1.5三角函数的应用练习卷2025-2026学年北师大版数学九年级下册

1.5 三角函数的应用 练习卷 一、单选题 1．如图，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13m，若sinα，则小车上升的高度是(　　) A．5m B．6m C．6.5m D．12m 2．如图，某商场有一自动扶梯，其倾斜角为，高为7米．则可表示为（    ） A． B． C． D． 3．在测量过程中，常常会遇到仰角和俯角，图中是俯角的角是（   ） A． B． C． D． 4．如图，一根3m长的木头斜靠在垂直于地面的墙上，当端点A离地面的高度为1m时，木头的倾斜角的余弦的值为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 6．如图，为了测量某楼房的高度，小明在距离大楼位置处，用高的测量仪测得顶端的仰角为，则该楼房的高度为（，，）（    ） A． B． C． D． 7．如图，，两景点相距，景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上，则，两景点相距（   ） A． B． C． D． 8．如图，一根3米长的竹竿斜靠在墙边（），倾斜角为，当竹竿的顶端A下滑到点时，底端B向右滑到了点，此时倾斜角为，则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题 9．如图，渔船向东航行，8点到达O处，看到灯塔A在其北偏东方向，距离12海里，10点到达B处，看到该灯塔在其正北方向，则渔船每小时航行__________海里．    10．如图，飞机P在目标A的正上方1100米，飞行员测得目标B的俯角为，那么地面A、B之间的距离为________米（结果保留根号）． 11．如图，垂直于水平面的信号塔建在垂直于水平面的悬崖边B点处，某测量员从山脚C点出发沿水平方向前行78米到D点（点A，B，C在同一直线上），再沿斜坡方向前行78米到E点（点A，B，C，D，E在同一平面内），在点E处测得信号塔顶端A的仰角为，悬崖的高为米，斜坡的坡度（或坡比），则信号塔的高度约为_______（参考数据：） 12．如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是______米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，） 13．如图，在一笔直的海岸线上有两个观测站，在的正西方向，从观测站测得船在北偏东的方向，从观测站测得船在北偏西的方向，且船离观测站的距离为，则两个观测站之间的距离为_________________．（结果用根号表示）． 三、解答题 14． “实验是获取真知的关键途径”．如图，某校在实验楼上悬挂一块高为6米的标语牌，小明和小张准备在数学活动课上测标语牌的底部D到地面的距离，小明在点E处测得标语牌底部点D处的仰角，小张在点F处测得标语牌顶部点C处的仰角，经测量，，测角仪的支架高，已知，，，点A、B、H在同一条直线上，点C、D、N、H在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求点D到地面的距离．（参考数据：，，） 15．如图，某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面的倾斜角由降为，如果改动前电梯的坡面长为12米，点D，B、C在同一水平地面上，求改动后电梯水平宽度增加部分的长．（结果精确到0.1米，参考数据：，，） 16．如图，一艘海轮位于灯塔的北偏东方向，距离灯塔100海里的处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处．这时，处距离处有多远？（参考数据：，，） 17．如图，某货轮向正北方向航行，在处时测得灯塔在货轮的北偏西方向，灯塔在货轮的北偏东方向．当货轮到达处时，测得灯塔在货轮的正西方向，灯塔在货轮的正东方向，且灯塔，相距海里． (1)处与灯塔的距离是多少海里？ (2)当货轮到达处时，测得货轮与灯塔的距离是600海里，此时灯塔在货轮的什么方向上？（参考数据：，，） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】根据正弦的定义列式计算,得出答案. 【详解】设小车上升的高度是xm. ∵sinα, ∴, 解得:x=5. 故选:A. 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用类型中的坡度坡角问题,准确理解定义,列出式子. 2．D 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，设扶梯的长度为x米，利用正弦的定义得到，然后求出x即可，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 【详解】解：设扶梯的长度为x米， 由题意得，， 解得, 故选D． 3．C 【分析】根据俯角的定义解答即可．本题考查了仰角，俯角，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是俯角的是． 故选：C． 4．A 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是将题目中的条件进行转化，得到所求问题需要的条件即的长． 根据题意可以求得的长度，从而可得的值． 【详解】解：由题意可知，在中，， ， ， 故答案为：A． 5．A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 6．D 【分析】利用的正切值求出，再求出即可． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∵， ∴， ∴． 7．B 【分析】根据题意可得，，根据三角形的内角和定理可得，由角所对的直角边和斜边的关系，可得，根据勾股定理即可得． 【详解】解：∵景点位于景点A北偏东方向上，位于景点北偏西方向上， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，两景点相距， ∴． ∴，两景点相距． 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，三角形的内角和定理，含角的直角三角形，解直角三角形的应用． 8．D 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解直角三角形，直角三角形，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， 在中，， 在中，， ∴； 故选D． 9． 【分析】利用锐角三角函数求出的长，利用路程除以时间求出速度即可． 【详解】解：由题意，得：海里， ∴海里； ∴渔船每小时航行海里； 故答案为：． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用．熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 10． 【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的应用，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键； 根据题意作出俯视角，利用平行线的性质和锐角三角函数解答即可． 【详解】解：如图所示 ， 故答案为． 11．25米/ 【分析】本题考查了解直角三角形应用-测高问题，解题的关键是作，构造直角三角形，应用已知条件解直角三角形． 过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M，设米，则米，在中，利用勾股定理求出x的值，进而可得出的长，可得出的长．由矩形的判定定理得出四边形是矩形，可得出，再由锐角三角函数的定义求出的长，进而可得出答案． 【详解】解：过点E作交的延长线于点F，过点E作于点M， ∵斜坡的坡度（或坡比），米， ∴可设米，则米， 在中，∵， ∴， 解得， ∴米，米， ∴米． ∵， ∴四边形是矩形， ∴米，米． 在中，∵， ∴米， ∴米． ∴米． 故答案为：25米． 12．89.28 【分析】本题考查解直角三角形的应用，作，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：作，由题意，米， 在中，米， 在中，米， ∴； 故这栋楼的高度是89.28米； 故答案为：89.28． 13． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解决本题的关键是掌握构建直角三角形． 如图，过点C作于点D，从而两个直角三角形，然后在两个直角三角形中利用直角三角形的边角关系列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于点D， 则，，， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．点到地面的距离的长约为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据等腰直角三角形的性质得到，根据正切的定义求出，结合图形计算即可． 【详解】解：由题易得四边形、四边形均为矩形， 则， ， ， 由题意可得，，， 设，则， ， 在中，， ， ， 解得：， ， 答：点到地面的距离的长约为． 15．改动后电梯水平宽度增加部分的长为6.2米 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数，是解题的关键，分别解，求出的长，利用线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：由题意，在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴； 答：改动后电梯水平宽度增加部分的长为6.2米． 16．处距离处有140海里． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题．过作于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：过作于， 在中，，海里， （海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， 答：处距离处有140海里． 17．(1)处与灯塔的距离约是270海里 (2)灯塔在货轮的南偏东方向上 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用． （1）由题意得，，，则， 根据灯塔，相距海里，可得，在中，已知，利用三角函数定义即可解答； （2）由题意得为直角三角形，利用正弦函数定义，，故，结合方位角定义即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可知，，，，则， 灯塔，相距海里， ， 在中，， 解得（海里）， 故处与灯塔的距离约是270海里； （2）由（1）可得（海里）， 在中，， 所以，即灯塔在货轮的南偏东方向上． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $