精品解析：山东青岛第五十八中学高新学校2026届高三二模调研数学试题

2026年青岛五十八中高新学校二模调研 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由可得，即， 又，故. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期性可得复数，即可求解. 【详解】由，得， 所以. 故选：B. 3. 记等比数列的前项和为，已知，，则（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比数列下标和性质可得，结合题意可得，进而可得，即可得解. 【详解】因为数列为等比数列，则， 可得，解得或， 若，则公比， 可得，所以； 若，则公比， 可得，所以； 综上所述：. 故选：A. 4. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C 30 D. 60 【答案】C 【解析】 【详解】在的5个因式中，2个取因式中剩余的3个因式中1个取，其余因式取y,故的系数为=30，故选 C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题，求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该项，再利用排列组知识求解. 5. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用角的终边对称性，得到正弦余弦值之间的关系，再用两角差的余弦值计算即可. 【详解】角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称. 则，，且，， 故. 故选：B 6. 双曲线的两条渐近线夹角为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线渐近线夹角，得到渐近线方程的倾斜角，从而得到渐近线斜率的值，再利用的关系即可求出离心率的值． 【详解】因为两条渐近线夹角为，所以双曲线渐近线方程的倾斜角为或． 所以或． 即或，因为，所以， 即，所以． 故选：D． 7. 已知正四棱锥的侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】设底面边长为，则高，体积，设，，利用导数说明函数的单调性，即可求出函数的极大值点，从而求出. 【详解】设底面边长为，则高， 由，所以， 所以体积 ， 设，，则， 所以当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 所以当时取得极大值，即为最大值，此时该棱锥的体积最大， 此时. 故选：D． 8. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，再由为奇函数，得到，两边求导，得到，即可求出是以为周期的周期函数，再由及周期性计算可得. 【详解】因为，， 所以，， 则，即， 又为奇函数，所以，所以， 即， 所以，所以， 所以是以为周期的周期函数， 所以，，， 又，所以，，即， 所以 . 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为1 C. 的取值范围是 D. 有两个极大值点 【答案】BD 【解析】 【分析】先求出整体角的范围，作出的图象，根据题意即可求得，判断C项；取，得，利用周期定义检验判断A项；利用函数在上的图象即可判断B，D项. 【详解】因，设，则，作出函数的图象如下： 要使函数在区间上有且只有三个零点， 需使，解得，故C错误； 不妨取，则，， 因，故不是的一个周期，故A错误； 又由图知，函数在区间上取得两个极大值，也是最大值，为1，故B，D正确. 故选：BD. 10. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 【答案】ACD 【解析】 【分析】由的通项公式即可判断AC；由即可判断B；由裂项相消即可判断D． 【详解】对于A，当为偶数时，令，符合题意，故A正确； 对于B，由题知，， 故数列是公比为4的等比数列，故B错误； 对于C，由题知，， 所以，故C正确； 对于D，，， 设数列前项和为， 则，故D正确； 故选：ACD． 11. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（ ） A. B. C. D. 且 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，可根据试验过程直接计算；对于选项B，需要根据试验过程分析表达式；对于选项C，根据条件概率公式判断与是否相等；对于选项D，时，有，得，可知，，则有，可得. 【详解】对于A，若数字9被选到，有两种情况： 第一次选数时，从1到10中选到9，概率为， 第一次选到10，第二次从1到9中选到9，概率为， 所以，选项A错误； 对于B，若数字8被选到，有以下几种情况：第一次就选到8，概率为； 发生后，下一次从1到8中选到8，概率为， 发生后，下一次从1到9中选到8，概率为， 这几种情况彼此互斥，所以，选项B正确； 对于C，根据条件概率公式，， 若发生，即数字9被选到，那么在选到9的情况下， 下一次从1到8中选到8的概率为，即， 若发生，即数字10被选到，那么在选到10的情况下，可以下一次从1到9中选到8， 也可以是下一次从1到9中选到9，再下一次从1到8中选到8， 即， 所以，选项C正确； 对于D，对于即选中的情况，设为选中数当中不小于的最小整数， 则 ， 当时，有，，， 结合知，， 所以最大数选取是任意的，始终有， 对于同时选中情况，不妨设，可理解为从中按规则取数， 选中的概率，则有， 可得，选项D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，则的值为__________. 【答案】16 【解析】 【分析】理解正态分布的均值、方差的含义即得，再利用随机变量的方差性质即可求得. 【详解】由可得,则. 故答案为：16 . 13. 已知向量，则的最大值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出，可得，结合三角函数的性质得出答案． 【详解】∵， ∴， 则当时，取最大值． 故答案为：． 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 【答案】 【解析】 【分析】设四个顶点为，根据得到截面方程即可求解. 【详解】建立正四面体的顶点坐标， 设四个顶点为， 每条棱长均为，设动点， ， ， ， ， ， ， 因为， 所以，即所有满足条件的点构成的平面为平面（平面）， 而为正方体的顶点（如图所示），且该正方体的中心为原点， 由对称性可得棱交于，棱交于，棱交于，棱交于， 截面四边形的顶点为， 在平面上形成一个菨形，其对角线的长度为，故面积为2. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，即可证明平面，从而得到，再由勾股定理逆定理得到，即可证明平面； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【小问1详解】 连接、， 因为四边形为菱形， 所以是边长为的正三角形， 因为为中点，所以，， 又因为，平面，所以平面， 又平面， 所以， 又，，， 所以，所以， 又因为平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为直线两两垂直，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， 所以 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得，所以， 由题意知，是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 16. 在中，已知D为边BC上一点，． （1）证明：； （2）若，求BD． 【答案】（1）证明见解析 （2）1 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再由三角恒等变换化简即可得证； （2）由正弦定理及二倍角的正弦公式化简得，代入（1）中所证结论，即可得解. 【小问1详解】 如图， 在中，由正弦定理知：， 即， 要证， 即证， 即证， 即证， ， 即， 显然成立， 故原等式成立. 【小问2详解】 在中，由正弦定理可得， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以可得，即， 由（1）知，，代入可得, 所以. 17. 在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数的比例为． （1）若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率； （2）某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案： 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止． 方案二：从袋中进行有放回摸球次． 分别求两个方案红球出现频率的数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”，根据条件概率公式计算可得； （2）记“方案一”中红球出现的频率用随机变量表示，的可能取值为，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望，“方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，则，由二项分布的概率公式得到分布列，即可求出期望，再判断即可. 【小问1详解】 设事件“第2次没有摸到红球”，事件“第3次也没有摸到红球”， 则，， 所以； 【小问2详解】 “方案一”中红球出现的频率用随机变量表示， 则的可能取值为：， 且，，， ，，， 所以的分布列为： 0 1 则 ， “方案二”中红球出现的频率用随机变量表示，因为， 所以的分布列为：， 即的分布列为： 0 1 所以，则， 因为，，所以“方案二”估计的值更合理. 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析； （2）（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解析】 【分析】（1）先由题意求得，接着构造函数，利用导数工具研究函数的单调性和函数值情况，从而得到函数的单调性，进而得证函数在区间上存在唯一极值点；再结合和时的正负情况即可得证在区间上存在唯一零点； （2）（i）由（1）和结合（1）中所得导函数计算得到，再结合得即可得证； （ii）由函数在区间上单调递减得到，再结合， 和函数的单调性以以及函数值的情况即可得证. 【小问1详解】 由题得， 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点， 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存唯一使得，即在上存在唯一零点. 【小问2详解】 （i）由（1）知，则，， ， 则 ， ， ， 即在上单调递减. （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以即，又， 由（1）可知在上单调递减，，且对任意， 所以. 19. 已知双曲线，点在上．按如下方式构造点（）；过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）为坐标原点，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，求的值． 【答案】（1）， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由点可得的值，求出的方程后联立双曲线可得，即可得，再借助的方程后联立双曲线可得，即可得； （2）联立与双曲线方程，结合韦达定理可得，结合点代入可得，再利用等比数列定义与判定定理计算即可得证； （3）由，结合，从而可得与，再利用面积公式分别计算出即可得. 【小问1详解】 由题知，所以双曲线， 又过点，斜率为的直线方程为， 由双曲线与直线的对称性可知，所以， 又过，且斜率为的直线方程为，即， 由，解得或，当时，， 所以，所以； 小问2详解】 设， 则过，且斜率为的直线方程为， 联立，消得到， 由题有，得到， 由题知点在直线上，即有， 所以，因为， 则， 由（1）知，所以数列为为首项，的公比的等比数列； 【小问3详解】 由（2）知，得到， 由，即， 即， 则， ， 故，， ，， 故， ， 即，则， 则 ， ， 故. 【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于得到后，结合，从而可得与，再利用面积公式计算即可得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年青岛五十八中高新学校二模调研 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 3. 记等比数列前项和为，已知，，则（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 4. 的展开式中，的系数为 A. 10 B. 20 C. 30 D. 60 5. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称．若，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 双曲线的两条渐近线夹角为，则双曲线的离心率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥侧棱长为，那么当该棱锥的体积最大时，它的高为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 8. 已知定义在上的函数，，其导函数分别为，，，，且为奇函数，则（ ） A. 6 B. 4 C. 2 D. 0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数在区间上有且只有三个零点，则（ ） A. 是的一个周期 B. 的最大值为1 C. 的取值范围是 D. 有两个极大值点 10. 记为数列的前项和，已知则（ ） A. 2025是数列中的项 B. 数列是公比为2的等比数列 C. D. 若，则数列的前项和小于 11. 现进行如下试验：从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，记为，若，则试验结束；否则再从中任选一个数，依次类推，直至选中1为止.记事件“试验过程中，数字被选到”，表示事件发生的概率（），则（ ） A. B. C. D 且 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，则的值为__________. 13. 已知向量，则的最大值为___________. 14. 已知正四面体的棱长为，动点P满足，用所有这样的点P构成的平面截正四面体，则所得截面的面积为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 如图，四棱台的底面为菱形，，点为中点，． （1）证明：平面； （2）若，求平面与平面夹角的余弦值． 16. 在中，已知D为边BC上一点，． （1）证明：； （2）若，求BD． 17. 在一个袋子中有若干红球和白球（除颜色外均相同），袋中红球数占总球数比例为． （1）若有放回摸球，摸到红球时停止．在第次没有摸到红球的条件下，求第3次也没有摸到红球的概率； （2）某同学不知道比例，为估计的值，设计了如下两种方案： 方案一：从袋中进行有放回摸球，摸出红球或摸球次停止． 方案二：从袋中进行有放回摸球次． 分别求两个方案红球出现频率数学期望，并以数学期望为依据，分析哪个方案估计的值更合理． 18. 已知函数，其中． （1）证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； （2）设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 19. 已知双曲线，点在上．按如下方式构造点（）；过点作斜率为的直线与的左支交于点，点关于轴的对称点为，记点的坐标为． （1）求点的坐标； （2）记，证明：数列为等比数列； （3）为坐标原点，分别为线段，的中点，记，的面积分别为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $