第3章 函数 课件2026年中考数学专题复习（山东）

第九讲　函数初步 (时间:40分钟　分值:50分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)如果单项式-y3与单项式2x4的和仍是一个单项式,则在平面直 角坐标系中点(m,n)在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.(3分)化学实验小组查阅资料了解到:某种絮凝剂溶于水后能够吸附水中悬浮物 并发生沉降,从而达到净水的目的.实验得出加入絮凝剂的体积与净水率之间的 关系如图所示,下列说法正确的是 ( ) A.加入絮凝剂的体积越大,净水率越高 B.未加入絮凝剂时,净水率为0 C.絮凝剂的体积每增加0.1 mL,净水率的增加量相等 D.加入絮凝剂的体积是0.2 mL时,净水率达到76.54% D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.(3分)(2025·湖南中考)甲、乙两人在一次100米赛跑比赛中,路程s(米)与时 间t(秒)的函数关系如图所示,________(填“甲”或“乙”)先到终点.  　甲　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.(3分)在函数y=中,自变量x的取值范围是_________.  5.(3分)画一条水平数轴,以原点O为圆心,过数轴上的每一刻度点画同心圆,过原 点O按逆时针方向依次画出与正半轴的角度分别为30°,60°,90°,120°,…,330°的射 线,这样就建立了“圆”坐标系.如图,在建立的“圆”坐标系内,我们可以将点A,B,C的 坐标分别表示为A(6,60°),B(5,180°),C(4,330°),则点D的坐标可以表示为 ____________.  　x≥3　 　(3,150°)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【B层 提能力】 6.(3分)(2025·新疆中考)一辆快车从A地匀速驶向B地,一辆慢车从B地匀速驶向A 地,两车同时出发,各自到达目的地后停止.两车之间的距离s(km)与行驶时间t(h) 之间的函数关系如图所示,下列结论错误的是( ) A.两车出发2 h后相遇 B.A,B两地相距280 km C.快车比慢车早 h到达目的地 D.快车的速度为80 km/h,慢车的速度为60 km/h C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.(3分)如图1,正方形ABCD的边长为4,E为CD边的中点.动点P从点A出发沿 AB→BC匀速运动,运动到点C时停止.设点P的运动路程为x,线段PE的长为y,y与x 的函数图象如图2所示,则点M的坐标为 ( ) A.(4,2)　 B.(4,4)　 C.(4,2)　 D.(4,5) C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8.(3分)如图①,在△ABC中,∠ACB=90°,点P从点A出发沿A→C→B以1 cm/s的速度 匀速运动至点B,图②是点P运动时,△ABP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图 象,则该三角形的斜边AB的长为 ( ) A.5 B.7 C.3 D.2 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.(3分)(2025·内江中考)对于正整数x,规定函数f(x)=.在平面直 角坐标系中,将点(m,n)中的m,n分别按照上述规定,同步进行运算得到新的点的横、 纵坐标(其中m,n均为正整数).例如,点(8,5)经过第1次运算得到点(4,16),经过第2次 运算得到点(2,8),经过第3次运算得到点(1,4),经过有限次运算后,必进入循环圈. 按上述规定,将点(2,1)经过第2 025次运算后得到点是( ) A.(2,1) B.(4,2) C.(1,2) D.(1,4) A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.(10分)小云有一个圆柱形水杯(记为1号杯).在科技活动中,小云用所学数学知识和人工智能软件设计了一个新水杯,并将其制作出来.新水杯(记为2号杯)示意图如图. 当1号杯和2号杯中都有V mL水时,小云分别记录了1号杯的水面高度h1(单位:cm)和2号杯的水面高度h2(单位:cm),部分数据如下: V/mL 0 40 100 200 300 400 500 h1/cm 0   2.5 5.0 7.5 10.0 12.5 h2/cm 0 2.8 4.8 7.2 8.9 10.5 11.8 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (1)补全表格(结果保留小数点后一位); (2)通过分析数据,发现可以用函数刻画h1与V,h2与V之 间的关系.在给出的平面直角坐标系中,画出这两个函 数的图象; (3)根据以上数据与函数图象,解决下列问题: ①当1号杯和2号杯中都有320 mL水时,2号杯的水面 高度与1号杯的水面高度的差约为________cm(结果保留小数点后一位);  ②在①的条件下,将2号杯中的一部分水倒入1号杯中,当两个水杯的水面高度相同时,其水面高度约为________cm(结果保留小数点后一位).  ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1)设h1=kV,将(100,2.5)代入得:2.5=100k, 解得k=,∴h1=V,∵V=40,∴h1=1.0. 答案:1.0 (2)如图所示, (3)①当V=320 mL时,h1=8.0 cm,由图象可知相差约为1.2 cm. 答案:1.2 ②在①的条件下两杯相差1.2 cm,此时h1大约是8.0 cm,加上0.6约为8.6 cm. 答案:8.6 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【C层 培素养】 11.(13分)(2025·北京中考)工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训.在完成理论学习后,新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日(T可取0,1,2或3)的模拟练习,然后开始试制.记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y,根据以往的培训经验,对于给定的T,可以认为y是x的函数.当T=0和T=3时,部分数据如下: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 T=0 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 T=3 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 T=3时,从试制阶段的第2日起,一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变. 对于给定的T,在平面直角坐标系xOy中描出该T值下各数对(x,y)所对应的点,并根据变化趋势用平滑曲线连接,得到曲线CT.当T=1和T=2时,曲线C1,C2如图所示. (1)观察曲线C1,当整数x的值为________时,y的值首次超过35;  (2)写出表中m的值,并在给出的平面直角坐标系中画出T=3时的曲线C3; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习,接下来进行模拟练习和试制. ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书,根据上述函数关系,小云最早在完成理论学习后的第________日可获得“优秀学员”证书;  ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多,根据上述函数关系,在这4日中应安排小腾先进行________日的模拟练习.  ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 【解析】(1)由曲线C1看出,当整数x的值为6时,y的值首次超过35. 答案:6 (2)∵T=3日的模拟练习时,从试制阶段的第2日起,一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变,在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个,第5日单日制成的合格品48个, ∴相差48-43=5(个),把5分成两个接近的数,5=3+2, ∴第4日增加3个,第5日增加2个, ∴m=43+3=46,画出T=3时的曲线C3: ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (3)①单日制成不少于45个合格品的只有C2与C3, C3:T=3日的模拟练习,然后试制阶段第x=4日制成的合格品达到y=46个, ∴T+x=7; C2:T=2日的模拟练习,然后试制阶段第x=6日制成的合格品达到y=45个, ∴T+x=8, ∵7<8, 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书; 答案:7 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ②当模拟练习T=0日时, 4日内的试制时间x=4-0=4(日), 4日的合格产品分别是7,8,10,12, ∴合格产品共有7+8+10+12=37(个); 当模拟练习T=1日时, 4日内的试制时间x=4-1=3(日), 3日的合格产品分别是12,19,26, ∴合格产品共有12+19+26=57(个); 当模拟练习T=2日时, 4日内的试制时间x=4-2=2(日),   ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2日的合格产品分别是20,30, ∴合格产品共有20+30=50(个); 当模拟练习T=3日时, 4日内的试制时间x=4-3=1(日), 1日的合格产品是26; ∵26<37<50<57, ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多,根据上述函数关系,在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习. 答案:1 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 本课结束 $第十一讲　反比例函数 第1节　反比例函数的图象与性质 (时间:40分钟　分值:60分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)在同一直角坐标系中,函数y=kx+1与y=(k≠0)的图象可能是( ) A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2.(3分)关于反比例函数y=(k<0),下列结论正确的是( ) A.图象位于第一、三象限 B.图象与坐标轴有交点 C.若图象经过点(1,-2),则必经过点(2,-1) D.图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),若x1<x2,则y1<y2 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3.(3分)(2025·河北中考)在反比例函数y=中,若2<y<4,则( ) A.<x<1 B.1<x<2 C.2<x<4 D.4<x<8 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4.(3分)已知关于x的一元二次方程x2+2x+1-k=0无实数根,则函数y=kx与函数 y=的图象交点个数为( ) A.0　 B.1　 C.2　 D.3 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5.(3分)(2025·甘肃中考)已知点A(2,y1),B(6,y2)在反比例函数y=(k≠0)的图象上, 如果y1>y2,那么k=__________________(请写出一个符合条件的k值).  6.(3分)在平面直角坐标系xOy中,若函数y=(k≠0)的图象经过点(3,y1)和(-3,y2), 则y1+y2的值是_______.  　6(答案不唯一)　 　0　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7.(3分)如图,点A在反比例函数y=(k≠0)图象的一支上,点B在反比例函数y=-图 象的一支上,点C,D在x轴上,若四边形ABCD是面积为9的正方形,则实数k的值为 _______.  　-6　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8.(3分)如图,已知点A(3,3),B(3,1),反比例函数y=(k≠0) 图象的一支与线段AB有 交点,写出一个符合条件的k的整数值:__________________.  　4(答案不唯一)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【B层 提能力】 9.(3分)(2025·烟台中考)如图,菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上,OA=3,反比例 函数y=(x>0)的图象过点C和菱形的对称中心M,则k的值为( ) A.4 B.4 C.2 D.2 D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10.(3分)如图,双曲线y=(x>0)经过A,B两点,连接OA,AB,过点B作BD⊥y轴,垂 足为D,BD交OA于点E,且E为AO的中点,则△AEB的面积是( ) A.4.5　 B.3.5　 C.3　 D.2.5 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11.(3分)已知y=x与y=(x>0)的图象交于点A(2,m),点B为y轴上一点,将△OAB 沿OA翻折,使点B恰好落在y=(x>0)上点C处,则B点坐标为_________.  　(0,4)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12.(3分)已知曲线C1,C2分别是函数y=-(x<0),y=(k>0,x>0)的图象,边长为6的正 △ABC的顶点A在y轴正半轴上,顶点B,C在x轴上(B在C的左侧),现将正△ABC绕原 点O顺时针旋转,当点B在曲线C1上时,点A恰好在曲线C2上,则k的值为_______.  　6　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13.(12分)(2025·河南中考)小军将一副三角尺按如图方式摆放在平面直角坐标系xOy中,其中含30°角的三角尺OAB的直角边OA落在y轴上,含45°角的三角尺OAC的直角顶点C的坐标为(2,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过点C. (1)求反比例函数的解析式. (2)将三角尺OAB绕点O顺时针旋转90°,AB边上的点D恰好落在反比例函数图象上,求旋转前点D的坐标. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】(1)∵含45°角的三角尺OAC的直角顶点C的坐标为(2,2),反比例函数y=(x>0)的图象经过点C. ∴k=2×2=4, ∴反比例函数的解析式为y=. (2)∵C(2,2), ∴CO2=22+22=8, ∵含45°角的三角尺OAC为等腰直角三角形,∠ACO=90°, ∴AC=CO,AO==4. 如图,连接OD,△OAB旋转到△OEF的位置; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 ∴OE=OA=4, ∵D的对应点G在y=的图象上, ∴yG=1, ∴EG=1, 由旋转可得:AD=GE=1, ∴D(-1,4). ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【C层 培素养】 14.(12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线l:y=kx+2与x,y轴分别相交于点A,B,与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点C,已知OA=1,点C的横坐标为2. (1)求k,m的值; (2)平行于y轴的动直线与直线l和反比例函数的图象分别交于点D,E,若以B,D,E,O为顶点的四边形为平行四边形,求点D的坐标. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 【解析】(1)∵OA=1,∴点A的坐标为(-1,0), 则-k+2=0,解得k=2, ∴直线l的函数解析式为y=2x+2, ∵点C在直线l上,点C的横坐标为2, ∴点C的纵坐标为2×2+2=6, ∴点C的坐标为(2,6),∴m=2×6=12; ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2)设点D的坐标为(n,2n+2),则点E的坐标为(n,),∴DE=|2n+2-|, ∵OB∥DE, ∴当OB=DE时,以B,D,E,O为顶点的四边形为平行四边形, ∵直线y=2x+2与y轴交于点B, ∴OB=2,∴|2n+2-|=2, 当2n+2-=2时,n1=,n2=-(舍去), 此时,点D的坐标为(,2+2), ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 当2n+2-=-2时,n3=-1,n4=--1(舍去), 此时,点D的坐标为(-1,2), 综上所述:以B,D,E,O为顶点的四边形为平行四边形时,点D的坐标为(,2+2)或(-1,2) ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 本课结束 $第3节　二次函数中的线段、周长、 面积问题 (时间:40分钟　分值:30分) 1 1.(15分)在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+6与x轴交于点 A(-3,0),点B(2,0). (1)求a,b的值. (2)直线y=kx+2与抛物线交于A,C两点,P位于直线y=kx+2上方且是抛物线上的动点,过点P作x轴的垂线交直线AC于点Q,交x轴于点H. ①若PQ=4,求点P的坐标. ②连接PA,PC,求△PAC的面积的最大值. ‹#› 1 2 【解析】(1)抛物线y=ax2+bx+6过点A(-3,0),B(2,0), ∴,解得; (2)①由(1)知抛物线的解析式为y=-x2-x+6, 将点A(-3,0)代入y=kx+2,得-3k+2=0,解得k=, ∴直线的解析式为y=x+2, 设点P(t,-t2-t+6),则点Q(t,t+2), ∴PQ=-t2-t+6-(t+2)=-t2-t+4, ‹#› 1 2 ∵PQ=4,∴-t2-t+4=4,解得t1=-,t2=0,∴P(-,)或P(0,6); ②由, 解得x1=-3,x2=,∴点C(,),∴xC-xA=-(-3)=, ∴S△PAC=PQ·(xC-xA)=×(-t2-t+4)× =-×(t+)2+, ∴当t=-时,S△PAC取得最大值,最大值为. ‹#› 1 2 2.(15分)(2025·齐齐哈尔四模)综合与探究. 如图①,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=-x2+bx+c(a≠0)与x轴交于点 A(-1,0),B(3,0),D是抛物线顶点. (1)求抛物线的解析式并直接写出点D的坐标; (2)若M是第一象限内抛物线上的任意一点. ①过点M作ME∥y轴,过点D作DE∥x轴,则=________;  ②连接AM,交BC于点N,连接BM,记△BMN的面积为S1,△ABN的面积为S2,求的最大值; ‹#› 1 2 (3)如图②,GH为x轴上一条定线段且GH=,则CG+GH+HD的最小值为________.  ‹#› 1 2 【解析】(1)将点A(-1,0),点B(3,0)分别代入y=-x2+bx+c得: ,解得:, ∴抛物线的解析式为y=-x2+x+=-(x-1)2+2, ∴顶点D的坐标为(1,2); ‹#› 1 2 (2)①设点M的坐标为(m,-m2+m+), ∵ME∥y轴,DE∥x轴, ∴E(m,2), ∴ME=2-(-m2+m+)=m2-m+=(m-1)2, DE2=(m-1)2, ∴==; 答案: ‹#› 1 2 ②如图,作MP∥y轴,AQ∥y轴,分别交直线BC于点P和点Q, 则MP∥AQ,∴=, 根据同高不同底,得=,∴=. 把x=0代入y=-x2+x+得:y=,∴C(0,), 设直线BC的解析式为y=kx+,将点B的坐标代入得:3k+=0, 解得:k=-, ∴直线BC的解析式为y=-x+. ‹#› 1 2 把x=-1代入y=-x+得:y=2, ∴Q(-1,2),∴AQ=2, 设M(m,-m2+m+),则P(m,-m+), ∴MP=-m2+m+-(-m+)=+m, ∴==-m2+m=-(m2-3m) =-+,∵-<0,0<m<3, ∴当m=时,有最大值,最大值为. ‹#› 1 2 (3)作点D关于x轴的对称点D'(1,-2),连接D'H,过点C作CC'∥x轴,且CC'=GH=,连接C'H,C'D',如图: 根据作图可知:D'H=DH, ∵CC'∥GH,CC'=GH, ∴四边形CC'HG为平行四边形, ∴C'H=CG, ∴CG+HD=C'H+D'H, ∵两点之间线段最短, ∴当C',H,D'在同一直线上时,C'H+D'H最小,即CG+HD最小,   ‹#› 1 2 ∵GH=为定值, ∴当CG+HD最小时,CG+GH+HD最小, ∵C'(,),D'(1,-2), ∴C'D'==, ∴CG+GH+HD的最小值为+. 答案:+ ‹#› 1 2 本课结束 $第2节　反比例函数的综合应用 (时间:40分钟　分值:50分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)(2025·南京二模)验光师检测发现近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米)成 反比例关系,y关于x的函数图象如图所示.经过一段时间的矫正治疗后,小雪的镜 片焦距由0.25米调整到0.5米,则近视眼镜的度数减少了( ) A.150 B.200 C.250 D.300 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.(3分)“无糖饮料”通常使用糖醇和低聚糖等不升高血糖浓度的甜味剂作为糖的替代品, 但并非真正意义的无糖.现有甲、乙、丙、丁四种无糖饮料,它们的含糖浓度y(含糖浓 度=×100%)与饮料质量x(g)之间的关系,可近似地用如图的反比例函数图 象表示,其中甲、乙饮料y与x的关系满足y=(x>0),丙、丁饮料y与x的关系满足 y=(x>0).根据图象,下列结论正确的是( ) A.甲饮料含甜味剂质量比乙饮料的多 B.丙饮料含甜味剂质量比丁饮料的多 C.甲、乙饮料含甜味剂质量相同但比丙、丁的多 D.丙、丁饮料含甜味剂质量相同但比甲、乙的多 D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3.(3分)(2025·陕西中考)如图,过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交 于A(m,n),B(m-6,n-6)两点,则k的值为_______.  　9　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.(3分)已知反比例函数y=(k>1且k≠2)的图象与一次函数y=-7x+b的图象共 有两个交点,且两交点横坐标的乘积x1·x2>0,请写出一个满足条件的k值_______ __________.   (答案 不唯一)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5.(10分)世界的面食之根就在山西.山西面食是中华民族饮食文化中的重要组成部分.如图,厨师将一定质量的面团做成拉面时,面条的总长度y(m)是面条横截面面积S(mm2)的反比例函数,其图象经过A(2,64),B(m,100)两点. (1)求y与S之间的函数解析式; (2)求m的值,并解释它的实际意义. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】(1)设y与S之间的函数解析式为:y=(S>0),将(2,64)代入可得k=128, ∴y与S之间的函数解析式为y=(S>0); (2)将(m,100)代入y=可得m=1.28, 实际意义:当面条的横截面积为1.28 mm2时,面条长度为100 m. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6.(10分)(2025·兰州中考)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-x+b与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点A(m,3),与x轴相交于点B(8,0),与y轴相交于点C. (1)求一次函数y=-x+b与反比例函数y=的解析式; (2)点P为y轴负半轴上一点,连接AP.若△ACP的面积为6,求点P的坐标. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】(1)∵点B(8,0)在一次函数y=-x+b的图象上, ∴0=-×8+b,解得b=4, ∴一次函数解析式为y=-x+4. ∵点A(m,3)在一次函数y=-x+4的图象上, ∴3=-m+4,解得m=2,∴点A(2,3). ∵点A(2,3)在反比例函数y=的图象上, ∴k=2×3=6,∴反比例函数解析式为y=. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2)∵y=-x+4, ∴当x=0时,y=4, ∴C(0,4), 由题意得S△ACP=PC·=PC×2=6, 解得PC=6, ∵点P为y轴负半轴上一点, ∴4-6=-2, ∴点P的坐标为(0,-2). ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【B层 提能力】 7.(3分)某综合实践活动小组设计了简易电子体重秤:制作一个装有踏板(踏板质 量忽略不计)的可变电阻R1(Ω)(如图1),当人站上踏板时,通过电压表显示的读数 U0换算为人的质量m(kg),已知U0随着R1的变化而变化(如图2),R1与踏板上人的质 量m的关系见图3.则下列说法不正确的是( ) A.在一定范围内,U0越大,R1越小 B.当U0=3V时,R1的阻值为50Ω C.当踏板上人的质量为90 kg时,U0=2V D.若电压表量程为0-6V(0≤U0≤6)为保护电压表, 该电子体重秤可称的最大质量是115 kg C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 8.(3分)(2025·宜宾中考)如图,O是坐标原点,反比例函数y=-(x>0)与直线y=-2x交 于点A,点B在y=-(x>0)的图象上,直线AB与y轴交于点C,连接OB,若AB=3AC,则 OB的长为( ) 　　　　　　　　　　　　 　　　 A. B. C. D. D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【C层 培素养】 9.(12分)(2025·贵州中考)小星在阅读《天工开物》时,看到一种名为桔槔(gāo)的古代汲水工具(如图①),有一横杆固定于桔槔上O点,并可绕O点转动.在横杆A处连接一竹竿,在横杆B处固定300N的物体,且OB=1m.若图中人物竖直向下施加的拉力为F,当改变点A与点O的距离l时,横杆始终处于水平状态,小星发现F与l有一定的关系,记录了拉力的大小F与l的变化,如表: 点A与点O的 距离l/m 1 1.5 2 2.5 3 拉力的 大小F/N 300 200 150 120 a ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1)表格中a的值是________;  (2)小星通过分析表格数据发现,用函数可以刻画F与l之间的关系.在如图②所示的平面直角坐标系中,描出表中对应的点,并画出这个函数的图象; (3)根据以上数据和图象判断,当OA的长增大时,拉力F是增大还是减小?请说明理由. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 【解析】(1)根据表格中的数据发现: 1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=300, 因此点A与点O的距离l与拉力F的乘积不变, ∴a==100; 答案:100 (2)F与l之间的函数图象,如图所示: (3)由函数图象可知:F是l的反比例函数,且该函数图象在第一象限内,根据反比例函数的性质可知,F随l的增大而减小,所以当OA的长增大时,拉力F减小. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 本课结束 $第2节　一次函数的实际应用 (时间:40分钟　分值:60分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)(2025·苏州中考)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化,科学家测得一定温度下声音传播的速度v(m/s)与温度t(℃)部分对应数值如表: 温度t(℃) -10 0 10 30 声音传播 的速度v(m/s) 324 330 336 348 研究发现v,t满足公式v=at+b(a,b为常数,且a≠0),当温度t为15℃时,声音传播的 速度v为( ) A.333 m/s B.339 m/s C.341 m/s D.342 m/s B ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 2.(3分)(2025·内蒙古中考)在闭合电路中,通过定值电阻的电流I(单位:A)是它两端 的电压U(单位:V)的正比例函数,其图象如图所示,当该电阻两端的电压为15 V时, 通过它的电流为( ) A.12 A　　　B.8 A　　　C.6 A　　　D.4 A A ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 3.(12分)如图是1个碗和4个整齐叠放成一摞的碗的示意图,碗的规格都是相同的.小亮尝试结合学习函数的经验,探究整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度y(单位:cm)随着碗的数量x(单位:个)的变化规律.下表是小亮经过测量得到的y与x之间的对应数据: x/个 1 2 3 4 y/cm 6 8.4 10.8 13.2 (1)依据小亮测量的数据,写出y与x之间的函数解析式,并说明理由; (2)若整齐叠放成一摞的这种规格的碗的总高度不超过28.8 cm,求此时碗的数量最多为多少个? ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 【解析】(1)由题中表格可知,每增加一个碗,高度增加2.4 cm. ∴y=6+2.4(x-1)=2.4x+3.6, 检验:当x=1时,y=6, 当x=2时,y=8.4, 当x=3时,y=10.8; ∴y与x之间的函数解析式为y=2.4x+3.6; (2)设碗的数量有x个,则:2.4x+3.6≤28.8,解得:x≤10.5, ∴x的最大整数解为10, 答:碗的数量最多为10个. ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 4.(14分)“雨过园亭绿暗时,樱桃红颗压枝低”.2024年青岛樱桃节期间,张大爷购进了一批质量相等的大、小两种樱桃,已知每千克小樱桃的进价比每千克大樱桃少8元.受污损的进货清单如表所示: 品名 大樱桃 小樱桃 进价/(元/千克)     总价/元 1 134 630 (1)请你帮张大爷求出每千克大樱桃和小樱桃的进价各是多少元. (2)若张大爷决定再次购进同种大樱桃和小樱桃共60千克,再次购进的费用不超过1 000元,若每种樱桃的进价保持不变,大樱桃的销售单价为30元,小樱桃的销售单价为18元,张大爷应如何进货,才能使第二批大樱桃和小樱桃售完后获得最大利润? ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 (3)利润关系仍然满足(2)中的利润关系,张大爷推出福利活动,决定拿出销售利润的25%另购大、小樱桃赠送游客免费品尝,第二批购进大樱桃至少多少千克,能使剩余利润不少于450元? ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 【解析】(1)设每千克小樱桃的进价为x元,根据题意得:=,解得x=10. 经检验,x=10是原方程的解,且符合实际意义,x+8=10+8=18. 答:每千克大樱桃的进价为18元,每千克小樱桃的进价为10元. (2)设张大爷再购进a千克大樱桃,根据题意得:18a+10(60-a)≤1 000, 解得a≤50. 每千克大樱桃的利润为30-18=12(元),每千克小樱桃的利润为18-10=8(元). 设总利润为w元,根据题意得: w=12a+8(60-a),整理得w=4a+480. ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 由条件可知w随a的增大而增大, ∴当a=50时,w有最大值,此时60-a=10. 答:再购进50千克大樱桃、10千克小樱桃,才能获得最大利润. (3)根据题意得(1-25%)(4a+480)≥450, 解得a≥30. 答:第二批购进大樱桃至少30千克,能使剩余利润不少于450元. ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 【B层 提能力】 5.(14分)(2025·长春中考)随着我国人工智能科技的快速发展,智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作,它们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作,甲机器人工作一段时间后停工保养.保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(分钟)之间的函数关系如图所示. ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 (1)甲机器人停工保养的时间为　　　分钟,m=________;  (2)求AB所在直线对应的函数解析式; (3)若该快递公司当天分拣快递的总数量为5 450件,则乙机器人工作时间为 　　　分钟.  ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 【解析】(1)由图象可得:甲机器人停工保养的时间为60-40=20(分钟); ∵2 200÷40=55, ∴m=2 700+(80-60)×55=3 800(件); 答案:20　3 800 (2)设AB所在直线对应的函数解析式为y=kx+b,代入A(40,2 200),B(60,2 700), 得, 解得, ∴AB所在直线对应的函数解析式为y=25x+1 200; ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 (3)设乙机器人工作时间为n分钟, 由题意得:5 450=2 700+55×(n-60), 解得n=110. 答案:110 ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 【C层 培素养】 6.(14分)(2025·厦门二模)【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源,不需要燃烧汽油,这样就减少了二氧化碳等气体的排放,从而达到保护环境的目的. 【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满,以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程,某综合实践小组设计两组实验. 实验Ⅰ:探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量y(%)与时间t(分钟)的关系,数据记录如表1: 电池充电状态 时间t(分钟) 0 10 30 60 增加的电量y(%) 0 10 30 60 ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 实验Ⅱ:探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量e(%)与已行驶里程s(千米)的关系,数据记录如表2: 汽车行驶过程 已行驶里程s(千米) 0 160 200 280 显示剩余电量e(%) 100 60 50 30 【建立模型】 (1)观察表1、表2发现都是一次函数模型,请结合表1、表2的数据,直接写出函数关系式(不写自变量的取值范围). y关于t的函数表达式为_______,e关于s的函数表达式为_______;  ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 【解决问题】 (2)某电动汽车在充满电量的状态下,从A地出发前往距出发点480千米的B地,在途中服务区进行一次充电后继续行驶,其已行驶里程数(s)和显示剩余电量(e)的函数关系如图所示: ①该车到达B地时,显示剩余电量e的值为________;该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为________.  ②该车中途充电用了多少分钟? ③当汽车显示剩余电量e的值为 60时,该车距出发点A地多少千米? ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 【解析】(1)根据题意,两个函数均为一次函数,设y=a1t+b1,e=a2s+b2, 将(10,10),(30,30)代入y=a1t+b1得,解得, ∴y关于t的函数表达式为y=t, 将(160,60),(200,50)代入e=a2s+b2得,解得, ∴e关于s的函数表达式为e=-s+100. 答案:y=t　e=-s+100 ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 (2)①由题图知,该车到达B地时,显示剩余电量e的值为10; 将s=240代入e=-s+100中,得e=40,该车进入服务区充电前显示剩余电量e的值为40. 答案:10　40 ②离开服务区走完剩余路程240千米时,需要耗电量60%, 又知该车到达B地时,显示剩余电量为10%, ∴增加的电量为60%+10%-40%=30%,即y=30. ∴t=30,即该车中途充电用了30分钟. ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 ③当汽车到达服务区前,汽车显示剩余电量e的值为60时,由题中表格数据得此时该车距出发点A地160千米; 当汽车离开服务区后,汽车显示剩余电量e的值为60时,离开服务区时的剩余电量为40%+30%=70%,汽车显示剩余电量e的值为60时,耗电量为10%, 又∵每千米耗电量为=, ∴耗电量10%行驶的路程为10÷=40(千米), 故此时该车距出发点A地240+40=280(千米). 综上,当汽车显示剩余电量e的值为60时,该车距出发点A地160千米或280千米.   ‹#› 1 2 3 4 5 6 26 本课结束 $第十讲　一次函数 第1节　一次函数的图象与性质 (时间:40分钟　分值:70分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)(2025·新疆中考)在平面直角坐标系中,一次函数y=x+1的图象是( ) D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 2.(3分)(2025·长春中考)已知点A(-3,y1),B(3,y2)在同一正比例函数y=kx(k<0)的 图象上,则下列结论正确的是 ( ) A.y1=-y2 B.y1=y2 C.y2>0 D.y1<0 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 3.(3分)直线y=2x+1如图所示,过点P(2,1)作与它平行的直线y=kx+b,则k,b的值 是 ( ) A.k=2,b=3 B.k=2,b=-3 C.k=2,b=-1 D.k=-2,b=-3 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 4.(3分)如图,一次函数y=2x-3的图象与x轴相交于点A,则点A关于y轴的对称点 是 ( ) A. (-,0)　B.(,0)　C.(0,3)　D.(0,-3) A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 5.(3分)如图,在同一平面直角坐标系中,一次函数y=k1x+b1与y=k2x+b2的图象分 别为直线l1和直线l2,下列结论正确的是 ( ) A.k1·k2<0 B.k1+k2<0 C.b1-b2<0 D.b1·b2<0 D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.(3分)(2025·天津中考)将直线y=3x-1向上平移m个单位长度,若平移后的直线经 过第三、第二、第一象限,则m的值可以是______________________________(写 出一个即可).  　2(答案不唯一,满足m>1即可)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.(3分)(2025·长沙二模)如图是一次函数y=mx+n的图象,则关于x的方程mx+n= 0的解是_________.  　x=-1　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 8.(3分)(2025·天津模拟)已知一次函数y=kx+b经过(-1,2),且与y轴交点的纵坐标 为4,则它的解析式为____________.  9.(3分)如图,在同一平面直角坐标系中,直线y=x+与直线y=kx+b相交于点 A(m,),则关于x的方程组的解为___________.  　y=2x+4　  　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.(12分)如图,已知点A(1,3),B(4,6)为平面直角坐标系xOy内两点,点P为x轴上一点,连接PA,PB. (1)求直线AB的函数解析式; (2)当△PAB的周长最小时,求点P的坐标; (3)点C(3,a),D(3,a+1)为坐标内两点,在(2)的条件下,若线段CD始终在△PAB内部(含边界),求a的取值范围. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【解析】(1)设直线AB的函数解析式为y=kx+b(k≠0),由条件可得: ,解得, ∴直线AB的函数解析式为y=x+2; (2)当△PAB的周长最小时,又AB为定值,∴PA+PB最小即可, 如图,作点A关于x轴的对称点A',则点A'的坐标为(1,-3),此时PA+PB的最小值,即为A'B的长, 设直线A'B的函数解析式为y=mx+n(m≠0),由条件可得: ,解得, ∴直线A'B的函数解析式为y=3x-6,令y=3x-6=0,得x=2,∴P(2,0); ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (3)如图,点C在线段PB上方,点D在线段AB下方(包含线段上), 结合图象可知,当x=3时, ∴, ∴a的取值范围是3≤a≤4. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【B层 提能力】 11.(3分)当2≤x≤5时,一次函数y=(m+1)x+m2+1有最大值6,则实数m的值为( ) A.-3或0 B.0或1 C.-5或-3 D.-5或1 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.(3分)如图,在平面直角坐标系中,AB⊥y轴,垂足为点B,将△ABO绕点A逆时针旋 转到△AB1O1的位置,使点B的对应点B1落在直线y=-x上,再将△AB1O1绕点B1逆时 针旋转到△A1B1O2的位置,使点O1的对应点O2也落在直线y=-x上,如此下去,…,若 点B的坐标为(0,3),则点B37的坐标为( ) A.(180,135) B.(180,133) C.(-180,135) D.(-180,133) C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.(3分)如图,直线y=kx-2k+3(k为常数,k<0)与x,y轴分别交于点A,B,则+的 值是_______.  　1　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.(3分)在“探索一次函数y=kx+b的系数k,b与图象的关系”活动中,老师给出了直 角坐标系中的三个点:A(0,2),B(2,3),C(3,1).同学们画出了经过这三个点中每两个 点的一次函数的图象,并得到对应的函数解析式y1=k1x+b1,y2=k2x+b2,y3=k3x+b3. 分别计算k1+b1,k2+b2,k3+b3的值,其中最大的值等于_______.  　5　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 15.(3分)如图,四边形AOBC四个顶点的坐标分别是A(-1,3),O(0,0),B(3,-1),C(5,4),在 该平面内找一点P,使它到四个顶点的距离之和PA+PO+PB+PC最小,则P点坐标 为________.   (,)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16.(3分)直线l:y=x-1与x轴交于点A,将直线l1绕点A逆时针旋转15°,得到直线l2, 则直线l2对应的函数解析式是______________.  　y=x-　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【C层 培素养】 17.(13分)如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3,6),与x轴交于点A,与y轴交于点B.线段CD平行于x轴,交直线y=x于点D,连接OC,AD. (1)填空:k=　　　,点A的坐标是(　 　,　 　).  (2)求证:四边形OADC是平行四边形. (3)动点P从点O出发,沿对角线OD以每秒1个单位长度的速度向点D运动,直到点D为止;动点Q同时从点D出发,沿对角线DO以每秒1个单位长度的速度向点O运动,直到点O为止.设两个点的运动时间均为t秒. ①当t=1时,△CPQ的面积是________.  ②当点P,Q运动至四边形CPAQ为矩形时,请直接写出此时t的值. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【解析】(1)∵直线y=kx+15(k≠0)经过点C(3,6), ∴3k+15=6,解得k=-3,即直线的解析式为y=-3x+15. 当y=0时,x=5,∴A(5,0). 答案:-3　5　0 (2)∵线段CD平行于x轴, ∴D点的纵坐标与C点一样. 又∵D点在直线y=x上,∴当y=6时,x=8, 即D(8,6),∴CD=8-3=5.∵OA=5,∴OA=CD.又∵OA∥CD, ∴四边形OADC是平行四边形. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 (3)①作CH⊥OD于H,∵H点在直线y=x上, ∴设H点的坐标为(m,m).∴CH2=(m-3)2+(m-6)2, DH2=(m-8)2+(m-6)2.由勾股定理,得CH2+DH2=CD2, 即(m-3)2+(m-6)2+(m-8)2+(m-6)2=52.整理得m=或8(舍去),∴CH=3. ∵OD==10,∴当t=1时,PQ=OD-t-t=10-1-1=8. ∴S△CPQ=PQ·CH=×8×3=12. 答案:12 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 ②∵OD=10, ∴当0≤t≤5时,PQ=10-2t; 当5≤t≤10时,PQ=2t-10. 当点P,Q运动至四边形CPAQ为矩形时,PQ=AC, ∵AC==2, ∴当0≤t≤5时,10-2t=2,解得t=5-; 当5≤t≤10时,2t-10=2, 解得t=5+. 综上,当点P,Q运动至四边形CPAQ为矩形时t的值为5-或5+.   ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 本课结束 $第十二讲　二次函数 第1节　二次函数的图象与性质 (时间:40分钟　分值:60分) 1 【A层 过基础】 1.(3分)(2025·南阳二模)若二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则直 线y=abx+c不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 2.(3分)若二次函数y=(m+1)x2-mx+m2-2m-3的图象经过原点,则m的值必为 ( ) A.-1或3　　B.-1　　C.3　　D.-3或1 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 3.(3分)(2025·福建中考)已知点A(-2,y1),B(1,y2)在抛物线y=3x2+bx+1上,若3<b< 4,则下列判断正确的是 ( ) A.1<y1<y2 B.y1<1<y2 C.1<y2<y1 D.y2<1<y1 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 4.(3分)一次函数y=x-2n+4,二次函数y=x2+(n-1)x-3,反比例函数y=在同一直 角坐标系中图象如图所示,则n的取值范围是( ) A.n>-1　 B.n>2 C.-1<n<1　 D.1<n<2 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 5.(3分)(2025·杭州模拟)已知抛物线y=ax2+bx+c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表: x … -4 -3 -2 -1 0 … y … 3 m -1 0 3 … 以下结论:①该抛物线的开口向上;②对称轴为直线x=-2;③关于x的方程ax2+bx+ c=0的根为-1和-3;④当y>0时,x的取值范围是x<-3或x>-1.其中正确的有 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 D ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 6.(3分)如图,正方形ABCD的顶点A,C在抛物线y=-x2+4上,点D在y轴上.若A,C两 点的横坐标分别为m,n(m>n>0),下列结论正确的是 ( ) A.m+n=1　 B.m-n=1 C.m=1　 D.=1 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 7.(3分)已知二次函数y=x2-2x+1的图象向左平移两个单位得到抛物线C, 点P(2,y1),Q(3,y2)在抛物线C上,则y1_______y2(填“>”或“<”).  　<　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 【B层 提能力】 8.(3分)已知二次函数y=x2-2ax+a(a≠0)的图象经过A(,y1),B(3a,y2)两点,则下列 判断正确的是( ) A.可以找到一个实数a,使得y1>a B.无论实数a取什么值,都有y1>a C.可以找到一个实数a,使得y2<0 D.无论实数a取什么值,都有y2<0 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 9.(3分)已知二次函数y=-x2+m2x和y=x2-m2(m是常数)的图象与x轴都有两个交 点,且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等,则这两个函数图象对称轴之 间的距离为 ( ) A.2 B.m2 C.4 D.2m2 A ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 10.(3分)已知二次函数y=2x2-8x+6的图象交x轴于A,B两点.若其图象上有且只 有P1,P2,P3三点满足===m,则m的值是( ) A.1 B. C.2 D.4 C ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 11.(3分)(2025·齐齐哈尔中考)如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于 两点(-1,0),(x1,0),且2<x1<3.下列结论:①abc>0;②2a+c<0;③4a-b+2c<0;④若m和n 是关于x的一元二次方程a(x+1)(x-x1)+c=0(a≠0)的两根,且m<n,则m<-1,n>2;⑤关 于x的不等式ax2+bx+c>-x+c(a≠0)的解集为0<x<x1.其中正确结论的个数是( ) A.2 B.3 C.4 D.5 B ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 12.(3分)如图,抛物线y=x2-4x+6与y轴交于点A,与x轴交于点B,线段CD在抛物线 的对称轴上移动(点C在点D下方),且CD=3.当AD+BC的值最小时,点C的坐标为 _________.  　(4,1)　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 13.(12分)(2025·黑龙江三模)如图,在平面直角坐标系中,过点A(0,3)作直线AB∥x轴,交抛物线y=x2+bx+c于A,B两点,且抛物线的对称轴是直线x=2. (1)求抛物线的解析式; (2)在直线AB上方的抛物线上是否存在点P,使得S△ABP=4?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 【解析】(1)由条件可知c=3, ∵抛物线的对称轴是直线x=2, ∴-=2,即-=2,解得:b=-4, ∴抛物线的解析式为y=x2-4x+3. (2)如图, 由条件可知A,B两点关于x=2对称, 又∵点A的坐标为(0,3), ∴点B的坐标为(4,3), ∴AB=4, ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 ∵S△ABP=4, ∴点P到AB的距离为=2, ∴点P的纵坐标为3+2=5, 把点P的纵坐标代入抛物线y=x2-4x+3可得:5=x2-4x+3,即x2-4x-2=0, 解得:x=2±, ∴直线AB上方的抛物线上存在点P,使得S△ABP=4,P的坐标为(2+,5)或(2-,5). ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 【C层 培素养】 14.(12分)小爱同学学习二次函数后,对函数y=-(|x|-1)2进行了探究.在经历列表、描点、连线步骤后,得到如图的函数图象.请根据函数图象,回答下列问题: (1)观察探究: ①写出该函数的一条性质:________;  ②方程-(|x|-1)2=-1的解为:________;  ③若方程-(|x|-1)2=a有四个实数根,则a的取值范围是________.  (2)延伸思考: 将函数y=-(|x|-1)2的图象经过怎样的平移可得到函数y1=-(|x-2|-1)2+3的图象?写出平移过程,并直接写出当2<y1≤3时,自变量x的取值范围. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 【解析】(1)观察探究: ①该函数的一条性质为:函数图象关于y轴对称(不唯一); ②方程-(|x|-1)2=-1的解为:x=-2或x=0或x=2; ③若方程-(|x|-1)2=a有四个实数根,则a的取值范围是-1<a<0. 答案:①函数图象关于y轴对称(不唯一) ②x=-2或x=0或x=2　③-1<a<0 ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 (2)将函数y=-(|x|-1)2的图象向右平移2个单位,向上平移3个单位可得到函数y1= -(|x-2|-1)2+3的图象,当2<y1≤3时,自变量x的取值范围是0<x<4且x≠2. ‹#› 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 26 本课结束 $第2节　二次函数的实际应用 (时间:40分钟　分值:60分) 1 1.(3分)(2025·甘肃中考)如图,一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装 置OM,喷头M向外喷水,水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下,按如图 所示的直角坐标系,水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y= -x2+2x+(x>0),则水流喷出的最大高度是( ) A.3 m　　B.2.75 m　　C.2 m　　D.1.75 m B ‹#› 1 2 3 4 5 6 2.(3分)九(1)班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地,地上两段围 墙AB⊥CD于点O(如图),其中AB上的EO段围墙空缺.同学们测得AE=6.6 m,OE= 1.4 m,OB=6 m,OC=5 m,OD=3 m,班长买来可切断的围栏16 m,准备利用已有 围墙,围出一块封闭的矩形菜地,则该菜地最大面积是_________m2.  　46.4　 ‹#› 1 2 3 4 5 6 3.(12分)(2025·广东中考)如图,某跨海钢箱梁悬索桥的主跨长1.7 km,主塔高 0.27 km,主缆可视为抛物线,主缆垂度0.178 5 km,主缆最低处距离桥面0.001 5 km,桥面距离海平面约0.09 km.请在示意图中建立合适的平面直角坐标系,并求该抛物线的表达式. ‹#› 1 2 3 4 5 6 【解析】建立平面直角坐标系,如图所示: 则抛物线顶点坐标为(0,0.001 5),A(,0.27-0.09),即A(0.85,0.18), 设该抛物线的表达式为y=ax2+0.001 5, 将A(0.85,0.18)代入y=ax2+0.001 5得0.18=0.852a+0.001 5, 解得a=, ∴该抛物线的表达式为y=x2+0.001 5(答案不唯一). ‹#› 1 2 3 4 5 6 4.(14分)(2025·重庆模拟)某商店销售一种进价为4元/件的新产品,经调查发现:销售单价定为5元时,每天可销售150件;若销售单价每涨价1元,则每天销售量减少10件.设销售单价为x元(x≥5),销售量为y件. (1)求y与x的函数关系式. (2)若销售该新产品每天的总利润为w(元),求销售单价为多少元时每天的总利润最大,最大利润是多少元? (3)由于该产品市场需求量较大,厂家将进价提高了m元,当销售单价不超过13元时,利润w随着x的增大而增大,求m的最小值. ‹#› 1 2 3 4 5 6 【解析】(1)由题意可得:y=150-10(x-5)=-10x+200; (2)w=(x-4)(-10x+200) =-10x2+240x-800 =-10(x-12)2+640, ∵-10<0, ∴当x=12时,w最大=640元, 故销售单价为12元时,总利润w最大,最大利润是640元; ‹#› 1 2 3 4 5 6 (3)w=(x-4-m)(-10x+200)=-10x2+(240+10m)x-800-200m, 对称轴为x=12+, ∵-10<0,当销售单价不超过13元时,利润w随着x的增大而增大, ∴12+≥13, ∴m≥2, ∴m的最小值为2. ‹#› 1 2 3 4 5 6 5.(14分)如图,一小球从斜坡O点以一定的方向弹出,球的飞行路线可以用二次函数y=ax2+bx(a<0)刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画,小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律如表: (1)①m=________,n=________;  ②小球的落点是A,求点A的坐标. (2)小球飞行高度y(米)与飞行时间t(秒)满足关系:y=-5t2+vt. ①小球飞行的最大高度为________米;  ②求v的值. x 0 1 2 m 4 5 6 7 … y 0 6 8 n … ‹#› 1 2 3 4 5 6 【解析】(1)①根据小球飞行的水平距离x(米)与小球飞行的高度y(米)的变化规律表可知,抛物线顶点坐标为(4,8), ,解得, ∴二次函数解析式为y=-x2+4x, 当y=时,-x2+4x=,解得x=3或x=5(舍去), ∴m=3,当x=6时,n=y=-×62+4×6=6. 答案:3　6 ‹#› 1 2 3 4 5 6 ②联立得,解得或, ∴点A的坐标是(,). (2)①由题干可知小球飞行最大高度为8米. 答案:8 ②y=-5t2+vt=-5(t-)2+, 则=8,解得v=4(负值已舍去). ‹#› 1 2 3 4 5 6 6.(14分)(2025·深圳中考)综合与实践 【问题背景】排队是生活中常见的场景,如图,某数学小组针对某次演出,研究了排队人数与安检时间、安排通道数之间的关系. 【研究条件】 条件1:观众进场立即排队安检,在任意时刻都满足:排队人数=现场总人数-已入场人数; 条件2:若该演出场地最多可开放9条安检通道,平均每条通道每分钟可安检6人. ‹#› 1 2 3 4 5 6 【模型构建】若该演出前30分钟开始进行安检,经研究发现,现场总人数y与安检时间x之间满足关系式:y=-x2+60x+100(0≤x≤30). 结合上述信息,请完成下述问题: (1)当开通3条安检通道时,安检时间x分钟时,已入场人数为________,排队人数w与安检时间x的函数关系式为________.  ‹#› 1 2 3 4 5 6 【模型应用】 (2)在(1)的条件下,排队人数在第几分钟达到最大值,最大人数为多少? (3)已知该演出主办方要求: ①排队人数在安检开始10分钟内(包含10分钟)减少; ②尽量少安排安检通道,以节省开支. 若同时满足以上两个要求,可开通几条安检通道?请说明理由. ‹#› 1 2 3 4 5 6 【总结反思】 函数可刻画生活实际场景,但要注意验证模型的正确性,未来可结合更多变量(如突发情况、安检流程优化等)进行更深入的分析,以提高模型的准确性和实用性. ‹#› 1 2 3 4 5 6 【解析】(1)若开通3条安检通道,安检时间为x分钟,则已入场人数为18x,若排队人数为w,则w与x的函数表达式为w=y-18x=-x2+42x+100. 答案:18x　w=-x2+42x+100 (2)w=-x2+42x+100=-(x-21)2+541, ∴当x=21时,达到最大值,wmax=541. ‹#› 1 2 3 4 5 6 (3)设开通m条通道,则w=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+100, ∴对称轴为x=3(10-m). ∵排队人数在安检开始10分钟内(包括10分钟)减少, ∴0≤3(10-m)≤10,即≤m≤10, 又∵最多开通9条, ∴≤m≤9, ∵m为正整数, ∴m最小值为7, ∴最少开通7条通道.   ‹#› 1 2 3 4 5 6 本课结束 $