精品解析：重庆第三十中学校2025-2026学年度高一年级第一学期第二次月考数学试题

2025~2026学年度第一学期高一年级第二次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C D. 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 5. 设偶函数的定义域为R， 当时，是减函数， 则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 以下说法错误的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为4 11. 定义，设，则下列结论正确是（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当，的最大值为1 C. 不等式的解集为 D. 的单调递减区间为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的值为______. 13. 已知幂函数在区间上单调递减，则___________. 14. 已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求值. 16. 已知函数的定义域为，集合． （1）求； （2）若集合，求实数的取值范围． 17. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. （1）求函数在R上的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 18. 已知函数奇函数. （1）求实数a的值； （2）判断函数单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 19. 教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，，求的最小值； （2）若，求的最大值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高一年级第二次月考 数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将答题卡交回.满分150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号、准考证号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、交集定义求解即可. 【详解】由于全集，集合，所以， 又因为集合，所以. 故选：B. 2. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用全称量词命题的否定直接判断得解. 【详解】命题“”是全称量词命题，其否定是存在量词命题， 所以所求否定为. 故选：D 3. 下列函数中，既是奇函数又在区间上为增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性的判断方法即可求出答案. 【详解】函数在区间上为减函数，故A错误； 函数图象的对称轴为，是非奇非偶函数，故B错误； 令，函数的定义域为， ， ，所以函数为奇函数， 因为和在上均为增函数， 故在上为增函数，故C正确； ， 当时，，此时函数在减函数，故D错误. 故选：C. 4. 已知关于x的一元二次不等式的解集为，且一元二次方程的两根为和，则的值为（ ） A. 5 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先确定一元二次不等式的解集，得到，再利用对应系数相等得到，，最后结合韦达定理得到，进而求出的值即可. 【详解】令，解得或， 而二次函数的二次项系数为正数， 因此不等式的解集为，可得，， 由韦达定理得，解得， 综上可得，故B正确. 故选：B. 5. 设偶函数的定义域为R， 当时，是减函数， 则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由偶函数的性质和单调性可解. 【详解】因为是定义域为的偶函数， 所以，， 又当时，是减函数，， 所以. 故选：C. 6. 已知函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性，结合指数函数的单调性和二次函数的单调性即可求解. 【详解】令， 因为函数在定义域上单调递增， 则区间上单调递增， 函数的图象开口向上，对称轴为， 所以， 则实数a的取值范围是. 故选：A. 7. 近日，经我国某地质与生命科研所研究发现，在热带雨林地带，某种乔木型果树的根茎长度（单位：米）与其存活时间（单位：年）近似满足函数模型：．当该种果树的根茎长度大于2.9米时，其可稳定扎根于土壤中，吸收土壤中的水分和养分从而进入“稳定期”，则该种果树从栽种开始至少需要几年才能进入“稳定期”（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由题意且，结合指数函数的单调性解不等式求解即可. 【详解】由题意，令且，则， 由在上单调递减，且， 所以该种果树从栽种开始至少需要5年才能进入“稳定期”. 故选：B 8. 已知函数是定义在R上的奇函数，且对于且，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知函数为定义在R上的减函数，根据函数的奇偶性和单调性解不等式即可求出答案. 【详解】因且，都有， 则，即 则为定义在R上的减函数， 不等式可化为 因为是定义在R上的奇函数， 则， 根据单调性可得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】运用不等式的性质，结合差比法进行判断即可. 【详解】A：因为，所以，即，因此，所以本选项说法正确； B：因为，所以，而，所以，因此本选项说法正确； C：，因为，， 所以，因此本选项说法正确； D：当时，，显然成立，，显然不成立， 所以本选项说法不正确， 故选：ABC 10. 以下说法错误的是（ ） A. 与表示同一个函数 B. 函数的值域为 C. 已知，则“”是“”的必要不充分条件 D. 函数的最小值为4 【答案】AD 【解析】 【分析】A由同一个函数的定义域和对应法则相同判断；B应用分离常数法，结合分式型函数的性质确定值域判断；C根据充分、必要性定义确定条件间的推出关系判断；D应用换元法，结合对勾函数的性质求最小值判断. 【详解】A：由的定义域为R，而的定义域为，故不是同一个函数，错； B：由在上都单调递减，易知其值域为，对； C：由满足，但不满足，充分性不成立， 由，则，必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，对； D：令，且在上单调递增，故最小值为，错. 故选：AD 11. 定义，设，则下列结论正确的是（ ） A. 有最大值，无最小值 B. 当，的最大值为1 C. 不等式的解集为 D. 的单调递减区间为 【答案】BD 【解析】 【分析】首先理解新定义函数，然后根据定义确定函数的分段表达式，最后分析每个选项的正确性. 【详解】根据定义，当时，，解不等式得， 当时，，解不等式得或， 因此，，作出函数的图象，如图所示， 根据图象，可得无最大值，无最小值，所以A错误； 根据图象得，当，的最大值为1，所以B正确； 由，得或，解得：或， 得不等式的解集为，所以C错误； 由图象得，的单调递减区间为，所以D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则的值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求出答案. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知幂函数在区间上单调递减，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据幂函数定义求出值，再根据单调性确定结果． 【详解】由题意，解得或， 又函数在区间上单调递减，则，∴． 故答案为：． 14. 已知函数，若在区间上恒大于0，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意知，当时，，根据基本不等式求出的最小值，即可求出答案. 【详解】由题意知，当时，，即， 所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为4， 所以，即， 所以实数取值范围为. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值. 【答案】（1）1 （2） 【解析】 【分析】（1）由指数幂的运算性质求解即可； （2）解法1：由求出，进而求出，代入即可. 解法2：由，两边同时平方可求出，代入即可. 【小问1详解】 原式. 【小问2详解】 解法1：由，两边同时平方可得， 所以，所以， 所以，所以原式 解法2：由，两边同时平方可得， 所以，则，解得， 所以原式 16. 已知函数的定义域为，集合． （1）求； （2）若集合，求实数的取值范围． 【答案】（1）或； （2）或， 【解析】 【分析】（1）利用根式、分式的性质求函数定义域，解分式不等式求解集确定集合，再由集合的交补运算求集合； （2）根据已知有，讨论是否为空，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由的解析式知，可得，故， 所以或， 由，故， 所以或； 【小问2详解】 由，即， 当时，，可得， 当时，，可得， 综上，或 17. 已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. （1）求函数在R上的解析式； （2）若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数是偶函数求解解析式； （2）应用函数图象结合函数单调性列出不等式计算求解. 【小问1详解】 由题意知是定义在R上的偶函数， 当时，； 故当时，， 故函数在R上的解析式为； 【小问2详解】 由函数，所以函数的单调递增区间为和 又在区间上单调递增， 故，所以. 18. 已知函数是奇函数. （1）求实数a的值； （2）判断函数的单调性，并用定义证明； （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2）在R是增函数，证明见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）利用计算，再利用奇函数的定义检验； （2）利用单调性的定义求证； （3）利用奇偶性和单调性求解. 【小问1详解】 由题的定义域为R且为奇函数，故，解得， 此时，则，则是R上的奇函数， 故； 【小问2详解】 在R是增函数，证明如下： ， 任取，且， 则， 由，得， 又，所以，即， 所以在R是增函数； 【小问3详解】 因为函数是奇函数，所以等价于. 又在R是增函数，所以， 因时，恒成立，所以， 故实数k的取值范围. 19. 教材中的基本不等式可以推广到n阶：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.即：若，，…，，则有，，，当且仅当时取等.利用此结论解决下列问题： （1）若，，求的最小值； （2）若，求的最大值； （3）对任意，判断与的大小关系并加以严格证明. 【答案】（1）4. （2） （3），，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据积为定值，利用基本不等式即可求出和的最小值； （2）根据和为定值，由基本不等式即可求得积的最大值； （3）将表达式利用基本不等式变形证明，并验证等号是否成立即可. 【小问1详解】 当，时， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为4. 【小问2详解】 当时，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 【小问3详解】 判断 证明：当时，成立. 当时， 所以 因为（），所以等号不成立，所以 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $