精品解析：山东菏泽市牡丹区2025-2026学年八年级数学下册试题

八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷规定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形的定义，进行判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 3. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 同角的补角相等 B. 关于某条直线对称的两个图形是全等形 C. 等角的余角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 【答案】D 【解析】 【分析】先将原命题改写成“如果…那么…”的形式，互换题设和结论得到逆命题，再根据相关几何概念和定理逐一判断逆命题的真假即可． 【详解】A项：原命题为“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”，逆命题为“如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角”，也可能是等角的补角，故逆命题错误； B项：原命题为“如果两个图形关于某条直线对称，那么这两个图形是全等形”，逆命题为“如果两个图形是全等形，那么这两个图形关于某条直线对称”，全等图形位置任意，不一定关于某条直线对称，逆命题错误； C项：原命题为“如果有两个角是相等的角的余角，那么它们相等”，逆命题为“如果有两个角相等，那么这两个角是相等的角的余角”，也可能是同角的余角，故逆命题错误； D项：原命题为“如果两条直线平行，那么同旁内角互补”，逆命题为“如果同旁内角互补，那么两条直线平行”，这是平行线的判定定理，逆命题正确． 4. 小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的作法及其性质，熟练掌握线段垂直平分线的作法及其性质是解题的关键．根据题意可知，到三角形三个顶点距离相等的点为三条边的垂直平分线的交点，再根据线段垂直平分线的作法，逐项分析即可解答． 【详解】解：∵小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点， ∴该点为三角形三边的垂直平分线的交点， 选项中只有选项B中的作图痕迹为其中两条边的线段垂直平分线，故可用直尺找到此点， 故选：B． 5. 如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，含30度的直角三角形，掌握相关知识点是解题关键．由等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，进而得到，从而推出，，即可求出的长． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：D． 7. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. (－1)cm D. (2－1)cm 【答案】D 【解析】 【分析】先求出BD，再根据平移性质求得=1cm，然后由求解即可． 【详解】解：由题意，BD=cm， 由平移性质得=1cm， ∴点D，之间的距离为==（）cm， 故选：D． 【点睛】本题考查平移性质、正方形的性质，熟练掌握平移性质是解答的关键． 8. 若的三边长分别是，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理逆定理的运用，三角形内角和定理；判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可，注意数据的计算．根据直角三角形的定义，勾股定理的逆定理一一判断即可． 【详解】解：①，可得：，是直角三角形； ②由，可得：，是直角三角形； ③由，可得：，不是直角三角形； ④由，可得：，是直角三角形； 所以不能判定是直角三角形的个数有个， 故选：． 9. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先将已知点的坐标代入直线求得的值，直线与x轴交于，根据图象即可求解． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 当时，，解得，即直线与x轴交于， 观察图象可知：关于的不等式的解集为． 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在延长线上，已知，，，则的长为（ ）． A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在上截取，过点A作，根据，求出，由旋转的性质得到，易得，证明，推出，进而推出，结合，得到，利用勾股定理求出，推出是等腰直角三角形，求出，再利用三角形外角的性质求出，利用直角三角形的性质求出，再利用勾股定理求出，即可求出，即可得出结果． 【详解】解：如图，在上截取，过点A作， ∵， ∴， 由旋转的性质得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形全等的判定与性质，勾股定理及直角三角形的性质，正确作出辅助构造三角形全等是解题的关键． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. “的倍与的差不小于”列出的不等式是_____ 【答案】 【解析】 【点睛】本题考查了列不等式，不小于就是大于等于，根据的倍与的差不小于可列出不等式． 【详解】解：的倍与的差不小于，列出的不等式是 故答案为：． 12. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ， ； 故答案为：． 13. 如图，点在同侧，，则_________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定以及勾股定理，过点作垂线交于点，先证明，得到，证明在同一线上，根据勾股定理得到，最后通过线段和和差即可求． 【详解】解：过点作垂线交于点，即 ，即是的垂直平分线， ∵， 在同一线上， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形中线的性质，过D作于H，根据角平分线的性质求出，然后计算的面积，最后根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：过D作于H， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， 故答案为：1． 15. 如图1，中，，是边上的动点．设、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据函数图象求出，，当时，，再利用等腰三角形三线合一，求得，然后利用线段的和求得，再利用勾股定理求得，最后利用勾股定理求得． 【详解】解：∵当时，， ∴，， ∵当时，， ∴当时，， 如图，当时，， 过点作于点， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查了从函数图象中获取信息、等腰三角形三线合一、勾股定理、二次根式的应用，从函数图象中正确获取信息是解题的关键． 16. 如图，中，，，，，点P为边上一动点（不与端点重合），点P关于直线的对称点分别为、，连接．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）__________． ①； ②； ③一定是直角三角形； ④长度的最小值是． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定，连接，由轴对称的性质可得，，则可判断②；可证明，得到三点共线，则可证明，可判断③；根据，且垂线段最短，得到当时，有最小值，即此时有最小值，由等面积法可得，据此可判断④；当时，，据此可判断①． 【详解】解：如图所示，连接， 由轴对称的性质可得，，则，故②正确； ∴，； ∵， ∴， ∴，即， ∴三点共线， ∴，， ∴， ∴， ∴一定是直角三角形，故③正确； ∵，且垂线段最短， ∴当时，有最小值，即此时有最小值， 此时有， ∴， ∴， ∴的最小值为，故④正确； ∵当时，， ∴此时与不全等，故①错误； 故答案为：②③④． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 解不等式：，并在数轴上表示解集． 【答案】 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项，系数化为，解出解集，再在数轴上表示即可． 【详解】解：， ， ， ， . 在数轴上表示解集如下图所示： 18. 求不等式组：的所有整数解． 【答案】，0，1 【解析】 【分析】先分别求出各个不等式的解集，它们的公共部分即为不等式组的解集，最后找出解集范围内的所有整数即可． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， 所有整数解为，0，1． 19. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． （1）请画出平移后的； （2）连接，，则这两条线段之间的关系是 ； （3）求的面积． 【答案】（1） 如图，为所求． （2）， （3）7 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据平移的性质即可得，； （3）利用补形法结合三角形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由平移的性质可得：，． 【小问3详解】 解：． 的面积为． 20. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； （2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】（1）② （2）种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元 （3）应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个 【解析】 【分析】（1）根据小明所列的一元一次方程，分析与的含义，结合选项判断被覆盖的条件． （2）设、两种品牌足球的单价分别为元、元，根据“品牌单价比品牌高元”和“购买个、个共花费元”列二元一次方程组，求解方程组得到单价． （3）设购买品牌足球个，则购买品牌足球个，根据“总费用不超过元”和“品牌数量不少于个”列一元一次不等式组，求解得到的取值范围，结合为正整数确定所有购买方案，再分别计算各方案费用，选出费用最低的方案． 【小问1详解】 解：设种品牌足球的单价为元， 方程中，表示种品牌足球的单价， 种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元， 故被覆盖的条件为②． 【小问2详解】 解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元； 【小问3详解】 解：设购买种品牌的足球个，则购买种品牌的足球个， 依题意，得， 解得， 又∵为正整数， ∴可以为，，， ∴共有种购买方案， 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； ∵， ∴为了节约资金，学校应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个． 21. 如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，勾股定理的应用． （1）先根据线段的垂直平分线的性质证明，再证明，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）设，则，在中，根据勾股定理得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：是的垂直平分线， ，， ． ，， ， 解得； 【小问2详解】 解：是的垂直平分线， ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得 ，即， 解得， ． 22. 如图，点，分别在射线，上，点在的内部，，，，垂足分别为，，． （1）求证：平分； （2）如果，，求的长． 【答案】（1） 证明：，， ，， 在和中， ， ， 点在的平分线上， 平分． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定等知识，证明是解题的关键． （1）证明出，得到，即可得到平分； （2）证明出，得到，然后利用线段的和差求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：在和中， ， ， ， ． 23. 如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求证：． 【答案】（1）是等边三角形．理由如下： 是等边三角形， ． ， ， 即． 根据旋转的性质可得， 是等边三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）利用旋转的性质和等边三角形的性质先判断出是等边三角形； （2）证明，得到，，得，求出，利用含30°的直角三角形的性质和勾股定理即可求出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：由（1）可知和都是等边三角形， ，，． 在和中， ， ，， ． 又， ， ． 在中，， ， ． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形的性质和判定，勾股定理，解本题的关键是判断出是等边三角形． 24. 大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离分别为、． （1）请你结合图形来证明：； （2）当点在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，求点的坐标． 【答案】（1） 证明：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由题意得，，， ∵， ， ， 又∵，， ∴， ∴． （2） 如图所示：． （3）或 【解析】 【分析】（1）根据即可求出答案； （2）根据猜测； （3）先根据一次函数的性质得到，，根据勾股定理可得，求得，根据等腰三角形的判定可得为等腰三角形，再根据（1）（2）的结果分类①当点M在边上时，②当点M在延长线上时，分别求得M的坐标．③当点M在的延长线上时，，不存在． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示：． 理由：连接，过点作于点，过点作于点，过点作于点，由题意得，，， ∵， ， ， 又∵，， ∴， ∴． 【小问3详解】 在中，令得；令得， 所以，同理求得． ∵，， ∴， 即为等腰三角形． 当点在边上时，由得：，， 把它代入中求得：， 所以此时． 当点在延长线上时，由得：，， 把它代入中求得：， 所以此时． 当点在的延长线上时，，不存在． 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，三角形的面积，等腰三角形的判定等，根据三角形的等面积性质进行求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 本试卷共6页．满分120分．考试时长120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷规定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，用0.5毫米黑色签字笔将答案写在答题卡上．答案写在本试卷上无效． 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 数学中有许多优美的曲线．下列四条曲线既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 3. 下列命题的逆命题正确的是（ ） A. 同角的补角相等 B. 关于某条直线对称的两个图形是全等形 C. 等角的余角相等 D. 两直线平行，同旁内角互补 4. 小华同学要找到三角形三个顶点距离相等的点，根据下列各图中圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到此点的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥．如图，将边长为2cm的正方形ABCD沿对角线BD方向平移1cm得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（ ） A. 1cm B. 2cm C. (－1)cm D. (2－1)cm 8. 若的三边长分别是，，，则下列条件中不能判定是直角三角形的个数有（ ） ①；②；③；④ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图，直线和直线交于点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点恰好落在延长线上，已知，，，则的长为（ ）． A. B. 1 C. D. 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11. “的倍与的差不小于”列出的不等式是_____ 12. 完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形是迄今为止人类发现的第种完美五边形，其中，则_________ ． 13. 如图，点在同侧，，则_________． 14. 如图，在中，，平分，E是的中点，若，，则________． 15. 如图1，中，，是边上的动点．设、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，表示与的函数关系的图象如图2所示，则线段的长为______． 16. 如图，中，，，，，点P为边上一动点（不与端点重合），点P关于直线的对称点分别为、，连接．在点P的运动过程中，下列结论正确的是（填序号）__________． ①； ②； ③一定是直角三角形； ④长度的最小值是． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17. 解不等式：，并在数轴上表示解集． 18. 求不等式组：的所有整数解． 19. 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三个顶点的位置如图所示．现将平移，使点A与点D重合．点E，F分别是点B，C的对应点． （1）请画出平移后的； （2）连接，，则这两条线段之间的关系是 ； （3）求的面积． 20. 下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程：”． （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； （2）小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 21. 如图，在中，，斜边的垂直平分线分别交，于D，E两点，连接． （1）若，求的度数； （2）若，，求的长． 22. 如图，点，分别在射线，上，点在的内部，，，，垂足分别为，，． （1）求证：平分； （2）如果，，求的长． 23. 如图，在等边中，为内一点，连接，，，将线段绕点顺时针旋转至线段的位置，连接，，已知． （1）判断的形状，并说明理由； （2）若，，求证：． 24. 大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形中，，其一腰上的高为，是底边上的任意一点，到腰、的距离分别为、． （1）请你结合图形来证明：； （2）当点在延长线上时，、、之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明； （3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线：，：，若上的一点到的距离是，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $