重庆市2025-2026学年高一上学期5月数学定时作业

高一第三阶段定时作业 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1. 答题前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡相应位置上。 2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，若B⊆A，则实数a的取值集合为（ ） A. {0,1,2} B. {1,2} C. {0,2} D. {2} 2. 下列函数中，在区间(0,+∞)上单调递增且为偶函数的是（ ） A. y=x³ B. y=|x|+1 C. y=-x²+1 D. y=2ˣ 3. 已知函数f(x)=√(x-1)+√(3-x)，则函数f(x)的定义域为（ ） A. [1,3] B. (1,3) C. (-∞,1]∪[3,+∞) D. (-∞,1)∪(3,+∞) 4. 已知向量a=(2,1)，b=(1,−2)，则a与b的夹角为（） A. 30∘　B. 60∘　C. 90∘　D. 120∘ 5. 已知函数f(x)=x²-2x+3，若f(a)=f(b)（a≠b），则f(a+b)的值为（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 6. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x²-2x，则当x<0时，f(x)的解析式为（ ） A. f(x)=-x²-2x B. f(x)=-x²+2x C. f(x)=x²+2x D. f(x)=x²-2x 7. 已知集合M={x|x²-4x<0}，N={x|1≤x≤5}，则M∩N=（ ） A. [1,4) B. (0,5] C. [1,5] D. (0,4) 8. 重庆直属校常考题型：已知函数f(x)=kx+b（k≠0），若f(x)在R上单调递减，且f(1)=3，f(3)=1，则不等式f(x)≥2的解集为（ ） A. (-∞,2] B. [2,+∞) C. (-∞,1] D. [1,+∞) 二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若A⊆B，B⊆C，则A⊆C B. 若A∩B=A，则A⊆B C. 若A∪B=A，则B⊆A D. 若A∩B=∅，则A=∅或B=∅ 10. 关于函数f(x)=x+1/x（x≠0），下列说法正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 函数在(0,1)上单调递减 C. 函数在(1,+∞)上单调递增 D. 函数的值域为R 11. 已知函数f(x)的定义域为[0,2]，则下列函数中，定义域为[0,1]的是（ ） A. f(2x) B. f(x+1) C. f(x/2) D. f(2-x) 12. 结合重庆直属校月考特点，下列关于函数单调性与奇偶性的说法，正确的是（ ） A. 偶函数的图像关于y轴对称，且在对称区间上的单调性相反 B. 奇函数的图像关于原点对称，且在对称区间上的单调性相同 C. 若函数f(x)是奇函数，且f(0)有意义，则f(0)=0 D. 若函数f(x)是偶函数，则f(-x)=f(x)对任意x∈定义域都成立 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∪B=________。 14. 函数f(x)=x²-4x+5在区间[0,3]上的最大值为________。 15. 已知函数f(x)是偶函数，且当x>0时，f(x)=2x-1，则f(-2)=________。 16. 重庆直属校特色填空题：已知集合A={x|x²-ax+a²-19=0}，B={x|x²-5x+6=0}，若A∩B≠∅，则实数a的取值范围为________。 四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分10分） 已知集合A={x|x²-5x+6≤0}，B={x|2<x≤4}。 （1）求A∩B； （2）求A∪B； （3）求∁ᵣA（R为实数集）。 18. （本小题满分12分） 已知函数f(x)=x²-2ax+3（a为常数）。 （1）若函数f(x)的定义域为R，求函数f(x)的最小值（用a表示）； （2）若函数f(x)在区间[1,3]上单调递减，求实数a的取值范围； （3）若a=1，求函数f(x)在区间[0,4]上的最大值和最小值。 19. （本小题满分12分） 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=x³-3x。 （1）求当x<0时，f(x)的解析式； （2）判断函数f(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并证明； （3）求函数f(x)在区间[-2,2]上的值域。 20. （本小题满分12分）某商场销售一种进价为20元/件的商品，售价为x元/件（x≥20），每天的销售量为y件，且y与x之间的函数关系为y=-10x+500。 （1）求每天的利润W（元）与售价x（元/件）之间的函数关系式（利润=售价-进价）； （2）若每天的利润不低于2000元，求售价x的取值范围； （3）当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 21. （本小题满分12分） 已知函数f(x)=√(mx²+mx+1)的定义域为R。 （1）求实数m的取值范围； （2）若m=1，求函数f(x)的值域； （3）若m>0，判断函数f(x)的单调性，并说明理由。 22. （本小题满分12分）（重庆直属校压轴题，侧重综合应用） 已知函数f(x)对任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且当x>0时，f(x)<0。 （1）证明：函数f(x)是奇函数； （2）证明：函数f(x)在R上单调递减； （3）若f(1)=-2，求函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。 参考答案与解析 一、单项选择题 1. A 解析：A={1,2}，B⊆A，分B=∅（a=0）、B={1}（a=2）、B={2}（a=1），故a的取值集合为{0,1,2}。 2. B 解析：A为奇函数，C在(0,+∞)单调递减，D非奇非偶，B满足偶函数且在(0,+∞)单调递增。 3. A 解析：由x-1≥0且3-x≥0，得1≤x≤3。 4. C解析：a⋅b=2×1+1×(−2)=0数量积为 0，两向量垂直，夹角为90∘。 5. A 解析：f(x)对称轴为x=1，由f(a)=f(b)得a+b=2，故f(a+b)=f(2)=4-4+3=3。 6. A 解析：设x<0，则-x>0，f(-x)=x²+2x，又f(x)是奇函数，故f(x)=-f(-x)=-x²-2x。 7. A 解析：M={x|0<x<4}，N={x|1≤x≤5}，故M∩N=[1,4)。 8. A 解析：由f(1)=3，f(3)=1，得k=-1，b=4，f(x)=-x+4，解-x+4≥2得x≤2。 二、多项选择题 9. ABC 解析：D错误，如A={1}，B={2}，A∩B=∅，但A、B均不为∅。 10. ABC 解析：f(-x)=-x-1/x=-f(x)，是奇函数；f(x)在(0,1)单调递减，(1,+∞)单调递增，值域为(-∞,-2]∪[2,+∞)，D错误。 11. AC 解析：A中2x∈[0,2]→x∈[0,1]；B中x+1∈[0,2]→x∈[-1,1]；C中x/2∈[0,2]→x∈[0,4]；D中2-x∈[0,2]→x∈[0,2]。 12. ABCD 解析：四个选项均符合奇偶性与单调性的性质，为重庆直属校常考知识点。 三、填空题 13. {1,2,3,4} 解析：A∪B是所有属于A或B的元素组成的集合。 14. 5 解析：f(x)对称轴为x=2，在[0,2]递减，[2,3]递增，f(0)=5，f(3)=2，故最大值为5。 15. 3 解析：f(-2)=f(2)=2×2-1=3。 16. {-2,3} 解析：B={2,3}，A∩B≠∅，则2或3是A中方程的根，代入解得a=-2或3（验证均满足）。 四、解答题 17. 解：（1）A={x|2≤x≤3}，B={x|2<x≤4}，故A∩B={x|2<x≤3}；（3分） （2）A∪B={x|2≤x≤4}；（6分） （3）∁ᵣA={x|x<2或x>3}。（10分） 18. 解：（1）f(x)=(x-a)²+3-a²，定义域为R，故最小值为3-a²；（4分） （2）f(x)对称轴为x=a，在[1,3]单调递减，则a≥3；（8分） （3）a=1时，f(x)=(x-1)²+2，在[0,1]递减，[1,4]递增，最小值为2，最大值为f(4)=11。（12分） 19. 解：（1）设x<0，则-x>0，f(-x)=-x³+3x，又f(x)是奇函数，故f(x)=x³-3x；（4分） （2）单调递减，证明：设0<x₁<x₂，f(x₂)-f(x₁)=(x₂³-3x₂)-(x₁³-3x₁)=(x₂-x₁)(x₂²+x₁x₂+x₁²-3)，∵x₂>x₁>0，x₂²+x₁x₂+x₁²>3，故f(x₂)-f(x₁)<0，即f(x)在(0,+∞)单调递减；（8分） （3）f(x)在[-2,2]单调递减，最大值f(-2)=(-8)+6=-2，最小值f(2)=8-6=2，值域为[-2,2]。（12分） 20. 解：（1）W=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x²+700x-10000；（4分） （2）由W≥2000，得-10x²+700x-10000≥2000，解得30≤x≤40；（8分） （3）W=-10(x-35)²+2250，当x=35时，最大利润为2250元。（12分） 21. 解：（1）mx²+mx+1≥0对任意x∈R恒成立，当m=0时，1≥0成立；当m>0时，Δ=m²-4m≤0，解得0<m≤4；综上，0≤m≤4；（4分） （2）m=1时，f(x)=√(x²+x+1)，x²+x+1=(x+1/2)²+3/4≥3/4，故值域为[√3/2,+∞)；（8分） （3）单调递增，理由：m>0时，内层函数g(x)=mx²+mx+1对称轴为x=-1/2，在[-1/2,+∞)单调递增，外层函数y=√t单调递增，由复合函数单调性，f(x)在[-1/2,+∞)单调递增；在(-∞,-1/2]单调递减。（12分） 22. 解：（1）令x=y=0，得f(0)=0；令y=-x，得f(0)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)，故f(x)是奇函数；（4分） （2）设x₁<x₂，则x₂-x₁>0，f(x₂-x₁)<0，f(x₂)=f(x₁+(x₂-x₁))=f(x₁)+f(x₂-x₁)<f(x₁)，故f(x)在R上单调递减；（8分） （3）f(1)=-2，f(2)=2f(1)=-4，f(3)=3f(1)=-6，f(-3)=-f(3)=6；f(x)在[-3,3]单调递减，故最大值为6，最小值为-6。（12分） 学科网（北京）股份有限公司 $