23.4实际问题与一次函数（第2课时）（教学设计）数学新教材人教版八年级下册

23.4实际问题与一次函数（第2课时） 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是在学习了一次函数的有关知识后，让学生经历发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的全过程，学习建立一次函数模型解决方案选择问题的方法。 2. 内容分析 本节课是一次函数应用的进阶课时，聚焦方案选择类实际问题，以分段函数、多方案对比为核心，通过建立一次函数模型，结合解析式、图象、方程与不等式进行最优方案判断，是函数应用与数形结合、分类讨论思想的综合体现。 基于以上分析，确定本节课的教学重点为：建立一次函数模型解决方案选择问题。 二、目标和目标解析 1. 目标 （1）能在实际问题中列出一次函数的表达式，并结合一次函数的图象与表达式的性质等解决简单的实际问题。 （2）经历建立一次函数模型选择解决方案的过程，培养模型观念和应用意识。 2. 目标解析 （1）能从方案选择类实际问题中提取变量，列出一次函数（含分段）解析式，借助函数图象、性质、方程、不等式完成方案比较与选择。 （2）完整经历“实际问题→建模→分析→决策”的过程，形成用函数解决最优选择问题的思维方式，强化模型观念与应用意识。 三、教学问题诊断分析 存在问题： 1. 学生难以将多方案转化为对应的函数关系，不会用方程、不等式找分界点进行方案比较。 2.对分段函数的方案选择、图象对比分析能力薄弱，容易忽略自变量取值范围 。 应对策略： 1. 引导学生“一设变量、二列解析式、三找交点、四分区间比较”，规范解题步骤。 2. 强化数形结合，用图象直观展示函数值的大小关系，突破分段与分界点难点。 基于以上分析，确定本节课的教学难点为：建立一次函数模型解决方案选择问题。 四、教学过程设计 （一）复习引入 运用一次函数解决实际问题的过程： 做一件事情，有时有不同的实施方案，从中选择最佳方案是十分必要的.在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数. 设计意图：回顾一次函数解决实际问题的流程，点明“方案选择”的生活必要性，自然引出本节课核心任务，衔接旧知、激发探究欲。 （二）合作探究 探究1 下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准. 选取哪种年卡套餐能节省游泳费用? 分析：设年游泳x次，则套餐A，B，C的游泳费用y1，y2，y3都是x的函数，在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1 800元，因此，y3=1 800（x≥0）. 若能得到y1，y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1，y2，y3的大小，从而对年卡套餐作出选择. 在套餐A中，考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式 y1= 化简，得 y1= 这个函数的图象如图所示. 类似地，可以得到刻画套餐B的游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式y2= . 在图中画出y2，y3的图象. 结合函数图象与解析式，可知： 当年游泳次数 不超过35次 时，选择套餐A能节省游泳费用； 当年游泳次数 不少于35次，不超过65次 时，选择套餐B能节省游泳费用； 当年游泳次数 不少于65次 时，选择套餐C能节省游泳费用. 设计意图：以游泳馆年卡套餐为载体，让学生亲历多方案分段函数建模、图象绘制、交点分析、区间决策的全过程，掌握方案选择的基本方法。 （三）典例分析 例 某公司要印制产品宣传材料.甲印刷厂的收费方案是：收1 500元制版费，每份材料再收1元印制费；乙印刷厂的收费方案是：不收制版费，每份材料收2.5元印制费. (1)分别写出两家印刷厂的收费y(单位：元)关于印制宣传材料数量x(单位：份)的函数解析式； (2)选择哪家印刷厂比较合算? 解：(1)由题意得，甲印刷厂的收费为：y甲=x+1500，乙印刷厂的收费为：y乙=2.5x． (2)方法1：①当y甲<y乙时，x+1500<2.5x，解得：x>1000. ②当y甲=y乙时，x+1500=2.5x，解得：x=1000. ③当y甲>y乙时，x+1500>2.5x，解得：x<1000. 综上所述，当0<x<1000时，乙印刷厂比较合算； 当x=1000时，甲、乙印刷厂一样合算； 当x>1000时，甲印刷厂比较合算. (2)方法2：在同一平面直角坐标系中画出y甲、y乙的图象： 两个函数的图象交于点(1000，2500)，结合函数图象可得： 当0<x<1000时，y甲>y乙，乙印刷厂比较合算； 当x=1000时，y甲=y乙，甲、乙印刷厂一样合算； 当x>1000时，y甲<y乙，甲印刷厂比较合算. 设计意图：通过印刷费用对比问题，示范“解析式→方程→不等式→图象”双解法，规范最优方案解题格式，提升代数与几何结合分析能力。 （四）巩固练习 练习 甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度与挖掘时间之间的函数关系如图所示，请根据图象提供的信息，解答下列问题： (1)甲队在开挖后6小时内，每小时挖________m； (2)当时，求与x之间的函数关系式； (3)请直接写出开挖后几小时，甲、乙两队挖的河渠的长度相差． 解：（2）设乙队在的时段内与x之间的函数关系式为（）， 由题图可知，函数图象过点，， 解得 当时，与x之间的函数关系式为． （3）当时， 设与x的函数关系式为（）， 可得，解得，即． 设甲队在的时段内与x之间的函数关系式为（）， 由题图可知，函数图象过点， ，解得， ． 当时，，解得； 当时，，解得或， 开挖或或后，甲、乙两队挖的河渠的长度相差． 设计意图：结合工程问题图象，训练学生由图象定解析式、分类讨论求差值，强化读图、建模、计算的综合应用能力。 （5） 归纳总结 （六）感受中考 1．（2024年山东济南）某公司生产了两款新能源电动汽车．如图，分别表示款，款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量与汽车行驶路程的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是时，款新能源电动汽车电池的剩余电量比款新能源电动汽车电池的剩余电量多_12_． 2．（2023年湖北鄂州）1号探测气球从海拔处出发，以的速度竖直上升．与此同时，2号探测气球从海拔20m处出发，以的速度竖直上升．两个气球都上升了．1号、2号气球所在位置的海拔，（单位：m）与上升时间x（单位：）的函数关系如图所示．请根据图象回答下列问题： (1)___________，____30_______； (2)请分别求出，与x的函数关系式； (3)当上升多长时间时，两个气球的海拔竖直高度差为？ 解：（2）由（1）可得与函数图象的交点坐标为， 设，， 将分别代入可得：， 解得：，， ∴，； （3）由题意可得或， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴当上升或时，两个气球的海拔竖直高度差为． 3．（2023年内蒙古）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同． (1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价； (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． 厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示： ①分别求出，与之间的函数关系； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？ 解：（1）设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元，由题意得： 解得， 经检验：是原分式方程的解， ∴. 答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元． （2）①（且为整数） 当且为整数时， 当且为整数时， ∴ ②当且为整数，时，，解得. 由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去厂家购买划算． 设计意图：对接中考真题，覆盖电量、海拔、采购优惠等高频题型，让学生明确考查方向，提升应用能力。 （七）小结梳理 （八）布置作业 1.必做题：习题23.4 第6题. 2.探究性作业：习题23.4 第7题. 五、教学反思 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $