重庆育才中学教共体 2025-2026学年九年级下学期第七次自主作业数学试卷

**基本信息** 聚焦核心素养，融合科技与社会热点，梯度设计适配周测的初三数学综合卷。如石墨烯科学记数法、国家安全知识竞赛统计题，体现数学与现实联系。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|数与式、统计、几何基础|第2题结合手术器械检查考普查，培养数据意识| |填空题|6/24|概率、计算、新定义|第16题“对称差数”新定义，发展创新意识| |解答题|9/86|函数综合、几何动态、应用建模|24题二次函数与几何最值，25题几何旋转综合，考查推理能力与模型意识|

重庆育才中学教共体初2026届初三（下）第七次自主作业 数学试卷 （ 全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟 ） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．的倒数是（ ） A． B．6 C． D． 2．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A．手术前检查各项医疗器械是否准备妥当 B．调查某批蔬菜种子的发芽率 C．调查重庆市内一纵线车流量 D．调查2026年春节联欢晚会收视率 3．下列计算正确的是（ ） A． B． C． D． 4．石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为米，这个数用科学记数法表示为（ ） A． B． C． D． 5．如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若的面积2，且，则的面积为（ ） A．6 B．18 C．32 D．64 6．如图，点、、在上，，连接、．则大小为（    ） A． B． C． D． 第5题图 第6题图 7．某客运公司规定旅客可以免费携带一定质量的行李，当行李的质量超过规定时，需付的行李费（元）与行李质量（）之间的函数表达式为，该函数图象如图所示，下列说法错误的是（    ） A． B． C．旅客最多可免费携带行李 D．当行李的质量超过规定时，超出部分的行李每千克需要加收元 8．如图，是的直径，点D、E是半圆的三等分点，的延长线交于点C．若，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 9.如图，、分别是正方形纸片边、上的两点，连接，并将纸片沿着折叠，点B、D恰好重合于点H．过点F作FM⊥AF交AE的延长线于点M，连接CM．若，则 的值为（    ） A. B. C. D. F M B E H C D A 第8题图 第9题图 10. 已知整式，其中n为自然数，为正整数，m，为整数，且．下列说法： ①若A为二次式，则m的最小值为3； ②若，则满足条件的A共有5个； ③当，时，满足关于x的二次函数与x轴有交点的A共有9个． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11．一个不透明的盒子中装有6个乒乓球，其中4个黄球，2个白球，这些乒乓球除颜色外无其他差别．小强同学从盒子中随机摸出1个乒乓球，则摸出的小球是黄球的概率是______． 12．若整数m满足，则m的值是______． 13．计算：______． 14．若实数、同时满足2，则________． 15. 如图，是的直径，点是上一点，将劣弧沿弦翻折交于点，点为弧ACB的中点，点F是上一点，若，， ,则的值为 . 第15题图 16. 我们规定：一个四位数，若M满足各个数位上的数字均不相等，且，则称这个四位数为“对称差数”.（例如：四位数4521，因为各个数位上的数字均不相等，且，所以4521是“对称差数”，按照这个规定，最小的“对称差数”是 ；一个“对称差数”，将其千位和百位数字调换位置，十位和个位数字调换位置，得到一个新的数，记，记3(其中，N的各个数位上数字之和记为.若能写成一个正整数的平方，则满足条件的正整数M为 . 三、解答题（本大题共9小题，17、18每小题8分，19-25每小题10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17． 解方程：（1） ． （2） 18．如图，在中，，，点为线段上任意一点，连接，过点作，交线段的延长线于点． （1）尺规作图：过点作的垂线，垂足为点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）求证：． 完成证明： 证明：∵ ∴_____①_____ ∵， ∴， ∴ 在中， ∴_____②______ 在与中 ∴（____③____） ∴_____④____， ∵ ∴ 19．2026年4月15日是第11个全民国家安全教育日，维护国家安全是每个公民的基本义务．为增强国家安全意识，某校八、九年级部分学生参加了国家安全法知识竞赛．现从八、九年级参赛学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析．成绩（用表示，单位：分）分为，，，四个等级，分别是：；；；． 下面给出了部分信息： 九年级20名学生的成绩为： 100，98，97，95，94，94，92，90，90，90，90，89，88，88，86，85，82，77，68，57； 八年级等级的学生成绩为： 89，88，88，88，88，87，83，82． 八、九年级所抽学生成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 87.5 90 100.05 八年级 87.5 88 63.25 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中，　 　 ，　 　 ，　 　 ； （2）根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）抽取的九年级同学中，前4名为1名男生和3名女生，现准备在这4名学生中随机选出两人参加区级竞赛，请用画树状图或列表法求抽取的两名学生刚好是1名男生和1名女生的概率． 20．先化简，再求值：，其中． 21．某玩具车间准备用10天时间生产6000个“熊猫”套盒，计划先安排甲组工人生产4天，再安排乙组工人加入共同生产，则刚好能如期完成．已知甲组每天比乙组少生产200个套盒． （1）求甲、乙两组每天各生产多少个套盒？ （2）实际生产过程中，甲组生产4天后，车间负责人给甲、乙两个小组分别增加2名工人，并将剩下的任务平均分给两个小组．增加人员后，甲、乙两小组每天生产的数量比为，甲小组完成剩下生产任务的天数比乙小组多2天，求增加人员前，甲组有多少名工人？（每人每天生产的数量相同） 22．如图，四边形为矩形，延长至点，连接，，，．动点沿以每秒1个单位长度的速度运动，到达点时停止运动；同时，动点沿以每秒0.5个单位长度的速度运动，到达点时停止运动．设点，的运动时间为秒，连接，，△的面积为，△和△的面积比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并写出函数的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（保留1位小数，误差不超过． 23．如图，一艘巡逻船在A处测得灯塔M位于A的南偏东方向上，巡逻船沿着正东方向航行30海里到达B处，测得灯塔M位于B的南偏东方向上，测得港口C位于B的东南方向．已知港口C在灯塔M的正东方向．（参考数据：） （1）求灯塔M到巡逻船航线的距离；（结果保留根号） （2）巡逻船位于点B处时突然接到通知，称灯塔M的设备发生故障，需要抓紧维修．巡逻船迅速采取以下行动：派出船上一名工作人员乘坐小艇沿BM方向前往灯塔M进行检查，预计检查时间为30分钟．同时，巡逻船从B处出发，先前往港口C领取维修配件（领取维修配件的时间忽略不计），之后再赶往灯塔M．已知巡逻船的速度为25海里/小时，小艇的速度为20海里/小时．请通过计算说明巡逻船能否在工作人员完成检查前，及时将维修配件送达灯塔M？（近似值精确到0.1） 24.如图，在平面直角坐标系中，抛物线交 轴于点，交轴于点，已知，对称轴为直线，连接 ，过点作交抛物线于点（点异于点）。 （1）求抛物线的表达式； （2）点是直线上方抛物线上的一个动点，过点作轴交于点，再过点作于点，连接。当△的面积最大时，求出此时点的坐标；然后在轴和轴上分别取动点、，连接、、，求 △周长的最小值。 （3）如图2，在（2）的条件下，连接，将原抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线上的一个动点，连接，与线段交于点，点在轴上且在点的上方，满足时，请求出所有符合条件的点的坐标，并写出简要的求解过程。 图1 图2 25. 已知△ABC中，∠ABC＝45°，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE交于点F． （1）如图1，若AE=3, AC=5,求AB的长； （2）如图2，EG∥AC，且∠CGE＝45°，猜想线段BD，CD，CG之间有何数量关系，并证明你的猜想； （3）若AE=，AC=，点P是AB边上一动点（点P与点E重合除外），连接FP，将△PEF绕点P顺时针旋转90°得到△PE'F'，连接BF'，CE'．当BF'最小时，直接写出的值． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $