精品解析：山东省菏泽市牡丹区2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图，属于美工艺术字分类，由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故本选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不符合题意． 故选B． 2. 已知，下列不等式变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的性质：不等式左右两边都加上或减去同一个数或整式，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；不等式左右两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向改变，即可做出判断． 【详解】A. 由知，此选项变形正确； B. 由知，此选项变形正确； C. 由知，此选项变形正确； D. 由知−a<−b，则，此选项变形错误； 故选D. 【点睛】此题考查不等式的性质，解题关键在于掌握其性质定义. 3. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 4. 如图，、的坐标分别为、．若将线段平移至，、的坐标分别、，则的值为　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据点在平面直角坐标系中左右上下平移与坐标变化的关系解答，变为，说明线段右移一个单位，变为，说明线段上移一个单位，由此判断的值即可. 【详解】观察图形可知将线段向右平移一个单位，再向上平移一个单位得到线段， ，， ， 故选：． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的平移与坐标的变化之间的关系，结合图形，熟练掌握这种关系是解答关键. 5. 不等式2x≥8的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：系数化为1可得． 【详解】两边都除以2，得：x≥4， 故选：C． 【点睛】此题主要考查一元一次不等式的解集在数轴表示，熟练掌握，即可解题. 6. 如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则线段的长度为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，等边对等角，三角形外角的性质，含的直角三角形的性质等知识．正确掌握相关性质内容是解题的关键．如图，作于，则，，由，可得，则，，即可作答． 【详解】解：如图，作于， ∵点P在的平分线上，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即线段的长度为， 故选：C． 7. 如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】表示出不等式的解集，由数轴上表示的不等式解集确定出a的值即可． 【详解】解：已知不等式移项得：3x≤a-1， 解得：x≤， 由数轴得：x≤-1， ∴=-1， 解得：a=-2． 故选：B． 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握不等式的解法是解本题的关键． 8. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是画出图形，利用数形结合解决问题． 分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数． 【详解】解：如图：当为腰时，点C的个数有2个， 当为底时，点C的个数有1个， 故选：C． 9. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了找旋转中心，熟练掌握旋转中心的确定方法是解题关键．确定旋转中心的方法：分别作两组对应点所连线段的垂直平分线，其交点就为旋转中心，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，其交点为点，则旋转中心是点． 故选：A． 10. 我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝4a﹣3b．例如：5*6＝4×5﹣3×6，若m满足m*20，则m的取值范围是（　　） A. m B. m C. m D. m 【答案】A 【解析】 【分析】根据新运算列出关于m的不等式，解之可得． 【详解】解：∵m*2＜0， ∴4m﹣3×2＜0， 则4m＜6， ∴m＜， 故选：A． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 用不等式表示“的3倍与2的差不大于0”为__________________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，解题关键是理解题意并抓住关键词． 首先表示的3倍与2的差，再表示差不大于0即可． 【详解】的3倍表示为：， 与2的差表示为：， 不大于0表示为：． 故答案为：． 12. 学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确：_____，你的理由是_____． 【答案】 ①. 不正确 ②. 2+2＜5，2，2，5不构成三角形． 【解析】 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为2和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形． 【详解】解：当腰为5时，周长=5+5+2=12； 当腰长为2时，因为2+2＜5， 根据三角形三边关系可知此情况不成立； 根据三角形三边关系可知：等腰三角形的腰长只能为5，这个三角形的周长是12． 故答案为不正确，2+2＜5，2，2，5不构成三角形． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、三角形的三边关系等知识，解题时根据是学会用分类 讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 13. 我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________． 【答案】-5 【解析】 【分析】首先把所求的式子转化成一般的不等式的形式，然后根据x，y是整数即可确定x，y的值，从而求解． 【详解】解：根据题意得：1＜6-xy＜3， 则3＜xy＜5， 又∵x、y均为整数， ∴x=1，y=4；此时，x+y=5； x=2，y=2；此时，x+y=4； x=-1，y=-4；此时，x+y=-5； x=-2，y=-2；此时，x+y=-4； 故x+y的最小值是-5， 故答案为-5． 【点睛】本题考查了不等式的整数解，正确确定x，y的值是关键． 14. 如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 【答案】旋转 【解析】 【分析】本题考查几何变换类型，解题的关键是利用旋转变换的性质判断即可． 【详解】解：观察图形可知，②可看作①绕着点顺时针旋转得到， 故答案为：旋转． 15. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．若点A（﹣3，0），B（﹣1，2），则点A'的坐标为_____，点B'的坐标为_____． 【答案】 ①. （0，3） ②. （2，1） 【解析】 【分析】根据点A（﹣3，0），由旋转的性质得到点A'的坐标；根据点B（﹣1，2），OB绕原点O顺时针旋转90°得到OB′可看作是Rt△OCB绕原点O顺时针旋转90°得到Rt△OC′B′，再写出B′点的坐标． 【详解】解：如图所示： 则点A'的坐标为（0，3），点B'的坐标为（2，1）． 故答案为（0，3），（2，1）． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化——旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°． 16. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC=3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD,下面四个结论中，①AD＝CD；②BD⊥AC；③AC=6；④△ACD是等边三角形；所有正确结论的序号是_____． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，和直角三角形的性质，勾股定理对各项逐一进行判定即可． 【详解】解：∵分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D， ∴AD=CD=AC，故①正确； ∴△ACD是等边三角形，故④正确； ∵AB=BC，AD=CD， ∴BD垂直平分AC， ∴BD⊥AC，故②正确； ∵AB=BC， ∴∠ACB=∠BAC=30°， ∵△ACD是等边三角形， ∴∠DAC=60°， ∴∠BAD=90°， ∵BD⊥AC， ∴∠ADB=30°， ∵AB=BC=3， ∴DB=6， ∴， ∴AC=，故③错误； 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形，垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式 ，并写出它的正整数解. 【答案】x＜5，不等式的正整数解为1，2，3，4. 【解析】 【分析】去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1即可． 【详解】解： 去分母得：3（x+1）＞2（2x+2）﹣6， 去括号得：3x+3＞4x+4﹣6， 移项得：3x﹣4x＞4﹣6﹣3， 合并同类项得：﹣x＞﹣5， 系数化为1得：x＜5. 故不等式的正整数解为1，2，3，4. 18. 已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠CED＝30°． 求证：BD＝DE． 【答案】 证明：∵△ABC为等边三角形，BD⊥AC， ∴∠ABC＝60°，BD平分∠ABC． ∴∠DBC＝30°． ∵∠CED＝30°， ∴∠DBE＝∠DEB＝30°， ∴BD＝DE． 【解析】 【分析】欲证BD＝DE，只需证∠DBE＝∠E，根据等边三角形的性质及角的等量关系可证明． 【详解】略 【点睛】本题考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形内角和为180°等知识．此类已知三角形边之间的关系求角的度数的题，一般是利用等腰(等边)三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数． 19. 解不等式组 【答案】原不等式组的解集为. 【解析】 【分析】先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解：原不等式组为 解不等式①，得． 解不等式②，得 ∴原不等式组的解集为. 20. 如图，已知点A（﹣3，3），点B（﹣4，1），点C（﹣2，2）． （1）求△ABC的面积． （2）将△ABC平移，使得点A与点D（2，4）重合，得到△DEF，点B，C的对应点分别是点E，F，画出平移后的△DEF，并写出点E和点F的坐标． 【答案】（1）1.5； （2）如图所示：△DEF即为所求， E（1，2），F（3，3）． 【解析】 【分析】（1）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （2）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】（1）△ABC的面积为：2×2﹣×1×2﹣×1×1﹣×1×2 =4﹣1﹣﹣1 =1.5； （2）略 【点睛】本题主要考查了平移变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 21. 已知一个三角形的三条边的长分别为，，3n． （1）________；（填“＞”，“＝”或“＜”） （2）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长； （3）若这个三角形的三条边都不相等，且n为正整数，直接写出n的最大值． 【答案】（1）；（2）5，9，9；（3）7 【解析】 【分析】（1）根据作差法比较即可； （2）根据等腰三角形的性质分类讨论； （3）根据三角形三边关系讨论即可． 【详解】（1） ； （2）①若，则，此时三边为3，3，7，不能构成三角形，舍去； ②若，则，此时三边为5，9，9，能构成三角形，符合题意， 故这个三角形是等腰三角形时，三边为5，9，9； （3）由三角形三边关系得；，解得， n为正整数， 的最大值是7． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及三角形的三边关系，熟练掌握三角形成立的条件及三边关系是解决问题的关键． 22. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得：，，从而得到，证明得出，从而得到； （2）由（1）可知，，得到，由勾股定理可得，从而得出，最后由勾股定理进行计算即可． 【小问1详解】 解：是等腰直角三角形， ， 由旋转的性质可得：，， ，即， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由（1）可知，， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理． 23. 某公园为了方便游客游览，设置了观光接驳车.公园设计的其中一条观光路线上设有，，，四个站点（如图所示），相邻两个站点的距离都是5千米，游客只能在站点上下车.一辆接驳车在，之间往返行驶；一名游客在距离站点千米（）的处徒步游览时.临时有事要赶回站点，此时他正好遇到开往站点的接驳车，他决定走到站点等待刚才那辆车从站点开回.已知接驳车行驶的平均速度为30千米/时，该游寄步行的平均速度为6千米/时，游客上、下车的时间忽略不计 （1）接驳车在，之间往返行驶一次所需时间为_________小时； （2）该游客从处走到站点所需时间为_________小时；（用含的式子表示） （3）如果该游客不晚于接驳车到达了站点，那么当时他离站点的距离最多有多远？ 【答案】（1）1 （2） （3）该游客离站点的距离最远为千米 【解析】 【分析】（1）根据时间=路程÷速度进行计算即可； （2）根据时间=路程÷速度进行计算即可； （3）根据题意列一元一次不等式进行解题即可． 【小问1详解】 解：（小时），故答案为：1； 【小问2详解】 解：游客从处走到站点所需时间为：（小时） 【小问3详解】 解：由题意得：， 解得 答：该游客离站点的距离最远为千米． 【点睛】本题考查一元一次不等式得实际应用，根据题意准确的列出一元一次不等式是解题的关键． 24. 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F． （1）依题意将图1补全； （2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF； 想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF……. 请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）； （3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系． 【答案】 （1）如图1， （2）想法1：证明：如图2，过D作，交AC于G， ∵点D是BC边的中点， ∴DG=AB． ∴△CDG是等边三角形． ∴∠EDB+∠EDG=120°． ∵∠FDG+∠EDG=120°， ∴∠EDB =∠FDG． ∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°， ∴△BDE≌△GDF． ∴DE=DF． 想法2：证明：如图3，连接AD， ∵点D是BC边的中点， ∴AD是△ABC的对称轴． 作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上， ∴△ADE≌△ADP． ∴DE=DP，∠AED=∠APD． ∵∠BAC+∠EDF=180°， ∴∠AED+∠AFD=180°． ∵∠APD+∠DPF=180°， ∴∠AFD=∠DPF． ∴DP=DF． ∴DE=DF． 想法3：证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∵点D是BC边的中点， ∴AD平分∠BAC． ∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N， ∴DM=DN． ∵∠A=60°， ∴∠MDE+∠EDN=120°． ∵∠FDN+∠EDN=120°， ∴∠MDE=∠FDN． ∴Rt△MDE≌Rt△NDF． ∴DE=DF． （3）数量关系：当点F在AC边上时，；,当点F在AC延长线上时，． 【解析】 【分析】（1）根据要求画出图形即可； （2）选择一种自己比较熟练的方法进行证明即可； （3）本题分点F在AC边上，点F在AC延长线上，两种情况分析即可. 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）当点F在AC边上时，； 证明：如图5中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N． ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°， 在△BDM与△CDN中， ， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°， ∴△EDM≌△FDN， ∴ME=NF， ∴BE+CF=BM+EM+NC-FN=2BM=BD= AB； 当点F在AC延长线上时，．如图6， ∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°， ∴△BDM≌△CDN， ∴BM=CN，DM=DN， 又∵∠EDF=120°=∠MDN， ∴∠EDM=∠NDF， 又∵∠EMD=∠FND=90°， ∴△EDM≌△FDN， ∴ME=NF， ∴BE-CF=BM+EM-（FN-CN）=2BM=BD=AB 【点睛】本题的关键是等边三角形的性质和三角形全等的判定和性质得出结论，虽然本题的内容较多但是题目难度并不大，所以要认真读题，第三问的问题要画出两种情况的图形，利用三角形全等的出结论即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 我国传统文化中的“福禄寿喜”图，属于美工艺术字分类，由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，下列不等式变形不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. 如图，、的坐标分别为、．若将线段平移至，、的坐标分别、，则的值为　　 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 不等式2x≥8的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，点P在的平分线上，于点C，，点D在边上，且，则线段的长度为（ ） A. 3 B. C. 1 D. 7. 如果关于的不等式的解集如图所示，则的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在正方形网格内，A，B两点都在小方格的顶点上，如果点C也是图中小方格的顶点，且是等腰三角形，那么点C的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 在如图所示的正方形网格中，四边形绕某一点旋转某一角度得到四边形（所有顶点都是网格线交点），在网格线交点中，可能是旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 10. 我们定义一个关于实数a，b的新运算，规定：a*b＝4a﹣3b．例如：5*6＝4×5﹣3×6，若m满足m*20，则m的取值范围是（　　） A. m B. m C. m D. m 二、填空题：（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，直接填写答案．） 11. 用不等式表示“的3倍与2的差不大于0”为__________________． 12. 学习了等腰三角形的相关内容后，张老师请同学们交流这样一个问题：“如果一个等腰三角形的两边长分别为2和5，求它的周长”．同学们经过片刻的思考和交流后，小明同学举手讲“它的周长是9或12”，你认为小明的回答是否正确：_____，你的理由是_____． 13. 我们定义，例如．若，是整数，且满足，则的最小值是__________． 14. 如图，由个相同的正方形组成的十字形纸片沿直线和剪开后重组可得到矩形，那么②可看作①通过一次________得到（填“平移”“旋转”或“轴对称”）． 15. 在平面直角坐标系xOy中，以原点O为旋转中心，将△AOB顺时针旋转90°得到△A'OB'，其中点A'与点A对应，点B'与点B对应．若点A（﹣3，0），B（﹣1，2），则点A'的坐标为_____，点B'的坐标为_____． 16. 已知：如图，在△ABC中，AB＝BC=3，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD,下面四个结论中，①AD＝CD；②BD⊥AC；③AC=6；④△ACD是等边三角形；所有正确结论的序号是_____． 三、解答题：（本大题共8个小题，共72分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解不等式 ，并写出它的正整数解. 18. 已知：如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，E是BC延长线上的一点，且∠CED＝30°． 求证：BD＝DE． 19. 解不等式组 20. 如图，已知点A（﹣3，3），点B（﹣4，1），点C（﹣2，2）． （1）求△ABC的面积． （2）将△ABC平移，使得点A与点D（2，4）重合，得到△DEF，点B，C的对应点分别是点E，F，画出平移后的△DEF，并写出点E和点F的坐标． 21. 已知一个三角形的三条边的长分别为，，3n． （1）________；（填“＞”，“＝”或“＜”） （2）若这个三角形是等腰三角形，求它的三边的长； （3）若这个三角形的三条边都不相等，且n为正整数，直接写出n的最大值． 22. 如图，在等腰直角中，是边上任意一点（不与重合），将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． （1）求的度数； （2）若，求的长． 23. 某公园为了方便游客游览，设置了观光接驳车.公园设计的其中一条观光路线上设有，，，四个站点（如图所示），相邻两个站点的距离都是5千米，游客只能在站点上下车.一辆接驳车在，之间往返行驶；一名游客在距离站点千米（）的处徒步游览时.临时有事要赶回站点，此时他正好遇到开往站点的接驳车，他决定走到站点等待刚才那辆车从站点开回.已知接驳车行驶的平均速度为30千米/时，该游寄步行的平均速度为6千米/时，游客上、下车的时间忽略不计 （1）接驳车在，之间往返行驶一次所需时间为_________小时； （2）该游客从处走到站点所需时间为_________小时；（用含的式子表示） （3）如果该游客不晚于接驳车到达了站点，那么当时他离站点的距离最多有多远？ 24. 在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F． （1）依题意将图1补全； （2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法： 想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF； 想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF……. 请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）； （3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $