重庆第三十中学校2024-2025学年上学期高一年级第三次月考数学试题

2024~2025学年春季学期高一年级第三次月考 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第3页， 第Ⅱ卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试 用时120分钟， 第I卷（选择题，共58分) 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 题卡上填写清楚， 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效。 一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1.已知全集U={2,3,4,5},A={2,3},B={2,4,5},则(CA)UB= A.{4,5} B.2,3,4,5} C.{2 D.{2,4,5} 2.已知复数z=（1-i)(2+i),则z的虚部是 A.-i B.i C.-1 D.1 3.某市开展“全民阅读”实施效果的调查研究，按区域划分为核心区、开发区、远郊 区，各区的人口比例为2：3：4.现采用分层抽样的方法从各区中抽取人员进行调研， 已知从开发区抽取的人数为300，则从核心区抽取的人数为 A.90 B.120 C.180 D.200 4.已知p:x+y>2,xy>1;q:x>1,y>1,则p是g的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 高一数学FH·第1页（共4页） 5.如图1，已知AB=d,AC=b,BC=4BD,CA=3C正，则D正= A. 31→ 6-3a 4 B. 3 B C i-ia 图 D. 5 6.设l,m,n表示不同的直线，a,B,y表示不同的平面，则下列结论正确的是 A.若a⊥B,y⊥B,则a⊥y B.若l∥m,m⊥a,则l⊥a C.若m⊥n,m⊥a,n∥B,则a⊥B D.若a⊥B,m∥a,n⊥B,则m∥n 7.已知某圆柱与圆锥的高相等，它们的体积之比等于侧面积之比的平方，则圆柱与圆锥 的母线长之比为 1 0.2 8.定义在R上的奇函数f(x)满足，(1-x)=1+x).当x∈(0,2)时，f(x)=e1,则 f(2024)+f(2025)+f(2026)= A.e B.2e C.0 D.1 二、多项选择题（本大题共3小题，每个小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.某兴趣小组9名同学的数学成绩（单位：分）分别为：80,68,90,88,96,89， 70,98,91,则 A.极差是30 B.中位数是88.5 C.下四分位数是84 D.上四分位数是91 10.已知向量a=(1,-2),b=(-1,m),则下列说法正确的是 A.若d与6垂直，则m=2 B.若a∥石，则a·b的值为-5 C.若m=2,则|a-b|=2√5 D.若m=-2,则a在b方向上的投影向量为3b 高一数学FH·第2页（共4页） 11.已知正方体ABCD-A,B,C,D1的棱长为2，P为棱AA1的中点，则下列说法正确的是 A.直线PD,与BC所成的角为30° B.直线PD,与平面ABB,A所成角的正弦值为5 √5 C.BD⊥平面A1BC D.过点P且与B,D垂直的平面截正方体所得截面的面积为3√3 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效， 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知复数z满足：3·z=5-i,则z= 13.某校高一(1)班有男生20人，女生30人.已知某次数学 测验中，男生成绩的平均数为100，方差为11，女生成绩 的平均数为95，方差为16，则这次测验中班级总体成绩的 方差为 14.如图2，在平面四边形ABDC中，AB=2,∠ABC=30°，AC ⊥CB,∠BDC=120°，则DB2+DC2的最小值为 图2 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 某市政府为了鼓励居民节约用电，计划调整居民生活用电收费方案，拟确定一个合 理的月用电量标准x(千瓦时)：月用电量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分 按议价收费.为了了解居民用电情况，通过抽样，获得了100位居民每人的月均用电 量（千瓦时），将数据按照[0,100)，[100,200)，…，[600,700)分成7组，制成 了如图3所示的频率分布直方图. (1)求直方图中a的值以及所有样本的 频率 组距 平均用电量；（每组数据用该组的区间 0.003 中点值作代表) 0.002 (2)该市政府希望使85%的居民每月 a 的用电量不超过标准x(千瓦时)，估计 0.00 0.0005 x的值（保留整数），并说明理由. 0100200300400500600700电量/千瓦时 图3 高一数学FH·第3页（共4页） 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=√3-2√/3sin2x+(sinx+cosx)2 (1)求f(x)的单调递减区间； (2)若份-，aeg引，求an的值 17.（本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知2a-b=2 ccosB. (1)求角C; (2)若b=4,点D在边AB上，CD为∠ACB的平分线，且CD=2√3，求边长a的值. 18.（本小题满分17分) 如图4，在等腰梯形BCDP中，BC∥PD,BA⊥PD于点A,PD=3BC且AB=BC=1. 沿AB把△PAB折起到△P'AB的位置，使∠P'AD=90°. (1)求证：CD⊥平面P'AC; (2)求三棱锥A-P'BC的体积： (3)线段P'A上是否存在点M, 使得BM∥平面P'CD.若存在， 指出点M的位置并证明；若不 图4 存在，请说明理由. 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=log2(2+1)+bx(b∈R)是偶函数. (1)求b的值； (2)直接写出函数的单调性（不证明），并解不等式f(lx)>f(1); 3 (3)证明：方程x)-分-sin受=0在(0,1)有唯一实根x且2> 高一数学FH·第4页（共4页)20242025学年春季学期高一年级第三次月考芳 数学参考答案 第I卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 题号 1 2 3 4 5 6 > 8 答案 D C D B C B A D 【解析】 8.由f1-x)=f1+x),得f[1-(x+1)]=f[1+(x+1],，即f(-x)=f(x+2),所以 f(x+2)=-f(x),可得周期T=4,所以f(2024)+f(2025)+f(2026)=f(0)+f0)+f(2). 又f(0)=0,f1)=1,由f1-x)=f1+x),当x=1时→f1-1)=f1+1)→f(2)=0,故选 D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 题号 10 11 答案 AD BC BCD 【解析】 10.因为向量a=1,-2),b=(-1,m,对于A中，若a与b垂直，可得 a-6=1-2m=0,解得m=分，所以A不正确：对于B巾，者a/6,可得 月号解得0=2，即6=-(1，则a5=1kW-22=-5,所以B正输：对于 C中，若m=2,可得i=(-1,2),则a-b=(2,-4),所以a-=√22+(4)2=25， 所以C正确；对于D中，若=-2，可得b=(-1,-2),则 cos:6-+此时投影向量为acoa6分=，所以D不正/ 1b15 确，故选BC. 高一数学H参考答案·第1页（共7页） 11.如图1，对于A,在正方体ABCD-AB,CD中， D AD∥BC∥BC,故直线PD与BC所成的角即为直线PD与A AD所成的角，即∠ADP,在Rt△PAD中， tam∠ADP=P4=,则∠AD,P不为30°，A错误；对于B, AD 2 Q 图1 即A四，血A0=号后B正确：对于C,益接n,则g214G,又 DD⊥平面AB,C,D,AC1C平面AB,CD,所以DD⊥AC,BD∩DD=D, BD,DDC平面DDB,故AC1⊥平面DDB,BDC平面DDB,故AC⊥B,D, 同理可证AB⊥B,D，AC∩AB=A,AC,ABC平面ABC,故B,D⊥平面ABC,, C正确；对于D,由B可知B,D⊥平面ABC,故过点P且与BD垂直的平面截正方体 所得截面与平面ABC平行.设AB,BC,CC,CD,DA的中点分别为O,E, F,G,H,依次连接P,O,E,F,G,H,可得六边形POEFGH为正六边 形，而PQ∥AB,PQ在平面ABC,ABc平面ABC,故PQ∥平面ABC,·同理可证 EO∥平面ABC,EQ∩PQ=Q,EQ,PQc面POEFGH,故面POEFGH∥平面 ABC,即过点P且与B,D垂直的平面截正方体所得截面即为六边形POEFGH,边长为 V2,其面积为6×5xW2:=35,D正确，故选BCD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 1-5i 20 2 【解析】 20 13.依题意得这次测验中班级总体成绩的平均数为 ×10+,30×95=97,方差 20+30 20+30 为20 ×[000-97y°+1+，30×[95-97y+16=20.故答案为：20. 20+30 20+30 高一数学H参考答案·第2页（共7页） 14.在△ABC中，已知AB=2,∠ABC=30°，AC⊥CB,即∠ACB=90°，所以 AC=AB=2×)=1,同时BC=√AB-AC=V2-正=5·在△BCD中， 2 2 ∠BDC=120°，根据余弦定BC2=DB2+DC2-2DB·DC.coS∠BDC,可得： (W5)2=DB2+DC2-2DB.DC.-1 (2 ,即3=DB2+DC2+DB·DC,由基本不等式 DB·DC≤DB+DC:(当且仅当DB=DC时取等号).将DBDC≤DB+DC代 2 入3=DB+DC2+DB.DC中，得到3≤DB+DC:+DB+DC .设 2 EDB+DC>0),则3S1+=解得22，即DB+Dc≥2，当且仅当 DB=DC=1取得最值.故答案为2. 四、解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分) 解：(1)由题意有(0.0005+0.001×3++0.002+0.003)×100-1， 解得0.0015，……（2分) 则所有样本的平均用电量为(50×0.0005+150×0.001+250×0.001+350×0.002+450×0.003+ 550×0.0015+650×0.001)×100=395千瓦时. …（6分) (2),前5组的频率和为(0.0005+0.001×2+0.002+0.003)×100=0.75<0.85， …(8分) 前6组的频率和为0.75+0.0015×100=0.9>0.85，…(10分) 500x<600,…(11分) .(x-500)×0.0015=0.85-0.75, (12分) 解得x≈567. (13分) 16.(本小题满分15分) 解：(1)f(x)=√3-2√3sin2x+(sinx+cosx)2 =v3(1-2sin2x)+(sin2x+2sinxcosx+cos2x) =3cos 2x+sin 2x+1 =2m2x+1. …（4分) 高一数学H参考答案·第3页（共7页） 由2m+L≤2x+亚≤2m+ 3,keZ, 2 3 2 解得m+亚≤≤m+7π ,k∈Z, 12 12 所以)的单调笼减间是红+合：+ ,k∈Z.…(7分) (2)已知f)-2sm(a+ +1=2, 3 3 则2ama+1片所以m+到 ,π1 因为a后所以a+-经 …(10分) …（2分) -西x是+1x3-3-西 …（15分) 4242 17.(本小题满分15分) 解：(1)2a-b=2 c cos B,由正弦定理得2sinA-sinB=2 sinCcos B.…（2分) ysin A=sin[-(B+C)]=sin(B+C)=sin B cos C+cos Bsin C, 所以2 sin BcosC+2 cos Bsin C-sinB=2 sin C cos B, 即2 sin BcosC-sinB=0.… （4分) 因为B∈(0，D),所以sinB>0, 故2cosC-1=0,即cosC=1 …(6分) 又Ce0,四，所以c=3 (8分) 高一数学H参考答案·第4页（共7页） (2)由(1)知，C= 3 又CD为∠ACB的平分线，故∠ACD=∠BCD= …(9分) 6 其中cD-25,由三角形面积公式得Sm4C:CDsm乙ACD-分x4x25x号 2 =25, (11分) Sa-C.CDsin∠BcD=a …25x1= a. …（12分) 22 又e54C.nCsn∠Acn-4a,5-5a, …（13分) 2 2 显然Sae=SAGD+Sm,即Ba=2W5+5。 …（14分) 解得a=4. (15分) 18.(本小题满分17分) (1)证明：，∠PAD=90°，.PA⊥AD. ,在等腰梯形中，AB⊥AP, ∴，在四棱锥中，AB⊥AP, 又AD∩AB=A,AD,ABC平面ABCD, .PA⊥平面ABCD. 又，CDC平面ABCD,.P'A⊥CD. …(3分) 在等腰梯形BCDP中，AB⊥BC,PD=3BC,且AB=BC=1, ÷PD=3,4P=PD,BC=1,AD=3-1=2. 2 由勾股定理得AC=VAB2+BC2=√2，故CD=AC=√2， ∴.AC2+CD2=AD2, .由勾股定理逆定理得AC⊥CD.…(5分) ,PA∩AC=A,PA,ACC平面PAC, …(7分) .CD⊥平面PAC. …(8分) 高一数学H参考答案·第5页（共7页） (2》解，5eeBC·AB子，P41平面4BcD, 2 ∴加=s子SePA}g君 …（11分) 326 (3)线段PA上存在一点M,使得BM∥平面P'CD,M为PA的中点. …(12分) 证明：如图2，取P'A的中点M,P'D的中点N,连接BM,MN,NC. M,N分别为PA,PD的中点， .MNIIAD且N=AD 2 ,BC∥PD且PD=3BC, BC∥AD且BC=号AD 图2 .N∥BC且N=BC, .四边形NCB为平行四边形，…(14分) BM∥CW,…(15分） 又，'BME平面PCD,CNc平面PCD, BM∥平面PCD.… …(17分) 19.(本小题满分17分) (1)解：由函数f(x)=log2(2+1)+br为偶函数，得f(x)=f(-x), 2+1=log,2=-x, 即1og,2+1)+bx=10g,2+10-bx,即2r=1og:2+1 要使2bx=-x恒成立，即需2b=-1,所以b= 1 …………（4分 2)解：f=ls,2+0-=le, 22 由于当x∈[0+0)时，有2-2≥0，且2-2显然递增， a./c0-km 递增 而f(x)是偶函数，所以f(x)在（仁0,0]上单调递减. 因此偶函数f(x)在（←w,0]上单调递减，在[0，+o)上单调递增.…(6分） 高一数学H参考答案·第6页（共7页） 结合单调性，可知不等式fnx)>f)等价于|nx>l, 即nX<一1或X>1,…(8分) 解得0<x<1或x>e,所以原不等式的解集为0，U(e,+). …(10分) e e (3)证明：设g)=f(w)-1x-sinx, 1 则g()=1og,(2+1)-x-sim元x=1og2 1 sims=log:1+:sim 2x ………（12分) 从而g6)在@)上单调递诚，而80=1s0,g0=1oe,；1=108,子<0， 3 所以8(x)=0在(0,1)上有唯一实根x。· ……（15分) 又因为0-g)-l〔+)m>l1e1+sm-l 3-sin 2 从而>b子即2 …(17分) 2 高一数学H参考答案·第7页（共7页）