专题1.5 三角函数的应用+利用三角函数测高 讲义-2025-2026学年北师大版数学九年级下册

三角函数的应用+利用三角函数测高 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 锐角三角函数之间的关系 考点梳理 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 1、互余关系：， ； 2、平方关系：； 3、倒数关系：或； 4、商数关系：． 　　要点诠释： 　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 典例引领 考向01 利用同角三角函数关系求值 【例1】如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 考向02 求证同角三角函数关系式 【例2】如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 考向03 互余两角三角函数的关系 【例3】计算: 考向04 三角函数综合 【例4】在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 对点提升 【对点1】在中，如果，，那么的值是______． 【对点2】如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【对点3】已知α为锐角，，则____． 【对点4】如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 考点02 解直角三角形在实际问题中的应用 考点梳理 1. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2. 常见类型 （1）仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 图（1） 图（2） （2）方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． （3）坡度、坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 典例引领 考向01 方位角问题 【例1】如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题： (1) ， ； (2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，） 考向02 仰角俯角问题 【例2】某数学兴趣小组准备利用小楼来测量教学楼的高度，他们在小楼的楼顶处测得教学楼楼顶的仰角为，并测得教学楼底部的俯角为，如图，若小楼的高度为米，求教学楼的高度．（精确到米，参考数据：，，） 考向03 坡度坡比问题 【例3】紫鹊界梯田（如图1）位于娄底市新化县，是苗瑶先民在山脊上用2000年时间雕刻出的8万亩壮丽画卷．如图2，梯田所在山坡的坡度为，山底有一条小路，几位同学在老师的指导下使用无人机在距离地面（小路所在平面）高度为的点D处，分别测得小路两端A、C的俯角为和，测得山顶B的仰角为．（结果保留整数，取，，，，） (1)求小路的长度； (2)求梯田坡面的长度． 考向04 其他问题 【例4】在单县湖西公园，我们可以看到类似图①这种凉亭，供人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点到地面的距离．如图②，已知，，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为，当太阳光恰好能照射到石桌中心点处，此时太阳光与桌面的夹角为．已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度为为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 对点提升 【对点1】如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ） (1)求A、B两地的距离（结果保留根号）； (2)小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）． 【对点2】如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） 【对点3】成都龙泉山丹景台景区的核心观景塔是城市地标建筑，某数学实践小组开展测量观景塔高度的实践活动．如图，在水平地面的A处测得观景塔顶端P的仰角为，沿坡度的斜坡向上行走65米到达B处，在B处测得观景塔顶端P的仰角为．已知水平地面，垂足为O，过点B作于点C，于点D，所有点均在同一平面，求观景塔的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 【对点4】双人赛艇（如图1）是体育赛事中极具竞技性和观赏性的项目．现有一赛艇在一处宽阔水域上训练．小明和爸爸分别在岸边的A处和B处观看（如图2），当赛艇在水面上C处时，他们观测赛艇的视线与岸边所夹的锐角相等，即，．赛艇从C点开始沿与岸边平行的方向划行，同时，小明沿岸边从A处步行走向爸爸所在的B处，当小明走到B处时，赛艇划行到D处，小明再次观测赛艇，视线与岸边的夹角，如果小明步行的速度是，从A处步行到B处用时100秒，求赛艇相对岸边的速度．（参考数据：，，，，，，结果保留一位小数）       1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 三角函数的应用+利用三角函数测高 知识归纳与题型总结 思 维 导 图 培 优 讲 练 考点01 锐角三角函数之间的关系 考点梳理 如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°． 1、互余关系：， ； 2、平方关系：； 3、倒数关系：或； 4、商数关系：． 　　要点诠释： 　　锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便． 典例引领 考向01 利用同角三角函数关系求值 【例1】如图，在菱形中，，对角线，相交于点O，且．延长到点E，在内作射线，使得，过点B作，垂足为H，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据菱形的性质得到，再利用三角函数得到，证明即可得到答案． 【详解】解：菱形中，， ，点为中点，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 考向02 求证同角三角函数关系式 【例2】如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 考向03 互余两角三角函数的关系 【例3】计算: 【答案】2 【分析】先将转化为，再代入特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】解： ． 考向04 三角函数综合 【例4】在平面直角坐标系中，点坐标为，在轴上找点，使得的值最小，则此时的点的坐标及的最小值分别为（    ） A．； B．； C．； D．； 【答案】B 【分析】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，根据对称的性质得出，，，根据特殊角的三角函数值求出，得出，结合垂线段最短得出当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，求出，根据特殊角的三角函数值求出，求出，求出，求出点的坐标，即可求解． 【详解】作点关于轴的对称点，连接、，与轴于点，过点作交于点，交轴于点，过点作交于点，如图： 则坐标为， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 当点、、三点共线时，即，的值最小， 此时， ∴当点为与轴的交点时，的值最小，最小值为的长，即点与点重合， ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， 即的最小值为． ∵，， ∴， 在中，， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴使得的值最小时，点的坐标为，的最小值为． 对点提升 【对点1】在中，如果，，那么的值是______． 【答案】 【分析】根据正切函数的定义得到，再根据勾股定理得到，最后根据的定义进行计算即可． 【详解】解：在中， ， ， ， 由勾股定理得：， ． 【对点2】如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 【对点3】已知α为锐角，，则____． 【答案】 【分析】根据和已知条件求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∵α为锐角， ∴． 【对点4】如图所示，在中，，，点E是边上不与端点重合的一个动点，作交于点D，将沿折叠，点B的对应点为F，当为等腰三角形时，则的长为______． 【答案】或 【分析】当时，过点Ｆ作于点Ｍ，设，则，得到；设，则，则，求解即可． 【详解】解：，， ， 沿折叠，点B的对应点为F， ，， 为等腰三角形， 当时， ， ， 过点Ｆ作于点Ｍ， ， ， ， ， 设，则， 则， 根据题意，得， ， 解得； 当时， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得； 考点02 解直角三角形在实际问题中的应用 考点梳理 1. 利用解直角三角形解决实际问题的步骤： （1）将实际问题抽象为数学问题，即画出平面图形，转化为解直角三角形的问题； （2）根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 2. 常见类型 （1）仰角、俯角 当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角；当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角． 如图（1）所示，OC 为水平线，OD为铅垂线，OA，OB 为视线，我们把称为仰角，称为俯角． 图（1） 图（2） （2）方位角 正北方向或正南方向与目标方向所形成的小于90°的角叫做方位角． 如图（2）所示，OA所表示的方位角是北偏东55°，OB 所表示的方位角是南偏东45°，OC所表示的方位角是南偏西70°，OD所表示的方位角是北偏西30°． （3）坡度、坡角 坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i，即，坡度通常写成的形式． 坡面与水平面的夹角叫坡角（或倾斜角），记作，于是有． 典例引领 考向01 方位角问题 【例1】如图，一货船从A处前往北偏东方向相距的B处．在A处北偏东方向，B处北偏西方向有一个小岛P，小岛周围有暗礁．请回答下列问题： (1) ， ； (2)如果货船沿着原来的方向行驶，是否有触礁的危险？（参考数据：，） 【答案】(1)， (2)没有触礁的危险 【分析】（1）如图（见解析），先根据题意可得，，，，再根据平行线的性质和角的和差求解即可； （2）过点作于点，解直角三角形求出的长，再与进行大小比较即可． 【详解】（1）解：如图，由题意得：，，，， ∴，， ∴． （2）解：如图，过点作于点， 设， 由题意和（1）得：，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得， 即在点与上所有点的连线得到的线段中，长度最小的是， ∴如果货船沿着原来的方向行驶，没有触礁的危险． 考向02 仰角俯角问题 【例2】某数学兴趣小组准备利用小楼来测量教学楼的高度，他们在小楼的楼顶处测得教学楼楼顶的仰角为，并测得教学楼底部的俯角为，如图，若小楼的高度为米，求教学楼的高度．（精确到米，参考数据：，，） 【答案】米 【分析】过点作于，在中，解直角三角形可得长，在中，解直角三角形可得长，根据求解即可． 【详解】解：如图，过点作于，则四边形是矩形， （米）， 在中，， （米）； 在中，， （米）， （米）． 答：教学楼的高度约为米． 考向03 坡度坡比问题 【例3】紫鹊界梯田（如图1）位于娄底市新化县，是苗瑶先民在山脊上用2000年时间雕刻出的8万亩壮丽画卷．如图2，梯田所在山坡的坡度为，山底有一条小路，几位同学在老师的指导下使用无人机在距离地面（小路所在平面）高度为的点D处，分别测得小路两端A、C的俯角为和，测得山顶B的仰角为．（结果保留整数，取，，，，） (1)求小路的长度； (2)求梯田坡面的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点D作，由题意得：，然后根据三角函数可进行求解； （2）过点B作，延长交于点M，由题意得：，然后可得，设，则，，进而根据三角函数可进行求解． 【详解】（1）解：过点D作，如图， 由题意得：， ∴， 在中，， 在中，， ∴； 答：小路的长度为． （2）解：过点B作，延长交于点M，如图， 由题意得：， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，设，则， ， 在中，，即， 解得：， ∴． 考向04 其他问题 【例4】在单县湖西公园，我们可以看到类似图①这种凉亭，供人休憩，小明想利用太阳光线与地面的夹角来测量凉亭顶点到地面的距离．如图②，已知，，且B，C两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为，当太阳光恰好能照射到石桌中心点处，此时太阳光与桌面的夹角为．已知石桌位于凉亭正中心（即A，E，D三点共线），高度为为凉亭柱子与地面的交点（A，B，C，D，E，M，N在同一竖直平面内），求凉亭顶点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】凉亭顶点到地面的距离约为． 【分析】连接交于点，在中，解直角三角形求得的长，在中，解直角三角形求得的长，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点， 则，， ， ， ， 在中，， 在中，， ． 答：凉亭顶点到地面的距离约为． 对点提升 【对点1】如图，四边形是某小区步道，点A，B，C，D在同一平面内，点B在点A的南偏东方向，点D在点A的正东方向，点C在点B的正东方向，点A在点C的北偏西方向，且A、C两地相距300米．（参考数据： ， ， ） (1)求A、B两地的距离（结果保留根号）； (2)小昆从点B出发沿步行到终点A，同时小萱从点A出发，沿步行到终点D，小昆与小萱步行的速度之比为，当他们首次相距100米时，求此时小萱与点A的距离（结果保留整数）． 【答案】(1)米 (2)当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米 【分析】（1）过点作于点，解直角三角形即可求得，； （2）设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点，分别求得，在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作于点， 依题意，（米）， ∴（米）， ∴（米）； （2）解：如图，设他们首次相距100米时，小昆在点，小萱在点，过点作于点， ∴米， ∵小昆与小萱步行的速度之比为， ∴， 设米，则米，米， 在中，， ∴米，米， ∴米， 在中，， ∴， 整理得，， 解得：（不是第一次相距100米，舍去）， ∴（米）， 答：当他们首次相距100米时，此时小萱与点的距离约为米． 【对点2】如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为，则该古塔的高度约为_____．（结果保留整数，参考数据：，，） 【答案】 37 【分析】根据题意构建直角三角形模型，在中，利用锐角三角函数中正切的定义，结合已知边长和角度即可求出的长 【详解】解：根据题意可知，为直角三角形，且 ，， 在 中， ． 【对点3】成都龙泉山丹景台景区的核心观景塔是城市地标建筑，某数学实践小组开展测量观景塔高度的实践活动．如图，在水平地面的A处测得观景塔顶端P的仰角为，沿坡度的斜坡向上行走65米到达B处，在B处测得观景塔顶端P的仰角为．已知水平地面，垂足为O，过点B作于点C，于点D，所有点均在同一平面，求观景塔的高度．（结果精确到米；参考数据：，，） 【答案】米 【分析】在中，利用勾股定理可得米，米，米，设，则米，米，在中，利用锐角三角函数，可求出x的值，即可求解． 【详解】解：根据题意得：米，，， 在中，米，，， ∴， 解得：米， ∴米，米， ∵在中，， ∴， ∴可设， ∴米，米， ∵在中，， ∴，即， 解得：， ∴米， 即观景塔的高度为米． 【对点4】双人赛艇（如图1）是体育赛事中极具竞技性和观赏性的项目．现有一赛艇在一处宽阔水域上训练．小明和爸爸分别在岸边的A处和B处观看（如图2），当赛艇在水面上C处时，他们观测赛艇的视线与岸边所夹的锐角相等，即，．赛艇从C点开始沿与岸边平行的方向划行，同时，小明沿岸边从A处步行走向爸爸所在的B处，当小明走到B处时，赛艇划行到D处，小明再次观测赛艇，视线与岸边的夹角，如果小明步行的速度是，从A处步行到B处用时100秒，求赛艇相对岸边的速度．（参考数据：，，，，，，结果保留一位小数）       【答案】 【分析】过点C和点D分别作的垂线，垂足分别为，由已知条件和三线合一定理可得，解得到，证明四边形是矩形，得到，，解得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点C和点D分别作的垂线，垂足分别为， ∴； ∵， ∴， 由题意得，， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ， 答：赛艇相对岸边的速度约为． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $