° B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 6.(3分)走马灯,又称仙音烛,据史料记载,走马灯的历史起源于隋唐时期,盛行于宋 代,是中国特色工艺品,常见于除夕、元宵、中秋等节日.在一次综合实践活动中, 一同学用如图所示的纸片,沿折痕折合成一个棱锥形的“走马灯”,正方形做底,侧 面有一个三角形面上写了“祥”字,当灯旋转时,正好看到“吉祥如意”的字样.则在 A,B,C处依次写上的字可以是 ( ) A.吉　如　意　 B.意　吉　如 C.吉　意　如　 D.意　如　吉 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 7.(3分)(2025·甘肃中考)如图1,三根木条a,b,c相交成∠1=80°,∠2=110°,固定木条 b,c,将木条a绕点A顺时针转动至如图2所示,使木条a与木条b平行,则可将木条a旋 转 ( ) A.30° B.40° C.60° D.80° A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 8.(3分)如图,直线AB∥CD,点E在直线AB上,射线EF交直线CD于点G,则图中 与∠AEF互补的角有 ( ) A.1个　 B.2个　 C.3个　 D.4个 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 9.(3分)(2025·连云港中考)如图,AB∥CD,直线AB与射线DE相交于点O.若 ∠D=50°,则∠BOE=_________°.  　130　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 10.(6分)将一副三角板如图摆放,则________∥________,理由是________________ ____________.  　BC　 　ED　 　内错角相等,两 直线平行　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 11.(3分)如图,在等腰△ABC中,∠A=120°,顶点B在▱ODEF的边DE上,已知∠1=40°,则∠2=_________.  　110°　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 【B层 提能力】 12.(3分)在同一平面内,将直尺、含30°角的三角尺和木工角尺(CD⊥DE)按如 图方式摆放,若AB∥CD,则∠1的大小为( ) A.30°　 B.45°　 C.60°　 D.75° A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 13.(3分)如图是4×3的正方形网格,选择一空白小正方形,能与阴影部分组成正 方体展开图的方法有 ( ) A.1种　 B.2种　 C.3种　 D.4种 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 14.(3分)(2025·深圳中考)如图为小颖在试鞋镜前的光路图,入射光线OA经平面镜 后反射入眼,若CB∥OA,∠CBO=122°,∠BON=90°,则入射角∠AON的度数为 ( ) A.22° B.32° C.35° D.122°   B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 15.(3分)(2025·扬州中考)如图,平行于主光轴PQ的光线AB和CD经过凸透镜折射 后,折射光线BE,DF交于主光轴上一点G.若∠ABE=130°,∠CDF=150°,则∠EGF 的度数是 ( ) A.60° B.70° C.80° D.90° C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 16.(3分)如图,3条直线两两相交最多有3个交点,4条直线两两相交最多有6个交点, 按照这样的规律,则20条直线两两相交最多有_________个交点.  　190　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 17.(3分)有一个正六面体骰子,放在桌面上,将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动, 每滚动90°算一次,则滚动第2 023次后,骰子朝下一面的点数是_______.  　5　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 【C层 培素养】 18.(6分)如图,A,B两点的坐标分别为A(4,3),B(0,-3),在x轴上找一点P,使线段PA+PB的值最小,求点P的坐标. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 【解析】如图,连接AB交x轴于点P', 根据两点之间,线段最短可知,P'即为所求, 设直线AB的关系式为y=kx+b, ,解得,∴y=x-3, 当y=0时,x=2,∴P'(2,0). 答:点P的坐标为(2,0). ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 本课结束 $第十五讲　全等三角形 (时间:40分钟　分值:50分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB 于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆 的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC 的大小为( ) A.60°　 B.65°　 C.70°　 D.75° B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.(3分)(2025·青海中考)工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图, ∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的 刻度分别与点M,N重合,即CM=CN,过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线, 这种做法的依据是( ) A.AAS B.SAS C.SSS D.ASA C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.(3分)在△ABC和△A'B'C'中,∠B=∠B'=30°,AB=A'B'=6,AC=A'C'=4,已知∠C=n°, 则∠C'= ( ) A.30°　 　　　　　 B.n° C.n°或180°-n°　 　　　　　　 D.30°或150° C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(3分)下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法. (1)如图,以点O为圆心,任意长为半径画弧,分别交OA,OB于点C,D; (2)作射线O'A',以点O'为圆心,OC长为半径画弧,交O'A'于点C';以点C'为圆心,CD长为半 径画弧,两弧交于点D'; (3)过点D'作射线O'B',则∠A'O'B'=∠AOB. 上述方法通过判定△C'O'D'≌△COD得到∠A'O'B'=∠AOB,其中判定△C'O'D'≌△COD 的依据是( ) A.三边分别相等的两个三角形全等 B.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D.两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作 BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长 度为_______.  　3　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.(3分)在x轴,y轴上分别截取OA=OB,再分别以点A,B为圆心,以大于AB长为半 径画弧,两弧交于点P,若点P的坐标为(a,2),则a的值是__________.  　2或-2　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.(8分)(2025·南充中考)如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,AC=AD,∠BAD= ∠EAC. (1)求证:△ABC≌△AED. (2)求证:∠BCD=∠EDC. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【证明】(1)∵∠BAD=∠EAC, ∴∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD, ∴∠BAC=∠EAD,在△ABC与△AED中,, ∴△ABC≌△AED(SAS); (2)∵AC=AD,∴∠ACD=∠ADC, 由(1)可知:△ABC≌△AED, ∴∠ACB=∠ADE, ∴∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC, ∴∠BCD=∠EDC. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【B层 提能力】 8.(3分)(2025·青岛模拟)如图,已知△ABC的周长是21,BO,CO分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC于D,且OD=4,△ABC的面积是________.  　42　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.(3分)如图,在△ABC中,点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(4,1),点C的坐标为(3,4), 点D在第一象限(不与点C重合),且△ABD与△ABC全等,点D的坐标是_________.  　(1,4)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(8分)(2025·扬州模拟)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,在BD上取两点E,F,使BF=DE,连接AE,CF. (1)若AE∥CF,试说明△ABE≌△CDF; (2)在(1)的条件下,连接AF,CE,试判断AF与CE有怎样的数量关系,并说明理由. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1)∵AB∥CD, ∴∠ABE=∠CDF, ∵AE∥CF, ∴∠AEB=∠CFD, ∵BF=DE, ∴BF+EF=DE+EF,∴BE=DF, 在△ABE和△CDF中, , ∴△ABE≌△CDF(ASA); ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2)AF=CE.理由如下:如图, ∵△ABE≌△CDF, ∴AB=CD, 在△ABF和△CDE中, , ∴△ABF≌△CDE(SAS), ∴AF=CE. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【C层 培素养】 11.(10分)【实际情境】手工课堂上,老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后,组装了花折伞的骨架,粘贴了彩色伞面,制作出精美的花折伞. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【模型建立】 (1)如图1,从花折伞中抽象出“牵形图”,AM=AN,DM=DN.求证∠AMD=∠AND. 【模型应用】 (2)如图2,△AMC中,∠MAC的平分线AD交MC于点D.请你从以下两个条件: ①∠AMD=2∠C;②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件,另一个作为结论,并写出结论成立的证明过程.(注:只需选择一种情况作答) 【拓展提升】 (3)如图3,AC为☉O的直径,=,∠BAC的平分线AD交BC于点E,交☉O于点D,连接CD.求证AE=2CD. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1)在△ADM和△ADN中, , ∴△ADM≌△ADN(SSS), ∴∠AMD=∠AND; (2)(Ⅰ)选择②为条件,①为结论, 如图,在AC上取点N,使AN=AM,连接DN, ∵AD平分∠MAC, ∴∠DAM=∠DAN, ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 在△ADM和△ADN中, ∵AM=AN,∠DAM=∠DAN,AD=AD, ∴△ADM≌△ADN(SAS), ∴DM=DN,∠AMD=∠AND, ∵AC=AM+MD,AC=AN+NC, ∴DM=CN, ∴DN=CN, ∴∠C=∠CDN, ∴∠AMD=∠AND=∠CDN+∠C=2∠C; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (Ⅱ)选择①为条件,②为结论, 如图,在AC上取点N,使AN=AM,连接DN, ∵AD平分∠MAC, ∴∠DAM=∠DAN, 在△ADM和△ADN中, ∵AM=AN,∠DAM=∠DAN,AD=AD, ∴△ADM≌△ADN(SAS), ∴DM=DN,∠AMD=∠AND, ∵∠AMD=2∠C, ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴∠AND=2∠C=∠CDN+∠C, ∴∠CDN=∠C, ∴DN=CN, ∴DM=CN, ∵AC=AN+NC, ∴AC=AM+MD; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3)如图,连接BD,取AE的中点F,连接BF, ∵AD是∠BAC的平分线, ∴=, ∴BD=CD, ∴∠BCD=∠CBD, ∵AC为☉O的直径, ∴∠ABC=90°, ∴AE=2BF=2AF, ∴∠ABF=∠BAF, ∵∠BAF=∠BCD, ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ∴∠ABF=∠CBD, ∵=, ∴AB=BC, ∴△ABF≌△CBD(ASA), ∴BF=BD=CD, ∴AE=2CD. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 本课结束 $第十四讲　三角形与多边形 (时间:40分钟　分值:60分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)(2025·云南中考)一个六边形的内角和等于( ) A.360° B.540° C.720° D.900° C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 2.(3分)已知三条线段的长分别是6,m,8,若它们能构成三角形,则整数m的最小 值是 ( ) A.2　 B.3　 C.6　 D.8 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.(3分)如图,在△ABC中,∠C=35°,BD平分∠ABC交AC于点D,DE∥AB,交BC于点 E,若∠BDE=32°30',则∠A的度数是 ( ) A.80°28' B.80° C.80°32' D.81° B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.(3分)过多边形一个顶点与其他顶点连线把图形分割成三角形,可以分成4个 三角形的是 ( ) A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.七边形 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.(3分)如图,小颖按如图方式操作直尺和含30°角的三角尺,依次画出了直线a,b,c. 如果∠1=70°,则∠2的度数为 ( ) A.110° B.70° C.40° D.30° C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(3分)小明将一块直角三角板摆放在直尺上,如图,若∠1=55°,则∠2的度数 为 ( ) A.25°　 B.35°　 C.45°　 D.55° B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.(3分)如图,在正五边形ABCDE中,以AB为边向内作正△ABF,则下列结论错误 的是 ( ) A.AE=AF B.∠EAF=∠CBF C.∠F=∠EAF D.∠C=∠E C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.(3分)正六边形的一个内角的度数是_________°.  9.(3分)若a,b,c是三角形的三条边长,则代数式a2-2ab-c2+b2_______0.(填“>”“<” 或“=”)  　120　 　<　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.(8分)如图,BD是△ABC的角平分线,DE∥BC,交AB于点E. (1)求证:∠EBD=∠EDB. (2)当AB=AC时,请判断CD与ED的大小关系,并说明理由. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】(1)∵BD是△ABC的角平分线, ∴∠CBD=∠EBD,∵DE∥BC,∴∠CBD=∠EDB, ∴∠EBD=∠EDB. (2)CD=ED,理由如下: ∵AB=AC,∴∠C=∠ABC,∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠C,∠AED=∠ABC, ∴∠ADE=∠AED,∴AD=AE,∴CD=BE, 由(1)得,∠EBD=∠EDB, ∴BE=DE, ∴CD=ED. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【B层 提能力】 11.(3分)如图,△ABC的中线BE,CF交于点O,连接EF,则的值为( ) A. B. C. D. B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.(3分)(2025·凉山州中考)已知一个多边形的内角和是它外角和的4倍,则从这 个多边形的一个顶点处可以引　　条对角线. ( )  A.6 B.7 C.8 D.9 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.(3分)如图是正n边形纸片的一部分,其中l,m是正n边形两条边的一部分,若l, m所在的直线相交形成的锐角为60°,则n的值是 ( ) A.5　 B.6　 C.8　 D.10 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.(3分)(2025·北京中考)如图,☉O是地球的示意图,其中AB表示赤道,CD,EF分别 表示北回归线和南回归线,∠DOB=∠FOB=23.5°.夏至日正午时,太阳光线GD所 在直线经过地心O,此时点F处的太阳高度角∠IFH(即平行于GD的光线HF与☉O 的切线FI所成的锐角)的大小为________°.  　43　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.(3分)如图,在正六边形ABCDEF中,AH∥FG,BI⊥AH,垂足为点I.若∠EFG=20°, 则∠ABI=________.  　50°　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【C层 培素养】 16.(10分)探究与发现: 如图(1)所示的图形,像我们常见的学习用品——圆规.我们不妨把这样图形叫做“规形图”,那么在这一个简单的图形中,到底隐藏了哪些数学知识呢?下面就请你发挥你的聪明才智,解决以下问题: (1)观察“规形图”,试探究∠BDC与∠A,∠B,∠C之间的关系,并说明理由; (2)请你直接利用以上结论,解决以下三个问题: ①如图(2),把一块三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的两条直角边XY,XZ恰好经过点B,C,若∠A=50°,则∠ABX+∠ACX=　　°;  ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②如图(3),DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=50°,∠DBE=130°,求∠DCE的度数; ③如图(4),∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1,G2,…,G9,若∠BDC=140°, ∠BG1C=77°,求∠A的度数. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 【解析】(1)连接AD并延长至点F, 由外角定理可得∠BDF=∠BAD+∠B,∠CDF=∠C+∠CAD, 且∠BDC=∠BDF+∠CDF,∠BAC=∠BAD+∠CAD, 相加可得∠BDC=∠BAC+∠B+∠C; (2)①由(1)的结论易得:∠ABX+∠ACX+∠A=∠BXC, ∵∠A=50°,∠BXC=90°, ∴∠ABX+∠ACX=90°-50°=40°; 答案:40 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ②由(1)的结论易得∠DBE=∠A+∠ADB+∠AEB,易得∠ADB+∠AEB=80°; 而∠DCE=(∠ADB+∠AEB)+∠DAE=×80°+50°=90°; ③∠BG1C=(∠ABD+∠ACD)+∠A, ∵∠BG1C=77°,∴设∠A为x°, ∵∠ABD+∠ACD=140°-x°, ∴(140-x)+x=77, 14-x+x=77,x=70, ∴∠A为70°. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 本课结束 $第十八讲　图形的相似与位似 (时间:40分钟　分值:60分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)(2025·深圳模拟)下列哪个选项中的矩形与图中的矩形不是相似形( ) B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(3分)(2025·贵州中考)如图,已知△ABC∽△DEF,AB∶DE=2∶1,若DF=2,则AC的长为( ) A.1 B.2 C.4 D.8 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(3分)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC依次交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF依次交l1,l2,l3于点D,E,F,若=,DE=6,则EF的长为( ) A.8　 B.5　 C.4　 D.2 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(3分)如图,在4×3的方形网格中,每个小正方形的边长均为1,将△OAB以点O为位似中心放大后得到△OCD,则△OAB与△OCD的周长之比是( ) A.2∶1 B.1∶2 C.4∶1 D.1∶4 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(3分)(2025·常州模拟)如图,衣夹简化的示意图中夹臂AC,BD可分别绕点M,N旋转,此时夹嘴闭合(即C,D两点重合),AM=BN=15 mm,CM=DN=20 mm,MN= 8 mm.当夹子完全张开时(即A,B两点重合),能夹衣物的最大厚度是( ) A. mm B.16 mm C.14 mm D. mm A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6.(3分)如图,在△ABC中,点D,E分别在边AB,AC上.添加一个条件使△ADE∽△ACB,则这个条件可以是___________________________.(写出一种情况即可)  　∠ADE=∠C(答案不唯一)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(3分)如图,AB与CD交于点O,且AC∥BD.若=,则=____.   　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(3分)如图,在边长为1的小正方形组成的网格中,A,B,C,D四个点均在格点上,AC与BD相交于点E,连接AB,CD,则△ABE与△CDE的周长比为_________.  　2∶1　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【B层 提能力】 9.(3分)(2025·宜宾中考)如图,一张锐角三角形纸片ABC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=2DB,沿DE将△ABC剪成面积相等的两部分,则的值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(3分)(2025·江西中考)如图,△ABC是面积为1的等边三角形,分别取AC,BC,AB的中点得到△A1B1C1;再分别取A1C,B1C,A1B1的中点得到△A2B2C2;……依此类推,则△AnBnCn的面积为( ) A.　B.　C.　D. C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(3分)如图,在平面直角坐标系中,△ABC与△AB'C'的相似比为1∶2,点A是位似中心,已知点A(2,0),点C(a,b),∠C=90°.则点C'的坐标为_____________.(结果用含a,b的式子表示)  　(6-2a,-2b)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(3分)如图,在△ABC中,已知AC=4,BC=3,D是AB上一点,连接CD.若AD=2DB,且△BCD∽△BAC,则CD的长为______.   　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(12分)如图,四边形ABCD为平行四边形,E为边AD上一点,连接AC,BE,它们相交于点F,且∠ACB=∠ABE. (1)求证:AE2=EF·BE; (2)若AE=2,EF=1,CF=4,求AB的长. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】(1)∵四边形ABCD为平行四边形, ∴AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACB, ∵∠ACB=∠ABE, ∴∠DAC=∠ABE,即∠EAF=∠EBA, ∵∠AEF=∠BEA, ∴△EAF∽△EBA, ∴EA∶EB=EF∶EA, ∴AE2=EF·BE; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)∵AE2=EF·BE,∴BE==4, ∴BF=BE-EF=4-1=3, ∵AE∥BC, ∴=,即=,解得AF=, ∵△EAF∽△EBA, ∴=,即=,∴AB=. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【C层 培素养】 14.(12分)综合与实践 为了研究折纸过程蕴含的数学知识,某校九年级数学兴趣小组的同学进行了数学折纸探究活动. 【探究发现】 (1)同学们对一张矩形纸片进行折叠,如图1,把矩形纸片ABCD翻折,使矩形顶点B的对应点G恰好落在矩形的一边CD上,折痕为EF,将纸片展平,连接BG.EF与BG相交于点H.同学们发现图形中四条线段成比例,即=,请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【拓展延伸】 (2)同学们对老师给出的一张平行四边形纸片进行研究,如图2,BD是平行四边形纸片ABCD的一条对角线,同学们将该平行四边形纸片翻折,使点A的对应点G,点C的对应点H都落在对角线BD上,折痕分别是BE和DF.将纸片展平,连接EG,FH,FG.同学们探究后发现,若FG∥CD,那么点G恰好是对角线BD的一个“黄金分割点”,即BG2=BD·GD.请你判断同学们的发现是否正确,并说明理由. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】(1)=正确,理由如下, 作EM⊥BC于点M,∵EF⊥BG, ∴∠BHF=90°,∴∠FBH+∠BFH=90°. ∵∠EMF=90°,∴∠MEF+∠BFH=90°∴∠FBH=∠MEF,又∵∠EMF=∠C=90°, ∴△EMF∽△BCG. =. ∵四边形ABCD是矩形,EM⊥BC,∴四边形ABME是矩形. ∴AB=EM.∴=. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)同学们的发现正确,理由如下, ∵CD∥FG,∴=,∠CDF=∠DFG, 由折叠知∠CDF=∠BDF, ∴∠DFG=∠BDF. ∴GD=GF.∴=, 由平行四边形及折叠知AB=BG,AB=CD, ∴=, ∴BG2=BD·GD, 即点G为BD的一个黄金分割点. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 本课结束 $