专题1 构造直角三角形解直角三角形&1.5 三角函数的应用-【鸿鹄志·名师测控】2025-2026学年九年级下册数学（北师大版）陕西专版

专题一 构造直角三角形 类型1利用作高构造直角三角形 (一)不含特殊角的非直角三角形 1.如图，在△ABC中，AB=AC=5,sinB= 4 则BC的长是 A.3 B.6 C.8 D.9 B B (第1题图) (第2题图) 2.如图，在△ABC中，AB=10,c0sB=子，D 为BC边上一点，且AD=AC.若CD=4,则 BD的长为 (二)含特殊角的非直角三角形 名师点拨：对于含特殊角(30°，45°，60°，120°，135°， 150°)的非直角三角形，通过作高构造直角三角形时， 原则是“不破坏”特殊角，部分常见的构造形式如下 (第三个图中，∠BAC=120°或135°也适用)： 445°60B 45601 150 3.如图，在△ABC中，∠A=120°，AB=4, AC=2,则BC的长是 A.√7 B.5 C.2/5D.2√7 430 45>B (第3题图) (第4题图) 4.如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°， BC=3√2，则AB的长为 5.(易错题)在△ABC中，AB=3√6，AC=6,∠B= 45°，则BC的长为 6.如图，AD是△ABC的中线，1anB= csC-号AC=克 (1)求BC的长； 解直角三角形通性通法】 (2)求cos∠ADC的值. 类型2利用已知直角构造直角三角形 7.如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°， AB=6,BC=4,anA=青，求AD的长. 类型3利用勾股定理的逆定理构造直角三角形 8.如图，在边长为1的正方形 网格中，点A,B,C均在格 点上，则cos∠ABC的值为 A司 B.6 C.② 2 D③ 3 提示 请完成阶段微测试（一）[1.11.4] 数学Ⅱ九年级下册(BS)10 5 三角丞 【基础过关 、·逐点击破 知识点1利用三角函数解决方向角问题 1.如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东30° 方向上，渔船向正东方向航行l2 n mile到达 B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这 时渔船与灯塔C的距离是 A.12√3 n mile B.6√3 n mile C.6 n mile D.4√/3 n mile 北 →东 (第1题图) (第2题图) 2.如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处 测得灯塔M在北偏西40°方向，货轮以 20 n mile/h的速度航行0.8h后正好到达 灯塔M的正东方向的B处，此时货轮与灯 塔M的距离约为 n mile.（结果精确 到0.1 n mile,参考数据：sin40°≈0.64， cos40°≈0.77，tan40°≈0.84) 知识点2利用三角函数解决仰角、俯角问题 3.(2025·长春中考)如图，已知某山峰的海拔 高度为mm,一位登山者到达海拔高度为 nm的点A处，测得山峰顶端B的仰角为a, 则A,B两点之间的距离为 A.(m-n)sin a m B.n二2m sin a 海平面 C.(m-n)cos a m D.m-”m cos a 4.(2025·广安中考)随着科技的发展，无人机 在实际生活中应用广泛.如图，O,C是同一 水平线上的两点，无人机从点O竖直上升到 点A,在点A测得点C的俯角为30°，A,C两 11第一章直角三角形的边角关系 数的应用 点的距离为24m.无人机继续竖直上升到点 B,在点B测得点C的俯角为36.9°.求无人 机从点A到点B的上升高度AB.(结果精 确到0.1m,点O,A,B,C在同一平面内，参 考数据：sin36.9°≈0.60，cos36.9°≈0.80， tan36.9°≈0.75，√3≈1.73) S 36.9B D- 0 知识点3利用三角函数解决坡度问题 5.如图，将一个Rt△ABC形状的楔子从木桩 的底端点P处沿水平方向打入木桩底下，使 木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为 18°.若楔子沿水平方向前移6cm(如箭头所 示)，则木桩上升了 18 B 6 A.6tan18°cm B. tan 185 cm C.6sin18°cm D.6cos18°cm 6.(2025·绥化中考)如图，某 水库堤坝横断面迎水坡AB 的坡度i=1：√2，堤坝高 BC=15m,则迎水坡AB的长是 m 【能力提升 ···整合运用 7.(教材P19“想一想”变式)(2025·陕西中考) 小涵和小宇想测量公园山坡上一个信号杆 的高度.在征得家长同意后，他们带着工具 前往测量.测量示意图如图所示，他们在坡 面FB上的点D处安装测角仪DE,测得信 号杆顶端A的仰角a为45°，DE与坡面的夹 角B为72.5°，又测得点D与信号杆底端B 之间的距离DB为22m.已知DE=1.7m, 点A,B,C在同一条直线上，AB,DE均与水 平线FC垂直.求信号杆的高AB.(参考数 据：sin72.5°≈0.95，cos72.5°≈0.30， tan72.5°≈3.17) 2-fD----- ·思维拓展 ◆◆◆强化素养 8.(2025·烟台中考)【综合与实践】 烟台山灯塔被誉为“黄海夜明珠”，它坐落在 烟台山上，为过往船只提供导航服务.为了 解渔船海上作业情况，某日，数学兴趣小组 开展了实践探究活动。 如图，一艘渔船自东向西以每小时10 n mile 的速度向码头A航行，小组同学收集到的部 分信息如下表. 码头A在灯塔B北偏西14°方向 14:30时，渔船航行至灯塔B北偏东53°方 位置 向的C处 信息 15:00时，渔船航行至灯塔B东北方向的 D处 天气 受暖湿气流影响，今天17：30到夜间，码头 预警A附近海域将出现浓雾天气.请注意防范 请根据以上信息，解答下列问题： (1)求渔船在航行过程中到灯塔B的最短距离； (2)若不改变航行速度，请通过计算说明渔船 能否在浓雾到来前到达码头A.(参考数 据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37≈ 0.75,sin14°≈0.24，cos14°≈0.97， tan14°≈0.25) 数学Ⅱ九年级下册(BS)123三角函数的计算 基础过关 1.A2.解：(1)原式≈0.9763.(2)原式≈-0.6959.(3)原式 ≈1.7692.3.A4.B5.(1)17°40'5”(2)83°4841 (3)8224306.2335′ 能力提升 7.C8.8.169.解：由题意，得BD=120m,AB=50m,CD= 75m.易得AE=BD=120m,DE=AB=50m,∴.CE=CD DE=25m在R△ADE中，ama==品=高a 5 2.6在R△ACE中，an-是-高=名1.8的 角a约为22.6°，仰角B约为11.8°， 4解直角三角形 基础过关 1.A2.C3.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，a=√6，c=2√2， b=P-a=厄.sinB=b=E=1 c22=交.∠B=30. .∠A=90°-∠B=60°.4.D5.156.解：(1)∠B=60°， ∠A=90°-∠B=90°-60°=30°.a=8,.c=2a=16..b =c·sin60°=16×5=8V5.(2):∠C=90°，∠B=45∠A =45°.∠A=∠B.而b=√6，∴.a=b=√6.根据勾股定理，得c2 =a2+b2,即c=23.7.4sin40°8.1.89.4或14 能力提升 10.A11.0.3112.6√513.(1)证明：：AD是BC边上的 高，∴.AD⊥BC.∴∠ADB=∠ADC=90°.在Rt△ABD中， mB=部在△ACD中，as∠DAC=是：mB= as∠DAC部-是AC=BD(2)解：在R△ACD中， S血C-是-是设AD=12,则AC=BD=13,在R1△ACD 中，由勾股定理，得CD=√AC-AD=5x.:BD十CD=BC =12,13x+5x=12,解得x=号.AD=12X号=8. 思维拓展 14.解，1：∠C=90,amB=瓷=是.∴设AC=3a,则BC =4x.在R△ABC中，：AC2+BC=AB,∴.(3x)+(4x)2= 52,解得x1=-1(舍去)，x2=1,∴.AC=3,BC=4.BD=1, ∴.CD=BC-BD=3.在Rt△ACD中，AD=√CD+AC= 32.(2)过点D作DE⊥AB于点E,则∠AED=∠BED=90. 在R△ABC中，AC=3,AB=5,mB=S=号在 R△BDE中，BD=1,DE=BD·sB=子，在R△ADE 中，AD=3Esma-器-得 第2页( 专题一 构造直角三角形解直角三角形通性通法】 1.B2.43.D4.3十355.33+3或33-36.解： (1)过点A作AE⊥BC于点E.:cosC=,∠C=45 2 ∴.∠CAE=90°-∠C=45°=∠C.∴.AE=CE.在Rt△ACE中， CE=AC·cosC=1,.AE=1.在Rt△ABE中，tanB=5= 3BE=3AE=3.·BC=BE+CE=4.(2):AD是△ABC 的中线CD=BC=2.DE=CD-CE=1.:AELBC, DE=AE-=1,·∠ADC=∠DAE=45.∴coS∠ADC=g 2 7.解：延长AD,BC,交于点E.在Rt△ABE中，：tanA=BE AB 号，AB=6,BE=&.AE=VAB+BE=10,CE=BE BC=4.∴c0sE==手，在R△CDE中，CE=4,DE CEsE=普AD=AE-DE=8B 5三角函数的应用 基础过关 1.A2.13.43.B4.解：由题意，得BD∥AE∥OC, ∴.∠BCO=∠DBC=36.9°，∠AC0=∠EAC=30°.在 R△A0C中，AC=24m,∠AC0=30,0A=AC=12m, OC=AC·cos∠ACO=12√3m.在Rt△BCO中，OB=OC· tan∠BCO≈9√5m..AB=OB-OA=9√5-12≈3.6(m). 答：无人机从点A到点B的上升高度AB约为3.6m.5.A 6.15√3 能力提升 7.解：过点E作EI⊥AC于点I,过点D作DH⊥AC于点H AB,DE均与水平线FC垂直，∴.DE∥AC.∠DBH= ∠BDE=72.5°..DH⊥AC,∴.∠DHI=90°.在Rt△DBH中， BD=2m,m72.5-器os72.5-器则DH=BD sin72.5°≈22×0.95=20.9(m).BH=BD·cos72.5°≈22× 0.30=6.6(m).:过点E作EI⊥AC于点I,过点D作DH⊥ AC于点H,DE∥AC,∴.∠EDH=∠DHI=∠HIE=90..四 边形EDHI是矩形..EI=HD=20.9m,IH=DE=1.7m. :∠AEI=45,∠AIE=90°..∠EAI=45°..AI=EI= 20.9m.∴.AB=A1+IH-BH=20.9+1.7-6.6=16(m).答： 信号杆的高AB约为16m 思维拓展 8.解：(1)过点B作BE⊥AC于点E.设BE=x n mile,由题意， 得∠EBC=53,∠EBD=45,CD=10X号=5(n mile).∠C =90°-∠EBC=37°，DE=x n mile...EC=-DE+CD=(x+ 5)mile,.在Rt△BCE中，EC=,B ac≈产a7=专x(amie)， x “专x=x十5，解得x=15.∴BE=15 n mile..渔船在航行过 程中到灯塔B的最短距离为15 n mile.(2)在Rt△ABE中， 共24页) ∠ABE=14°，BE=l5 n mile,.AE=BE·tan∠ABE≈ 3.75 n mile.(1)CD=5 n mile,DE=15 n mile,.'.AC=AE +DE+CD=23.75 n mile.23.75÷10=2.375(h)= 142.5(min),从14：30经过142.5min是16：52：30，.不改变航 行速度，渔船能在浓雾到来前到达码头A. 6利用三角函数测高 基础过关 1.A2.A3.解：(1)由题意，得BC⊥CD.在Rt△BCD中， ∠BDC=45°，CD=26m,.∴.BC=CD·tan∠BDC=26m.答： 楼高BC为26m.(2)在Rt△ACD中，∠ADC=50°，CD= 26m,.AC=CD·tan50°≈26×1.2=31.2(m)..AB=AC BC=31.2-26≈5(m).答：旗杆的高度AB约为5m.4.解： 由题意，得CG⊥AB,CD=EF=BG=1,7m,设EG=xm. .CE=DF=5.5m,..CG=CE十EG=(x十5.5)m.在 Rt△ACG中，∠ACG=16.7°，∴.AG=CG·tan16.7°≈0.3(x+ 5.5)m.在Rt△AEG中，∠AEG=22°，.∴.AG=EG·tan22°≈ 0.4xm..0.4x=0.3(x+5.5),解得x=16.5..AG=0.4x= 6.6m..AB=AG十BG=6.6十1.7=8.3(m).答：长城第一墩 的高度AB约为8.3m. 能力提升 5.解：延长DE交AB于点F,则四边形BCDF是矩形，∴.DF= CB,∠AFD=90°，BF=CD=1.4m.在Rt△ABC中， tan∠ACB=B是，∴.BC=AB an61Ag.在Rt△AFD中 m∠ADF=∴DF=5=A≈A品 tan59° 1.66 六背=6站兰，A=18m答：贞观纪念晚的商度A0约 1.66 为18m.6.解：过点C作CG⊥AB于点G,过点D作DH⊥ AB于点H,则四边形CDHG是矩形，.GH=CD=10m,CG =DH.:∠1=45°，.CG=AG.设CG=AG=DH=xm,.在 Rt△BCG中，∠2=52°，.BG=CG·tan52°≈1.3xm.在 Rt△BDH中，∠3=65°，.BH=DH·tan65°≈2.lxm. .GH=BH-BG=2.1x-1.3x=10.解得x=12.5.∴.AB= BG+AG=1.3×12.5十12.5≈29(m).答：大楼的高度AB约为 29m. 专题二解直角三角形应用中的基本模型 1.7.42.2103.120√34.解：过点A作AE⊥CD于点E. 由题意，得四边形ABCE为矩形.所以CE=AB=13.20m. :在R△ACE中，am∠CAE-是.：AE=m正 CE 13.20 an23.g≈30.0(m).在Rt△ADE中，cos∠DAE=号， os∠DAE=cos36.g≈37.5(m).答：AD的长约为 ..AD-- AE 30.0 37.5m.5.100√56.解：连接BD交EF于点G,交PQ于点 H.由题意，得AB=CD=EG=HP=1,6m,EF⊥BG,QP⊥ BH,AC=BD=4 m,CE=DG=21 m,PQ=64 m,..QH=QP -PH=64-1.6=62.4(m).在Rt△BQH中，∠QBH=21.3°， 第3页( BH=QH,≈62,4=160(m).DH=BH-BD=160 tan21.3≈0.39 4=156(m).:EF⊥BG,QP⊥BH,.∠FGD=∠QHD=90°. :∠FG=∠QDH,△FGD△QHD.-品脚 21 =i6FG=8.4m.EF=FG+EG=8.4+1.6=10(m), 答：玄类法师铜像EF的高度约为10m.7.10038.200Y3 3 3 9.解：(1)：四边形PQMN是矩形，∴∠Q=∠P=90°.在 Rt△ABQ中，∠ABQ=60°，AB=5.4m,AQ=AB· sin∠ABQ=275m,∠QAB=30.:四边形ABCD是矩形， 10 .AD=BC,∠BAD=∠BCD=∠ABC=∠BCE=9O. ∴.∠CBE=180°-∠ABQ-∠ABC=30°.∴.AD=BC= CE tan∠CBE =8yEm.:∠PAD=180°-∠QAB-∠BAD= 5 60,:AP=AD.cos /PAD=3 m.PQ=AP+AQ= 5 E≈6.1(m).(2)在Rt△BCE中，BE CE 2 sin∠CBE=3,2m, 在Rt△ABQ中，BQ=AB·cos∠ABQ=2,7m.,该充电站有 20个停车位，∴.PN=QM=BQ十20BE=66.7m. 第一章章末复习 思维导图 对边邻边对边斜边邻边斜边之号怎号 19合5 2 考点整合 1B2.B3.D4.-125.56.15+3(2)60 5 2.135°8259. 7 5 10.解：(1)AE=BE=AC=10,AD ⊥C,DE=DC在R△ACD中，mC-8是=号CD= ACX16.DE-DC-6.CE-DE+DC-12. BE=AE=10,.BC=BE+CE=10+12=22.(2)在 Rt△AED中，由勾股定理，得AD=√AE一DE=√I02-6 =8.又BD=BE+DE=10+6=16,∴mB-部-是=2 11.18012.1013.解：(1)由题意，得∠CBE=60°，∠CAF= 30°，∠BDM=45°，BM⊥DM,BE∥AF∥DM,∴.∠BCM= ∠CBE=60°，∠ACM=∠CAF=30°..∠ACB=∠BCM ∠ACM=60°-30°=30°.(2)：∠CBE=60°，∴∠CBM=90° ∠CBE=90°-60°=30°.由(1)得∠ACB=30°，.∠CBM= ∠ACB=30°..AB=AC=800m.在Rt△ACM中，sin∠ACM 0os∠ACM-8器.AM=AC·sn∠ACM=80× =AM sin30°=800X2=400(m),CM=AC·cos∠ACM=800× 共24页)