02 专题二 解直角三角形的实际应用题 -【智乐星中考·学考传奇】2026年山东省济南市中考数学讲练本PPT课件

该初中数学中考复习课件聚焦解直角三角形实际应用题，依据济南中考命题规律，梳理出偏角仰角（6年3考）、坡角坡度（6年2考）等四类核心考点，分析命题趋势为结合实际背景、2问设置，归纳常考题型及辅助线作法，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题精讲+素养提升”模式，如2024甘肃风电塔筒题，示范通过设未知数、用正切函数列方程求解，培养几何直观与推理能力。针对坡角坡度问题强调坡度与坡角转化，帮助学生掌握建模方法，教师可依此开展专题突破，提升学生中考得分率。

1 2 3 目 录 济南命题研究 专题分类突破 4 类型 考频 命题趋势 俯角、仰角问题 6年3考 1.考什么 近几年,对于解直角三角形的实际应用通常结合实际问题背景考查仰角、俯角、方向角等,难度中等. 2.怎么考 设问通常为2问,常与含特殊角的三角形及锐角三角函数结合考查,需结合已知条件正确画出辅助线,再利用直角三角形求解 坡角、坡度(坡比)问题 6年2考 方向角问题 6年0考 实物模型问题 6年2考 5 类型1　俯角、仰角问题 1.★【新情境·科技发展】(2024·甘肃)甘肃省风能资源丰富,风力发电发展 迅速.某学习小组成员查阅资料得知,在风力发电机组中,“风电塔筒”非常重 要,它的高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒 高度”的实践活动.如图,已知一风电塔筒AH垂直于地面,测角仪CD,EF在 AH两侧,CD=EF=1.6 m,点C与点E 相距182 m(点C,H,E在 同一条直线上),在D处测得筒尖顶点A的仰角为45°,在 F处测得筒尖顶点A的仰角为53°.求风电塔筒AH的高度. (参考数据:sin 53°≈,cos 53°≈,tan 53°≈) 6 解:如图,连接DF交AH于点G. 由题意得CD=EF=GH=1.6 m, DF=CE=182 m,DF⊥AH. 设DG=x m, 则FG=DF-DG=(182-x)m. 在Rt△ADG中,∠ADG=45°, ∴AG=DG·tan 45°=x m. 7 在Rt△AFG中,∠AFG=53°, ∴AG=FG·tan 53°≈(182-x)m, ∴x=(182-x),解得x=104, ∴AH=AG+GH=104+1.6=105.6(m). 答:风电塔筒AH的高度约为105.6 m. 8 2.★★(2025·甘肃)如图1,位于嘉峪关的长城第一墩,又称天下第一墩,是明代万里长城最西端的一座墩台,始建于明嘉靖十八年(1539年).该墩台雄踞于讨赖河峡谷的悬崖之上,扼守丝绸之路咽喉要道,与嘉峪关关城、悬壁长城共同构成河西走廊的军事防御体系.随着岁月的变迁和自然的风化,长城第一墩的高度在慢慢降低.为了解长城第一墩的现存高度,某校同学们开展了“测量长城第一墩高度”的综合实践活动.如图2是他们测量长城第一墩高度AB的示意图,点A为最高点,点B,F,D是地面同一直线上的三个点(点D,F都在保护栅栏外),在D,F处分别用测角仪测得∠ACG=16.7°,∠AEG=22°, 9 其中CD=EF=1.7 m(测角仪的高度),DF=CE=5.5 m,求长城第一墩的 高度AB.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin 22°≈0.37,cos 22°≈0.93, tan 22°≈0.40,sin 16.7°≈0.29,cos 16.7°≈0.96,tan 16.7°≈0.30) 10 解:由题意得CG⊥AB,CD=EF=BG=1.7 m.设EG=x m. ∵CE=DF=5.5 m,∴CG=CE+EG=(x+5.5)m. 在Rt△ACG中,∠ACG=16.7°, ∴AG=CG·tan 16.7°≈0.3(x+5.5)m. 在Rt△AEG中,∠AEG=22°, ∴AG=EG·tan 22°≈0.4x m, ∴0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5,∴0.4x=6.6, ∴AG=6.6 m,∴AB=AG+BG=6.6+1.7=8.3(m), ∴长城第一墩的高度AB约为8.3 m. 11 类型2　坡角、坡度(坡比)问题 3.★(2024·济南历城一模)综合与实践活动中,要利用测角仪测量塔的高度.如图,塔AB前有一座高为DE的观景台,已知CD=8 m,CD的坡比i=1∶,点E,C,A在同一条水平直线上.某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°,在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°. (1)求DE的长; (2)求塔AB的高度.(结果精确到1 m. 参考数据:tan 27°≈0.5,≈1.7) 12 解:(1)在Rt△DCE中,CD的坡比i=1∶, ∴∠DCE=30°.又∵CD=8 m,∴DE=CD=4 m, 即DE的长为4 m. (2)设AB=h m. 在Rt△DCE中,cos∠DCE=, ∴EC=CD·cos∠DCE=8×cos 30°=4(m). ∵在Rt△BCA中,tan∠BCA=,AB=h m,∠BCA=45°, ∴CA==h m,∴EA=CA+EC=(h+4)m. 13 如图,过点D作DF⊥AB,垂足为F. 根据题意得∠AED=∠FAE=∠DFA=90°, ∴四边形DEAF是矩形, ∴DF=EA=(h+4)m,FA=DE=4 m, ∴BF=AB-FA=(h-4)m. 在Rt△BDF中,tan∠BDF=≈0.5, ∴=0.5,解得h≈15. 答:塔AB的高度约为15 m. 14 4.★★(2025·济南天桥二模)某大型购物商场在一楼和二楼之间安装自动扶梯AC,截面的示意图如图所示,一楼和二楼地面平行(即点A与点B所在的直线与CD平行),层高AD为 8 m,坡角∠ACD=20°,为使得顾客乘坐自动扶梯时不碰头,A,B之间必须达到一定的距离. 15 (1)要使身高1.8 m的小明乘坐自动扶梯时不碰头,那么A,B之间的距离要大 于多少? (2)商场计划改造这个扶梯,将其分为三段:AE段(上坡段自动扶梯)、EF段 (水平平台,即EF∥DC)、FC段(上坡楼梯),如图中虚线所示.AE段和FC段的 坡度(垂直距离与水平距离之比)相同,为保障安全,其坡度i不能超过 1∶2. 商场希望尽可能延长平台EF的长度,以方便顾客休息.在其他条件不变的 情况下,请探究平台EF的最大长度. (精确到0.1 m.参考数据:sin 20°≈0.34,cos 20°≈0.94,tan 20°≈0.36) 16 解:(1)如图,连接AB,过点B作BM⊥AB交AC于点M.   ∵AB∥CD,∴∠BAM=∠ACD=20°. ∵tan∠BAM=, ∴AB=≈=5.0(m). 答:A,B之间的距离要大于5.0 m. 17 (2)如图,延长AE交CD于点N.   ∵AE段和FC段的坡度相同, ∴∠END=∠FCN,∴EN∥FC. 又∵EF∥NC,∴四边形CNEF为平行四边形, ∴EF=CN. 在Rt△ACD中,∠ACD=20°,AD=8 m, ∴CD=≈≈22.22(m). 18 CN=DC-DN,要使CN最大,则DN最小. 当i=1∶2时,DN最小=2AD=16 m, ∴EF最大=CN最大=22.22-16≈6.2(m). 答:平台EF的最大长度约为6.2 m. 19 类型3　方向角问题 5.★(2025·长沙)如图,某景区内两条互相垂直的道路a,b交于点M,景点A,B在道路a上,景点C在道路b上.为了进一步提升景区品质,景区管委会在道路b上又开发了风景优美的景点D.经测得景点C位于景点B的北偏东60°方向上,位于景点A的北偏东30°方向上,景点B位于景点D的南偏西45°方向上.已知AB=800 m. (1)求∠ACB的度数; (2)求景点C与景点D之间的距离.(结果保留根号) 20 解:(1)由题意可得∠BCM=60°,∠ACM=30°, ∴∠ACB=∠BCM-∠ACM=60°-30°=30°. (2)∵∠BCM=60°,BM⊥DM, ∴∠CBM=90°-∠BCM=90°-60°=30°. 由(1)得∠ACB=30°,∴∠ABC=∠ACB=30°, ∴AC=AB=800 m. 21 在Rt△ACM中,sin∠ACM=,cos∠ACM=, ∴AM=AC·sin∠ACM=800×sin 30°=400(m), CM=AC·cos∠ACM=800×cos 30°=400(m), ∴BM=BA+AM=800+400=1 200(m). ∵∠BDM=45°,BM⊥DM,∴DM=BM=1 200 m, ∴DC=DM-CM=(1 200-400)m. 答:景点C与景点D之间的距离为(1 200-400)m. 22 6.★★(2025·连云港)如图,港口B位于岛A的北偏西37°方向,灯塔C在岛A的正东方向,AC=6 km,一艘海轮D在岛A的正北方向,且B,D,C三点在一条直线上,DC=BD. (1)求岛A与港口B之间的距离; (2)求tan C. (参考数据:sin 37°≈,cos 37°≈,tan 37°≈) 23 解:(1)如图,过点B作BM⊥AD,垂足为M. ∵AC⊥AD,∴BM∥AC, ∴△BDM∽△CDA,∴=. ∵DC=BD,AC=6 km, ∴=,解得BM=. 在Rt△ABM中, sin∠BAD=sin 37°==≈,解得AB=4. 答:岛A与港口B之间的距离约为4 km. 24 (2)在Rt△ABM 中,AM=AB·cos 37°≈4×=(km). ∵△BDM∽△CDA,∴==, ∴AD=AM=×=(km). 在Rt△ADC 中,tan C===. 25 类型4　实物模型问题 7.★★【模型思维】 (2023·济南)图1是某越野车的侧面示意图,折线段ABC表示车后盖,已知 AB=1 m,BC=0.6 m,∠ABC=123°,该车的高度AO=1.7 m.如图2,打开后备厢,车后盖ABC落在AB'C'处,AB'与水平面的夹角∠B'AD=27°. 26 (1)求打开后备厢后,车后盖最高点B'到地面l的距离. (2)若小琳爸爸的身高为1.8 m,他从打开的车后盖C'处经过,有没有碰头的 危险?请说明理由.(结果精确到0.01 m.参考数据:sin 27°≈0.454,cos 27° ≈0.891,tan 27°≈0.510,≈1.732) 27 解:(1)如图,过点B'作B'E⊥AD,垂足为E. ∵在Rt△AB'E中,∠B'AD=27°,AB'=AB=1 m, ∴sin 27°=,∴B'E=AB'·sin 27°≈1×0.454=0.454(m). ∵平行线间的距离处处相等, ∴点B'到地面L的距离≈B'E+AO=0.454+1.7=2.154≈2.15(m). 答:车后盖最高点B'到地面l的距离约为2.15 m. 28 (2)没有碰头的危险. 理由如下:如图,过点C'作C'F⊥B'E,垂足为F. ∵∠B'AD=27°,∠B'EA=90°,∴∠AB'E=63°. ∵∠AB'C'=∠ABC=123°, ∴∠C'B'F=∠AB'C'-∠AB'E=60°. 在Rt△B'FC'中,B'C'=BC=0.6 m, ∴B'F=B'C'·cos 60°=0.3 m. ∵平行线间的距离处处相等, ∴点C'到地面的距离为2.15-0.3=1.85(m). ∵1.85>1.8,∴没有碰头的危险. 29 8.★★(2024·济南)城市轨道交通发展迅猛,为市民出行带来极大方便.某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离,数据勘测组通过勘测得到了如下记录表. 综合实践活动记录表 活动内容 测量轻轨高架站的相关距离 测量工具 测倾器、红外测距仪等 30 过程 资料 轻轨高架站示意图   相关数据及说明:图中点A,B,C,D,E,F在 同一平面内,房顶AB,吊顶CF和地面DE 所在的直线都平行,点F在与地面垂直 的中轴线AE上,∠BCD=98°, ∠CDE=97°,AE=8.5 m,CD=6.7 m 成果 梳理 … 31 请根据记录表提供的信息回答下列问题: (1)求点C到地面DE的距离; (2)求顶部线段BC的长. (结果精确到0.01 m.参考数据:sin 15°≈0.259,cos 15°≈0.966, tan 15°≈0.268,sin 83°≈0.993,cos 83°≈0.122,tan 83°≈8.144) 32 解:(1)如图,过点C作CN⊥ED,交ED的延长线于点N. ∵∠CDE=97°, ∴∠CDN=180°-∠CDE=180°-97°=83°. 在Rt△CDN中,sin∠CDN=sin 83°=≈0.993,CD=6.7 m, ∴CN=CD·sin 83°=6.7×0.993≈6.65(m). 答:点C到地面DE的距离约为6.65 m. 33 (2)如图,过点B作BP⊥CF,垂足为P. ∵CF∥DE,∴∠FCD=∠CDN=83°. ∵∠BCD=98°,∴∠BCP=∠BCD-∠FCD=15°. ∵平行线间的距离处处相等, ∴EF=CN=6.65 m.∵AE=8.5 m, ∴BP=AF=AE-EF=8.5-6.65=1.85(m). 在Rt△BCP中,sin∠BCP=sin 15°=≈0.259, ∴BC==≈7.14(m). 答:顶部线段BC的长约为7.14 m. 34 35 $