2.1 二次函数（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦二次函数概念及一般形式，通过复习一次函数等旧知导入，搭建从已有函数认知到二次函数学习的支架，梳理函数知识脉络，为新知学习奠定基础。 以果园产量、银行储蓄等实际情境引导学生观察变量关系，小组合作归纳二次函数定义，体现用数学眼光观察、用数学思维思考现实世界。典例精析与中考链接结合，提升学生应用能力，为教师提供结构化教学流程，助力高效教学。

九年级下册教案 2.1 二次函数 教学内容 2.1 二次函数 课时 1 核心素养目标 1.经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验； 2.能够表示简单变量之间的二次函数关系； 3.通过实际情境让学生观察、归纳出二次函数的概念，并从中体会函数的核型思想. 知识目标 1． 理解、掌握二次函数的概念和一般形式； 2．会利用二次函数的概念解决问题； 3．列二次函数表达式解决实际问题． 教学重点 对二次函数概念的理解. 教学难点 由实际问题确定函数解析式. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 1.下列函数中哪些是一次函数？为什么？(x 是自变量) (4) y = kx + 1； (5) y2 = x； (6) y = 2x + 1. 师生活动：教师提问，学生积极举手发言，预测学生能正确回答这些问题. 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：二次函数的定义 问题1 某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些树，以提高产量.但是树种多了，那么树之间的距离和每棵树接收的阳光就会减少.根据经验，估计每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. (1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ (2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式. 师生活动： (1) 这是一个开放性问题，只要学生的回答有道理就定予以肯定，如白变量有瞪子树的棵树、橙子树之间的距离、橙子树接受阳光的多少等；因变量有橙子的个数、橙子的质量等，在学生充分回 答的基础上，引导学生讨论问题(2) . (2) (100 + x)棵，(600 - 5x) 个， (3) y = (600 - 5x)(100 + x). 师提问： 这个关系式是函数关系式吗？ 预设：对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. 做一做 银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是 100 元，那么请你写出两年后的本息和 y (元)的表达式. 学生活动： 学生解答完毕的情况下，小组内推选较好的学生黑 板板书自己的解答过程，供全班同学交流、讨论，达到互通有无、查缺补漏的作用老师及时提醒注 意的问题. 想一想 (1) 两数的和是 20，设其中一个数是 x，你能写出这两数之积 y 的表达式吗? 师生活动：学生小组讨论，小组代表发言汇报讨论结果： (1) y = x(20 - x) = -x2 + 20x (2) 已知矩形的周长为 40 cm，它的面积可能是 100 cm2 吗? 可能是 75 cm2 吗? 还可能是多少? 你能表示这个矩形的面积与其一边长的关系吗? 师生活动： 引导学生画出图形，先列出这个矩形的面积与其一边长的表达式，当面积是100 cm2 ，75 cm2 时，代入表达式，通过求解一元二次方程得出边长. 预设： (2) 设矩形的其中一边长为 x，面积为 S. S = x(20 - x) = -x2 + 20x 当 S = 100 时，-x2 + 20x = 100. 解得 x = 10. 当 S = 75 时，-x2 + 20x = 75. 解得 x1 = 5，x2 = 15. 合作探究 师提问：问题 1~3 中函数关系式有什么共同点? y = -5x² + 100x + 60000 y = 100x2 + 200x + 100 y = -x2 + 20x 师生活动： 同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结. 师提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征. 然后一起归纳总结二次函数的定义. 知识要点 二次函数的定义： 一般地，若两个自变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y = ax² + bx + c( a，b，c 是常数，a≠ 0)的形式，则称 y 是 x 的二次函数. a为二次项系数，ax2 叫做二次项； b为一次项系数，bx 叫做一次项；c为常数项. 师生活动： 合作交流，归纳概括出二次函数的定义，一般形式，以及特殊形式，掌握二次函数的亮点本质， 并理解. 师提问： 同学们，可以自己举出具体的二次函数吗？ 典例精析 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③y = x2 ； ④ y = ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 师生活动：教学时，给几分钟时间先让学生尝试着解决问题，在学生出现思维盲区时，教师给予详细分析，边讲边演示，在思维的激烈碰撞过程中，逐渐形成对二次函数的认识. 方法总结 判断一个函数是否为二次函数的步骤： (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 合作探究 师生活动： 学生积极踊跃发言，问答提出的问题. 链接中考 1. (西湖区月考) 已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数. 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 解：(1) 由题意得 ∴ m = 1. (2)y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0. 知识点二：二次函数的自变量取值范围 问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范围是什么？ 1 y = -5x² + 100x + 60000 ② y = 100x2 + 200x + 100 ③y = -x2 + 20x 师生活动：先独自探究自变量的取值范围，然后小组交流形成共识。 ①∵600-5x＞0，x＞0，∴0≤x＜120，且 x 为整数. 2 x＞0. ③∵20-x＞0，∴0＜x＜20. 总结：二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制. 知识点三：列二次函数关系式 例3 一个正方形的边长是 12 cm，若从中挖去一个长为2x cm，宽为 (x + 1) cm的小长方形．剩余部分的面积为 y cm2. 写出 y与 x之间的函数关系式，并指出 y 是 x 的什么函数？ 解：由题意得y＝122－2x(x+1)， 又∵x+1<2x≤12，∴1<x≤6， 即 y＝－2x2－2x＋144(1<x≤6)， ∴ y 是 x 的二次函数. 3、 当堂练习，巩固所学 1. (武汉)下列函数中，是二次函数的是( ) 2. 已知函数 y = 3x2m-1－5 ① 当m =＿＿时，y 是关于 x 的一次函数； ② 当 m =＿＿时，y 是关于 x 的二次函数. 3. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. 求 (1) y 与 x 之间的函数解析式及自变量 x 的取值范围； (2) 当 x = 3 时矩形的面积. 设计意图：通过复习导入，将学生注意力放在正比例函数、一次函数、反比例函数的概念上，帮助学生复习函数的概念，为后面的知识讲解做铺垫. 设计意图：设计这一情境的目的是为了让学生经历数学化的过程，同时为降低难度，将门题进行了简化或理想化的处理，这是建立数学模型过程中经常用到的方法. 这个问题本身是一个离散变量的问题，教科书在这里用处理连续变量的方法处理离散变量，在数学建模中，经常运用这种做法. 设计意图：通过解决生活中的数学问题，进一步熟悉用函数表达式反映变化过程.若学生对本金、利息、利率、本息和等概念熟悉，则能够较容易地列出函数表达式. 设计意图：这里分别提供了一个几何背景和一个代数背景的问题，让学生从丰富的现实背景中体会函数模型的意义，在此阶段教学关注的重点是建立模型，而不做进一步讨论，在大量模型的基础上归纳出二次函数的基本形式. 设计意图：通过例题的解决，加深学生对二次函数概念的理解.设计温馨提示和二次函数的满足条件非常重要. 设计意图：通过练习，让学生进一步理解二次函数的定义. 设计意图：通过上面习题的练习，举出几种特殊的实例，从而提炼出二次函数的几种特殊形式和成立条件，加深学生对二次函数的形式的理解. 设计意图：通过中考的实例，加强学生对二次函数的定义理解，同时让学生体会中考的考点方向. 设计意图：通过例题的讲解，学生知道并理解二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制. 设计意图： 通过实际应用让学生经历探索和表示两个变量之间二次函数关系的过程，抽象归纳出二次函数的定义，认识数学与生活的密切联系，体会函数的模型思想，培养抽象思维能力和数学应用意识. 设计意图：考察学生对二次函数定义的理解. 设计意图：考查学生能够表示简单变量之间的二次函数关系 板书设计 2.1 二次函数 二次函数：y = ax² + bx + c a为二次项系数，ax2 叫做二次项； b为一次项系数，bx 叫做一次项；c为常数项. 课后小结 教学反思 二次函数是一种常见的函数，应用非常广泛，它是客观地反映现实世界中变量之间的数量关系和变化规律的一种非常重要的数学模型．许多实际问题往往可以归结为二次函数加以研究．本节课是学习二次函数的第一节课，通过实例引入二次函数的概念，并学习求一些简单的实际问题中二次函数的解析式．在教学中要重视二次函数概念的形成和建构，在概念的学习过程中，让学生体验从问题出发到列二次函数解析式的过程，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义. 学科网（北京）股份有限公司 $