精品解析：湖南常德市桃源县2025-2026学年下学期八年级数学期中测试卷

湖南常德市桃源县2025-2026学年下学期八年级数学期中测试卷 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故D不符合题意． 2. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了点到坐标轴的距离，根据点到轴的距离等于横坐标的绝对值即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：点到轴的距离是， 故选：． 3. 在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(－2，1)的对应点为A′(3，1)，点B的对应点为B′(4，0)，则点B的坐标为（ ） A. （9，0） B. （－1，0） C. （3，－1） D. （－3，－1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据平移的性质，通过点A与点A′的坐标对应关系，确定出平移的过程，即可求解． 【详解】解：∵点A(－2，1)的对应点为A′(3，1)， ∴平移的过程为：向右平移5个单位长度，纵坐标不变， ∵点B的对应点为B′(4，0)， ∴点B坐标为点B′向左平移5个单位长度求得， 即点B坐标为（－1，0）， 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是坐标的平移，重点在于根据对应点坐标分析出平移的过程． 4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 【答案】C 【解析】 【分析】此题可以利用多边形的外角和和内角和定理求解． 【详解】解：设所求多边形边数为n，由题意得 （n﹣2）•180°＝360°×2 解得n＝6． 则这个多边形是六边形． 故选C． 【点睛】本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想．关键是记住内角和的公式与外角和的特征：任何多边形的外角和都等于360°，n边形的内角和为（n﹣2）•180°． 5. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定方法逐项判断即可作答． 【详解】解：A、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； B、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； C、，，四边形为平行四边形，故本项符合题意； D、，，无法判定四边形为平行四边形，故本项不符合题意； 故选：C． 6. 如图，在中，边上的高则边上的高的长是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的面积公式和性质可得CD·AF=BC·AE，CD=AB=4，从而求出结论． 【详解】解：由题意可知：S平行四边形ABCD=CD·AF=BC·AE，CD=AB=4 ∴4AF=6×2 解得：AF=3 故选B． 【点睛】此题考查的是平行四边形的性质，掌握平行四边形的性质和面积公式是解决此题的关键． 7. 如果等腰三角形一腰长为8，底边长为10，那么连接这个三角形各边中点所组成的三角形的周长为（ ） A. 26 B. 14 C. 13 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求解，三角形中位线的长度等于对应第三边长度的一半，因此连接三角形各边中点得到的新三角形周长等于原三角形周长的一半，计算即可得到结果． 【详解】解：∵根据三角形中位线定理，三角形的中位线长度等于第三边长度的一半， 又∵原等腰三角形三边长分别为,,， ∴连接各边中点得到的新三角形三边长分别为,,， ∴新三角形的周长为． 8. 若点P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（　　） A. ﹣2＜a＜0 B. 0＜a＜2 C. a＞2 D. a＜0 【答案】B 【解析】 【分析】根据第四象限点的坐标符号，得出a＞0，a﹣2＜0，即可得出0＜a＜2，选出答案即可． 【详解】解：∵点P（a，a﹣2）在第四象限， ∴a＞0，a﹣2＜0， 解得0＜a＜2． 故选：B 9. 过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF，若AB，∠DCF30°，则EF的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出∠ACB＝∠DAC，然后利用“ASA”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等可得OE＝OF，再根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形得到四边形AECF是菱形，再求出∠ECF＝60°，然后判断出△CEF是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等可得EF＝CF，根据矩形的对边相等可得CD＝AB，然后求出CF，从而得解． 【详解】解：∵矩形对边AD∥BC， ∴∠ACB＝∠DAC， ∵O是AC的中点， ∴AO＝CO， 在△AOF和△COE中， ， ∴△AOF≌△COE（ASA）， ∴OE＝OF， 又∵EF⊥AC， ∴四边形AECF是菱形， ∵∠DCF＝30°， ∴∠ECF＝90°﹣30°＝60°， ∴△CEF是等边三角形， ∴EF＝CF， ∵AB＝， ∴CD＝AB＝， ∵∠DCF＝30°， ∴CF＝÷＝2， ∴EF＝2． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，解题的关键是判断出△CEF是等边三角形． 10. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论； ②证△OMB△OEB得△EOB△CMB； ③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF； ④由②可知△BCM△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：S△BOE=AE：BE，再由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半继续求解即可． 【详解】解：①∵矩形ABCD中，O为AC中点， ∴OB=OC， ∵∠COB=60°， ∴△OBC是等边三角形， ∴OB=BC， ∵FO=FC， ∴FB垂直平分OC，故①正确； ②∵FB垂直平分OC， ∴△CMB≌△OMB， ∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO， ∴△FOC△EOA， ∴FO=EO， ∴OB⊥EF， ∴△FOB≌△OEB， ∴△EOB与△CMB不全等，故②错误； ③由△OMB≌△OEB≌△CMB 得：∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE， ∴△BEF是等边三角形， ∴BF=EF， ∵DF∥BE且DF=BE， ∴四边形DEBF是平行四边形， ∴DE=BF， ∴DE=EF，故③正确； ④在直角△BOE中∵∠3=30°， ∴BE=2OE， ∵∠OAE=∠AOE=30°， ∴AE=OE， ∴BE=2AE， ∴S△AOE：S△BOE=1：2， 又∵FM∶BM=1∶3， ∴S△BCM = S△BCF= S△BOE ∴S△AOE：S△BCM=2∶3 故④正确； 所以其中正确结论的个数为3个， 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，若，且，则四边形的形状是_______.（填“梯形”“矩形”“菱形”） 【答案】矩形 【解析】 【分析】连接，，根据三角形中位线定理，，，根据，得出，证明四边形是矩形，根据，得出四边形不可能是菱形． 【详解】解：如图，连接，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴根据三角形中位线定理，，， 又∵， ∴， ∴四边形是矩形． 且∵， ∴四边形邻边不相等， ∴四边形不可能是菱形． 故答案为：矩形 【点睛】本题主要考查了菱形和矩形的判定，三角形中位线性质，解题的关键是理解题意熟练掌握三角形中位线定理，三角形的中位线平行第三边，且等于第三边的一半． 12. 正方形的对角线，则它的边_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用正方形的性质得到邻边相等且内角为直角，结合勾股定理建立边长与对角线的等量关系，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， 在中，由勾股定理得，， 代入，得，， ∴， ∴． 13. 如图，延长矩形ABCD边BC至点E，使，连接AE，如果，则______． 【答案】20°##20度 【解析】 【分析】连接AC，由矩形性质可得∠E=∠DAE、BD=AC=CE，知∠E=∠CAE，而∠ADB=∠CAD=40°，可得∠E度数． 【详解】解：连接AC， ∵四边形ABCD是矩形， ∴ADBE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°， ∴∠E=∠DAE， 又∵BD=CE， ∴CE=CA， ∴∠E=∠CAE， ∵∠CAD=∠CAE+∠DAE， ∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°， 故答案为：20°． 【点睛】本题主要考查矩形性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分、对边平行是解题关键． 14. 如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 【答案】9 【解析】 【分析】根据矩形是中心对称图形，可得阴影部分的面积是矩形面积的一半，求出矩形面积即可求解． 【详解】解：因为O为矩形的对称中心，则阴影部分的面积是矩形面积的一半，因为矩形面积为，所以阴影部分的面积9． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了矩形是中心对称图形的性质．熟练掌握中心对称图形的性质是解题的关键． 15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=_____． 【答案】4.8 【解析】 【分析】根据菱形的性质得到AC⊥BD，求出OA，OB，由勾股定理求出AB，再利用菱形的面积公式得到AC•BD=AB•DH，由此求出答案． 【详解】解：在菱形ABCD中，AC⊥BD， ∵AC=8，BD=6， ∴OA=AC=×8=4，OB=BD=×6=3， 在Rt△AOB中，AB==5， ∵DH⊥AB， ∴菱形ABCD的面积=AC•BD=AB•DH， 即×6×8=5DH， 解得DH=4.8． 故答案为：4.8． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，熟记菱形的性质并熟练应用解决问题是解题的关键． 16. 如图，顺次连接边长为的正方形四边的中点，得到四边形，然后顺次连接四边形的中点，得到四边形，在顺次连接四边形四边的中点，得到四边形，，按此方法得到的四边形的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了图形的规律变化问题，正方形的性质，三角形中位线的性质，利用中位线定理可证明顺次连接正方形四边中点得正方形的面积为正方形面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形的周长，找到正方形周长的变化规律是解题的关键． 【详解】解：顺次连接正方形四边的中点得正方形，则得正方形的面积为正方形面积的一半，即，则周长是正方形的， 顺次连接正方形中点得正方形，则正方形的面积为正方形面积的一半，即正方形的，则周长是正方形的， 顺次连接正方形得正方形，则正方形的面积为正方形面积的，即正方形的，则周长是正方形的， ， ∴正方形的周长是正方形的， ∴正方形的周长是正方形的， ∵正方形的边长为， ∴正方形的周长为， ∴为， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，17、18题每题8分，19-22题每题9分，23和24题每题10分，共72分） 17. 已知：点．试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点P在x轴上； (3)点P的纵坐标比横坐标大3； (4)点P在过点，且与x轴平行的直线上． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【解析】 【分析】（1）让横坐标为0求得m的值，代入点P的坐标即可求解； （2）让纵坐标为0求得m的值，代入点P的坐标即可求解； （3）让纵坐标-横坐标=3得m的值，代入点P的坐标即可求解； （4）让纵坐标为-3求得m的值，代入点P的坐标即可求解. 【详解】(1)由题意，得2m＋4＝0，解得m＝－2， 则m－1＝－3， 所以点P的坐标为(0，－3)． (2)由题意，得m－1＝0，解得m＝1， 则2m＋4＝6， 所以点P的坐标为(6，0)． (3)由题意，得m－1＝(2m＋4)＋3，解得m＝－8， 则2m＋4＝－12，m－1＝－9, 所以点P的坐标为(－12，－9)． (4)由题意，得m－1＝－3，解得m＝－2， 则2m＋4＝0， 所以点P的坐标为(0，－3)． 【点睛】本题考查了点的坐标的相关知识，解题的关键是熟练的掌握点坐标的性质. 18. 如图，在中，于点，于点，连接，．求证：． 【答案】 证明：∵AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F， ∴∠AED=∠CFB=90°， ∵平行四边形ABCD中，AD∥BC， ∴∠ADE=∠CBF， 又∵平行四边形ABCD中，AD=BC， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE=CF，∠AED=∠CFB， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AF=CE． 【解析】 【分析】先依据ASA判定△ADE≌△CBF，即可得出AE=CF，AE∥CF，进而判定四边形AECF是平行四边形，即可得到AF=CE． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，掌握有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是解题的关键． 19. 如图，已知在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示． （1）你能想办法求出三角形的面积吗？ （2）将三角形向右平移6个单位，再向上平移2个单位，请在图中作出平移后的三角形，并写出三角形各点的坐标． 【答案】（1）2 （2） 解：如图，三角形即为所求； 三角形各点的坐标分别为：，，． 【解析】 【分析】（1）利用割补法求出三角形的面积即可； （2）先作出点A、B、C平移后的对应点、、，然后顺次连接即可；根据作出的三角形，写出三角形各点的坐标即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 略 20. 如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD，连接BE． (1)图中哪两个图形成中心对称； (2)若△ADC的面积为4，求△ABE的面积． 【答案】（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）8． 【解析】 【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可； （2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积． 【详解】解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称； （2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4， ∴△EDB的面积也为4， ∵D为BC的中点， ∴△ABD的面积也为4， 所以△ABE的面积为8． 【点睛】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小． 21. 如图，在菱形中，，点是对角线的中点，过点作于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，解题关键是∶ （1）根据菱形的性质可得出，则可判定为等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可求解； （2）利用等边三角形的性质求出，根据线段中点定义求出，根据三角形内角和定理求出，最后根据含角的直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：∵是等边三角形，， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴． 22. 如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G． （1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由； （2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长． 【答案】 （1）四边形DEFG是平行四边形， 理由如下：∵E、F分别为线段OB、OC的中点， ∴EF=BC，EF∥BC， 同理DG=BC，DG∥BC， ∴EF=DG，EF∥DG， ∴四边形DEFG是平行四边形； （2）BC=8． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理、平行四边形的判定定理解答； （2）根据直角三角形的性质求出EF，根据三角形中位线定理计算即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵∠OBC和∠OCB互余， ∴∠BOC=90°， ∵M为EF的中点，OM=2， ∴EF=2OM=4， ∴BC=2EF=8． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． （1）请直接写出A点的坐标； （2）当时，求t的值； （3）若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 【答案】（1） （2）2 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，坐标与图形，四边形的面积，解题的关键是理解题意，学会利用分类讨论的思想解决问题． （1）直接根据点B和D的坐标可得结论； （2）先得，，证明四边形是平行四边形，则，列方程可解答； （3）分两种情况：①当时，②当时，根据梯形的面积公式列方程可解答． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：分两种情况： ①当时，点N在边上，四边形是梯形， ∵， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴； ②当时，点N在的延长线上， ∴点A，D，M，N为顶点的四边形的面积， ∴， ∴， ∴， 综上，点M的坐标为或． 24. 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 【答案】（1） ①证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ② （2） 猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，     ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． 【解析】 【分析】（1）①利用旋转的性质，证明，②根据全等三角形的性质得，等量代换，即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质得，，在中，，可求得，所以，再证明，利用得到． 【小问1详解】 ①略； ②解： 由①得， ， ， ； 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南常德市桃源县2025-2026学年下学期八年级数学期中测试卷 （总分：120分 时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分．） 1. 下列汽车标志中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点到轴的距离是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A(－2，1)的对应点为A′(3，1)，点B的对应点为B′(4，0)，则点B的坐标为（ ） A. （9，0） B. （－1，0） C. （3，－1） D. （－3，－1） 4. 一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是(　　) A. 四边形 B. 五边形 C. 六边形 D. 八边形 5. 在下列给出的条件中，能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在中，边上的高则边上的高的长是(　　) A. B. C. D. 7. 如果等腰三角形一腰长为8，底边长为10，那么连接这个三角形各边中点所组成的三角形的周长为（ ） A. 26 B. 14 C. 13 D. 9 8. 若点P（a，a﹣2）在第四象限，则a的取值范围是（　　） A. ﹣2＜a＜0 B. 0＜a＜2 C. a＞2 D. a＜0 9. 过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE、CF，若AB，∠DCF30°，则EF的长为（ ）． A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连接BF交AC于点M，连接DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：S△BCM=2：3．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 已知点E，F，G，H分别是四边形的边，，，的中点，若，且，则四边形的形状是_______.（填“梯形”“矩形”“菱形”） 12. 正方形的对角线，则它的边_______． 13. 如图，延长矩形ABCD边BC至点E，使，连接AE，如果，则______． 14. 如下图，长为6，宽为3的矩形，阴影部分的面积为_____. 15. 如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC=8，BD=6，则菱形ABCD的高DH=_____． 16. 如图，顺次连接边长为的正方形四边的中点，得到四边形，然后顺次连接四边形的中点，得到四边形，在顺次连接四边形四边的中点，得到四边形，，按此方法得到的四边形的周长为______． 三、解答题（共8小题，17、18题每题8分，19-22题每题9分，23和24题每题10分，共72分） 17. 已知：点．试分别根据下列条件，求出P点的坐标． (1)点P在y轴上； (2)点P在x轴上； (3)点P的纵坐标比横坐标大3； (4)点P在过点，且与x轴平行的直线上． 18. 如图，在中，于点，于点，连接，．求证：． 19. 如图，已知在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示． （1）你能想办法求出三角形的面积吗？ （2）将三角形向右平移6个单位，再向上平移2个单位，请在图中作出平移后的三角形，并写出三角形各点的坐标． 20. 如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD，连接BE． (1)图中哪两个图形成中心对称； (2)若△ADC的面积为4，求△ABE的面积． 21. 如图，在菱形中，，点是对角线的中点，过点作于点． （1）求的度数； （2）若，求的长． 22. 如图，点O是△ABC内一点，连接OB、OC，线段AB、OB、OC、AC的中点分别为D、E、F、G． （1）判断四边形DEFG的形状，并说明理由； （2）若M为EF的中点，OM=2，∠OBC和∠OCB互余，求线段BC的长． 23. 如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点C，B，D的坐标分别是，，．点M从点A出发，沿方向在线段上匀速运动，速度为每秒1个单位长度；同时，点N从点C出发，沿方向在x轴上匀速运动，速度为每秒2个单位长度．设运动时间为． （1）请直接写出A点的坐标； （2）当时，求t的值； （3）若以点A，D，M，N为顶点的四边形的面积是10，求点M的坐标． 24. 如图1，四边形是正方形，E，F分别在边和上，且（此时），我们把这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．小明为了解决线段，，之间的关系，将绕点顺时针旋转得到后，解决了这个问题． （1）如图2． ①求证：； ②求出、、之间的关系； （2）如图3，等腰直角三角形，点E，F在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $