山东青岛市第九中学2026届高三第二次模拟考试数学试题

绝密★启用前 2026年青岛市第九中学高三第二次模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的。 1.已知集合S={-2,0,1},T={xx2=4},则S∩T= A.{0,1} B.{-2} C.{-2,2} D.{-2,0,2} 2.已知z=1+bi(b>0),且|z=2,则z= A.-1+V3i B.1-3i C.-1+i D.1-i 3.若一个等比数列的前3项和等于3，前6项和等于-21，则该等比数列的第4项等于 A.16 B.8 C.-4 D.-8 4.如图，网格纸上小正方形的边长为1，向量a,b的起点和终点均在格点上，则 a.(a-b)= A.-10 B.5 C.15 D.20 5.曲线y=x2+lnx-1在其与x轴的交点处的切线方程为 A.y=3x-3 B.y=-3x+3C.y=2x-2 D.y=-2x+2 6已知a,Be0受，且cosa=sina-),则 A.a=2B B.a+p-3 C.2sina cosB D.tan 2a tan B=-1 数学试题第1页（共4页） 7. 已知椭圆C:号+y=1的左、右焦点分别为R,F,过R的直线交C于A,B 两点，且AF,⊥BF2,则|AB= B.72 c.8i7 D.175 17 9 8 8. 若函数f()=x2上-a+x-a有且仅有2个零点，则a的取值范围是 A.(-1,0)U(0,] B.(-o,-1)U[l,+∞) C.(-1,0U D.(-1,0)U(0,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.设a>b,c<d,则 A.a-c>b-d B.ad >be C.ad +bc ac bd D.a2+d2>b2+c2 1O.如图，在多面体EF-ABCD中，四边形ABCD是矩形，EF∥AB,DE⊥平面 ABCD,G为CD的中点，AB=4,EF=3,AD=√2DE,则 A.AE⊥CD B.BF∥平面AEG C.平面AGF⊥平面ABFE D.四棱锥A-DEFG与F-ABCG的体积之比为5：6 11,箱子中有m(m=3,4,…)个大小相同的球，编号分别为1,2，…，m.按如下 方式从箱子中不放回地取球：第一次随机取出一个球，若该球的编号为s(s=1, 2,…,m),则第二次随机一次取出s-1个球.记完成上述两次取球后编号为 t(t=1,2,…,m)的球被取出的概率为P(m,t),设k∈{1,2，…，m},则 A.P3= B.P(m,m)为定值 C.P(m,k)≤P(m+1,k+1) D≤Pm)≤是 2m 数学试题第2页（共4页） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 11.己知函数f(x)是定义域为R的奇函数.设g(x)=f(x-1)+1,若f(x)在(0，+oo)的 最小值为2，则g(x)在(-o,1)的最大值为 12.己知抛物线G:y2=2x,C2:y2=4x的焦点分别为F,F2,点P,Q分别在C C2上，且线段PQ平行于x轴.若△F,PQ是等腰三角形，则PQ|= 14.等边△ABC的三个顶点都在平面a的同一侧，且三条边在a上的射影长分别为1， √2，√5，则△ABC所在平面与a所成的二面角（锐角）的余弦值为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知c=2 a sin C cos(B+C). (1)求A; (2)若b=2√2，△ABC的面积为3，求a. 16.(15分) 如图，直三棱柱ABC-AB,C的高为6，AB=BC=6, A 9 G ∠ABC=90°，E,F分别为AB,CC的中点，G为BC 上一点，且GC=2. (1)证明：BG∥平面AEF: (2)求直线EG与平面A,EF所成角的正切值. 数学试题第3页（共4页） 17.(15分) 已如双自线C学兰-0>0的~0的右现点机到C的一条有蓝线的高为 3 (1)求C的方程： (2)设过点(1,1)的直线交C于P,Q两点，过P且垂直于x轴的直线与直线AQ交 于点R,证明：以线段PR的中点为圆心且过坐标原点的圆还过其他定点. 18.(17分) 已知函数f)=2nx+子，8)=e-sm (1)求f(x)的单调区间： (2)当x>0时，g(x)<e2x+ax,求a的取值范围： (3)设s,1∈(0,1)，且f(1-s)=gn),证明：f(t)f'(t)+g(s)g'(s)<0 19.(17分) 光明中学举行校乒乓球比赛，共有2m人报名参加男子单打比赛，参赛选手的编号 记为1,2，·，2m,并将所有选手分成A,B两组，每组各m人，其中m为不小于10 的整数， (1)若m=10,求编号为10和20的选手都在A组的概率； (2)若编号为m和2m的选手都在A组，证明：在B组选手中总能找出2人，使 得他们的编号之和等于2m: (3)A组选手与B组选手一对一比赛后共有m人晋级.已知在晋级的选手中有不 超过10%的选手退赛，证明：在晋级且没有退赛的选手中总能找出4人，使得在这4人 中有2人的编号之和等于另外2人的编号之和。 数学试题第4页（共4页） 绝密★启用前 数学参考答案 1,【答案】B 【解析】因为S={-2,0,},且根据题意有T={-2,2},故S∩T={-2}. 2.【答案】C 【解析】 1 1 13-4i V32+(-4)25 3.【答案】D 【解析】记该等比数列为{an},其公比为q,且前n项和为Sn,若q=1,则显然不成立， 若g1,则根据题意可知S,=1-g2=3,S。=00=g2=-21,解得4=1，g=-2, 1-9 1-9 故a4=a1q3=-8. 4.【答案】C 【解析】不妨设左下角的格点为坐标原点，水平向右的方向为x轴正方向， 则a=(3,1),b=(-1,-2),故a-b=(4,3),故a(a-b)=15. 5.【答案】A 1 【解析】y'=2x+二>0(x>0),故曲线与x轴有唯一交点(1,0)，且其在该交点处的切线 的斜率为2×1+}=3，故切线方程为y=3(x-1),即y=3x-3. 6.【答案】D 【解行】们根据愿意可知=sna-月=n(受，又因为a,Be0孕，放有 a-B=-a,即2a-B= 2 2'故cos(2a-)=cos2 acosB+-sin2 asinB=0,所以 tan 2a tan B=-1. 7.【答案】A 【解析】设1AF|=m,|BF2|=n,则根据椭圆的定义可知AF=4-m,|BF|=4-n, 且|AB1=|AE|+|BF|=8-m-n,又易知FF|=2V3,因为∠AEF3+∠BFF3=180°， 故由余弦定理有cos∠A5+cos∠B55=4-m+12-m4-n2+12-n2 =0 4W3(4-m) 4W3(4-nm 数学参考答案第1页（共9页） 整理得56-15m+m)+4mn=0.又因为AF2⊥BF2,故由勾股定理有(8-m-n)2=m2+n2, 72 ,所以AB|=8-m-n 64 整理得32-8(m+n)+mn=0,由以上解得m+n= 17 17 8.【答案】D 【解析】f)=2-al+r-aar2-x←x+ax≠0)零点的个数等价于曲线yar2-x 与直线y=-x+a交点的个数.当a=0时，y=x|与y=-x有无数个交点，不合题意： 当a<0时，曲线yar2-x与x轴的两个交点坐标分别为（仁，0）和(0,0，直线y=-x+a 与y轴的交点坐标为(0，)，因为直线y=-x+a的斜率为-1，若它们有两个交点，则需满 足a解得-1ka<0:当a>0时，曲线yar-与x轴的两个交点坐标分别为 仁0和0,0，且函数y=-a2+x在x=处的导数的值为-1，与y=-x+a的斜率相同， 即当a=1时，曲线yax2-x与直线y=-x+a在点(L,0)处相切，故当a>0时，它们总 有两个交点.综上，若函数f(x)有且仅有2个零点，则a的取值范围是(-l,0)U(0,+∞) 9.答案】AC 【解析】因为a>b,c<d,故-c>-d,所以a-c>b-d,故A正确：不妨取a=d=0, b=c=-1,则ad<bc,故B错误：因为a-b>0,d-c>0,所以(a-b)(d-c)>0, 即ad-ac-bd+bc>0,即ad+bc>ac+bd,故C正确：不妨取a=d=0,b=c=-1, 则a2+d2<b2+c2,，故D错误 10.【答案】ACD(选对一项给2分，选对两项给4分) 【解析】对于A,如图，因为DE⊥平面ABCD,故DE⊥CD,又四边形ABCD是矩形， 故CD⊥AD,且DE∩AD=D,所以CD⊥平面ADE, 因为AEC平面ADE,所以AE⊥CD,故A正确： 对于B,因为EF∥AB且EF≠AB,故BF与AE相交， 从而BF与平面AEG相交，故B错误： 对于C,方法1：以D为坐标原点，向量DA为x轴正方 向建立空间坐标系，设DE=c,则AD=√2c,故A(W2c,0,0),E(0,0,c),F(0,3,c), G(0,2,0),EF=(0,3,0),EA=(N2c,0,-c),AG=(-2c,2,0),FG=(0,-1,-c),设平 数学参考答案第2页（共9页） 面AGF的法向量为m=(x,y1,),平面ABFE的法向量为n=(x2,y2,22)，则 [-2x1+2h=0,3y2=0, 。,不妨设x,=2,x2=1,则m=(2,V2c,-V2), -y1-c21=0 2cx2-Cz2= n=(1,0,√2)，故m·n=0,所以平面AGF⊥平面ABFE,故C正确： 方法2：易知AB⊥面ADE,故有面ABFE⊥面ADE,作DH⊥AE于H,则DH⊥面ABFE, 区在R△4DE中由D2DE,可知班3B,在取C3,则D2BF包 3 且HPIIEF,又EF/DC,DG=2即HPIIDG,HP=DG,故四边形DGPH是平行四边形，故有 GPIIDH,所以GP⊥面ABFE,从而平面AGF⊥平面ABFE,故C正确： 对于D,方法1：连接AC,因为G为CD的中点，且 EF:AB=3:4,则四边形DEFG与△CFG的面积比为5：2， 所以VA-DEFG:'AcFG=5:2,又易知△ACG与△ABC的面 D5. 积 比 为 1:2 华 VA-CFG VF-ABC =VF-ACG:VF-ABC =1:2=2:4 所以'A-pEFG:'F-ABcG=VA-pErG:(VA-CrG+'F-HBC)=5:(2+4)=5:6,故D正确 DE色x,则4D2x,故V;×DG+EF)x DEx4D 6 ×CG+AB)x4DxDE=2x,即四棱锥A-DEFG与F-ABCG的体2 比为5：6，故D正确。 11.【答案】ABD(选对1项给2分，选对2项给4分) 【解析】若m=3,则第一次取出的编号为1的球的概率为；若第一次取出的是编号为2 的球。且第二次缩号为1的球故取出的概率为名若第一次取出的是编号为3的球， 且第二次编号为1的球被取出的概率为兮，放P=+名 故A正确： 3"636 箱子中有m个球，则第一次取出的编号为1的球的概率为一，若第一次取出的编号为 m s(s=1,2,1-1,1+1,,m)的球，且编号为1的球被取出的概率为 人1}-13-故Pm,m)=+6放B正 1 mm-1m-1m(m-1) mm(m-)与 数学参考答案第3页（共9页） 纺取m=3,k=,则P6-名>P4,2)-子，故C错误： 6 m2+m-21 2m(m-1) 所以P(m,k)= m-2达≥且Pm=m2≤号=.放D 2m(m-1) 2 2m(m-1)2m(m-1) 2m 正确。 12.【答案】-1 【解析】因为f(x)是定义域为R的奇函数，若f(x)在(0，+∞)的最小值为2，则f(x)在 (-0,0)的最大值为-2，又g(x)=f(x-1)+1,故g(x)在(-0，)的最大值为-2+1=-1. 13【答案1号 【解析】设P(x,),Q(x22),当线段P0平行于x轴时，片=2，故2x=4x2,x=2x2, 由抛物线几何性质可知QF=x2+1,PQ=x-x2=x2, PF引=Vx-)2+片=V4x+1,显然2F>Pg,且PF>Pg,故若△FPQ是等腰三 角形，则P=Q5,即5+1=41，解得6子故P@=名号 14【答案)6-反 2 【解析】设等边△ABC的边长为1，因为三条边在a上的射影长分别为1，√反，√5，故 由几何关系可知P-1=P-2+P-3,解得P=2士25，又因为P≥3，故 3 户=225，所以△C的面为r-5,记射影三角形为△AG,且不动 2 设AB,=1,AC1=V2,B,C,=√3，则AB+AC=B,C,所以△4B,C是直角三角 形，且∠B4G=90°，所以△4B,G的面积为2×1xV2=2 2 ,故△ABC所在平面与a 2 所成的二面角（锐角）的余弦值为S△48G。 2 √2√6-2 S△ABC √3+1√3+12 2 15.(13分) 【解析】(1)由正弦定理可得sinC=2 sin Asin Ccos(B+C). 数学参考答案第4页（共9页） 因为A+B+C=π，故cos(B+C)=-cosA,sinC=-2 sin Asin C cos A. 又sinC≠0，故2 sinAcosA=sin2A=-1. …4 分 因为A∈0，)，故2A∈0,2m),2A=3 所以A=3 …7 4 分 (2)由（1)知SAr=csm4=2c=3.故c:65. 4 因为b=2√2，故c=3. …9分 由余弦定理可知a2=b2+c2-2 bccosA=b2+c2+V2bc=29, 故a=V29 …13分 16.(15分) 【解析】(1)如图，延长AF,AC交于点M, 连接EM交BC于点N,连接FN, 因为F为CC的中点，且FC∥A4,故C为AM 的中点。 过C作CK∥AB,交EM于点K,因为E为AB 的中成做0K4=E,贺-8-号》 2 2 因为BC=6,故NC=2. …4分 3 又因为C,G=2,故tan∠GBN=tan∠FNC=三，故∠GBN=∠FNC,BG∥FN, 2 因为BGa平面AEF,FNc平面AEF, 所以BG∥平面A,EF …7分 (2)以B为坐标原点，直线BA为x轴，直线CB为y轴，直线BB,为z轴建立坐标系， 则E(3,0,0),F(0,-6,3),4,(6,0,6),G(0,-4,6,故EF=(-3,6,3),EA=(3,0.6,且记n =EG=(-3,-4,6) …9分 设平面4EF的法向量为m=,,),则3-6十3名=0 3x1+6z1=0 不妨取1=2，则m=(-4,3,2) 数学参考答案第5页（共9页） 所以c0s(m,n)）=m”=4)×(-3)+3x(-4+2×612 mn V29×V61 V1769 所以直线EG与平面AEF所成角的正弦值为 12 正切值为12√6厨 …15分 V1769 325 17.(15分) 【解析】(1)因为C的右顶点为A1,0),故a=1. 设C的一条渐近线为y=x=r,则bL=6 Vb2+13 解得b2=2 所以C的方程为x2-上 1 …5 2 分 (2)易知过点（①，）且垂直于x轴的直线与C仅有一个公共点，不合题意 设过点(L,)的直线为y=k(x-)+1,与C的方程联立有： (2-k2)x2+2k(k-1)x-k2+2k-3=0. …7分 设P,0,),则k5,△>0，且+5=2-》， K2-2k+3 k2-2 X3= k2-2 故直线AQ的方程为y2x+(1-x2)y-y2=0. A0与直线x=x的方程联立可得R(K,上-少)。 …10分 1-x2 记线段PR的中点为M(x,w),则Mk,2k-+》-2西-2水+名. 21-x2) 故直线AM的斜率为M=1-2k+)+25+2k-2 xy-1 2xx2-2(x+2)+2 x+x2-2 2xx2-206+x)+2汗k=24+k=2 2 所以M在直线y=2x-2上. …14分 故以线段PR的中点为圆心且过坐标原点的圆还过原点关于直线y=2x-2的对称点 g …15分 18.(17分) 【解折】1)=2_2=2x+1=少>0)， x3 数学参考答案第6页（共9页） 当0<x<1时，f'(x)<0,当x>1时，'(x)>0, 所以f(x)的单调递减区间是(0，)，单调递增区间是L,+∞. …3 分 (2)x)=g(x)-e2-ax=e'-e2-sinx-ax,h(x)=e*-2e2x-cosx-a, 令h'(0)=0,则a=-2. 当a<-2时，(O)>0,故存在6>0，使得当xe(0,6)时，h'(x)>0,h(x)单调递增，故当 x∈(0，d)时，h)>hO)=0,即g(x)>e2r+ax,不合题意， 当a≥-2时，h'(x)≤e-2e2r-cosx+2,且当x≥0时，e-2e2x-cosx+2≤ -e2r-cosr+2,设k(x)=-e2-cosx+2,则当x≥0时，k'()=-2e2+sinx<0,故当 x≥0时，k(x)单调递减，此时k(x)≤k(O)=0,所以当x≥0时，h'(x)≤0，h(x)单调递 减，所以当x>0时，h(x)<h(O)=0,即g(x)<e2+ax. 综上，a的取值范围是[-2，+oo). …9 分 (3)设1n2=r,则r>0,1=e∈0，故f0-gm=fe')-g0=c-2r-e+sinr, 由(2)可知，当a=-2,x>0时，h(x)<0,故f(e)>g(r). 由f1-s)=gn)=gr),得f(e')>f1-s),又e'1-se(0,),且由(1)可知f(x)在 区间(0，)单调递减，故0<e<1-s<1,即-ln=r>-ln(1-s),s<1-t,…11分 设o)=nx-x+1,则p)=二，当0<x<1时，p>0,0(单调递增，当x>1时， p'(x)<0,p(x)单调递减，故当x≠1时，p(x)<p)=0,故r>-ln-s)>s 当x>0时，g'(x)=e-cosx>0,[g'(x)=e+sinx>0,故g(x),g'(x)均单调递增. 所以f)=fe)>g(r)>g(-ln1-s)>g(s)>0. …14分 当0<x<1时，设xf'(x)+g'0-x]<2(x2-)+xe-cos0-x=u(x), u'(x)=4x+e*-cos(1-x)+x-e-*-sin(1-x)]>x[3-sin(1-x)]+(1-x)(e*-1)>0, 数学参考答案第7页（共9页） 故u(x)单调递增，0<)=0，又g'(x)单调递增，s<1-1,故0<g()<g'1-)<-∫'(0. 综上，f()f'()+g(s)g'(s)<0. …17分 19.(17分) 【解析】(1)编号为10和20的选手都在A组的概率P=CC型 …2分 C20 9 …3分 38 (2)设B组选手的编号分别为b,b,…,bn,因为编号为m和2m的选手都在A组， 故b1,b2,…,bm,2m-b1,2m-b2,…,2m-bn这2m个数的值只能取1,2，…，2m-1 这2m-1个值，故它们中必有两个数相等. +…5 分 因为b1,b,,bn互不相等，所以2m-b，2m-b2,…,2m-bn也互不相等，故一定 存在b=2m-b,其中i,j∈{L,2,,m,又因为b≠m,b≠m,故存在i≠j,使得b+b,=2m, 即在B组选手中总能找出2人，使得他们的编号之和等于2m, …7 分 (3)设晋级且没有退赛的选手共有n人，他们组成集合M={a1,a2,·,an},其中a,表 示选手的编号，i=1,2,…,n,且a<a2<…<a,9m≤n≤m 10 假设M中不存在4个元素满足其中2个元素之差等于另2个元素之差. …8分 ()当n为奇数时，考虑两组差： {a2-a1,a4-a3,…,am-1-am-2}和{a3-a2,a5-a4,…,an-am-i}. 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数，故 (a:-a)+(a4-a)+…+(a-1-a,-2)≥1+2+…+”1-n2-l 2 8 (a3-a2)+(a5-a4)+…+(a。2am-)≥1+2+…+2=”-1 8 数学参考答案第8页（共9页） 两武相加有2m≥a,≥0，-a,+1=∑a1-a,)+1≥”2+3 4 (i)当n为偶数时，考虑两组差： {a2-a1,a4-a3,…,an-am-}和{a3-a2,a3-a4,…,an-1-am-2}. 根据假设可知每组的差数都是互不相同的正整数，故 (a,-a)+(a4-a)+…+(a,-a-1）≥1+2+…+”=n2+2n 21 8 (a,-a2)+(a3-a4)+…+(a1-a-2)≥1+2+…+n-2=n2-2 28 .…14分 两式相加有2m≥a,≥0，-4，+1=公(a1-0+1≥44 4 故若2m<”+3,即n>V8m-3时，M中一定存在4个元素满足其中2个元素之差等于 4 另2个元素之差，也等价于其中2个元素之和等于另2个元素之和. 又因为当m≥10时，9>8m-3,故m>8m-3,所以在晋级且没有退赛的选手中 10 总能找出4人，使得其中2人的编号之和等于另外2人的编号之和. …17分 数学参考答案第9页（共9页）