山东青岛第一中学2026届高三年级一模考试数学试题

青岛一中2026年高三年级一模考试 数学试题 2026.04 本试卷共4页，19题.全卷满分150分，考试用时120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置 上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标 号涂黑如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将 答案写在答题卡上.写在本试卷上无效 3.考试结束后，将本试卷与答题卡一并交回 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A={-1,0,1,2},B={xx2-3x+2≤0}，则A∩B= A.{-1} B.1} C.{1,2} D.{0,2 2.在平行四边形ABCD中，M为BC的中点，设AB=a,DM=b,则AC A.2b-a B.a-2b C.3a-2b D.3a+2b 3.（x2+x+y)的展开式中，xy的系数为 A.10 B.20 C.30 D.60 4.若f(x)=cosx-sinx在[-a,a]是减函数，则a的最大值是 a月 B.哥 C.3z D.π 4 5.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫 猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30=7+23.在不超过30 的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 D. 18 6.已知m0-子，co(a+p)=-山，则sn(a+2p)归 A.1 B.-1 c D. 3 数学试题第1页共4页 7.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点，Q是直线PF与C 得一个交点，若FP=4FO,则|OF= A月 B.3 c.3 D.2 8.设函数f)-g)-公+bxa,beRa≠0，若)y-f)的图象与=8)图 象有且仅有两个不同的公共点A(x,y),B(x2,y2),则 A.当a<0时，x+x2<0,y+y2>0 B.当a<0时，x+x2>0,+y2<0 C.当a>0时，x+x2<0,片+y2<0 D.当a>0时，x+x2>0,y+y2>0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分。 9.已知随机变量5服从正态分布N(2,4),记函数f(x)=P(5≤x),则 A.f(2)>f(1) B.f(3)>f(2) C.f(1)-f(3)=0 D.f(1)+f(3)=1 10.已知复数1,2均不为0，则下列等式恒成立的是 A.3-32=2-22 B.5-=月-引 C.51·2=2 D.5=月 I1.已知函数∫(x)=cosx+hx,将f(x)的所有极值点按照由小到大的顺序排列， 得到数列{x},对于任意的正整数k,则 A.xH-x< B.x2是极小值点 C.x2+2-x2k<2元 D.f(x2)<f(x2+2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知样本x,x2,3的平均数为2，方差为1，则x,x,x的平均数为 13.过点P(,3)作圆x2+y2=1的两条切线，切点分别为A,B,则PA.PB= 14.在正三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC=3V2,AB=6,点D在△ABC内部运动 (包括边界)，点D到棱PA,PB,PC的距离分别记为d,d2,d,且 d+d+d=20,则点D运动路径的长度为 数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤。 15.(13分) 在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD, ∠DAB=60°，FC⊥平面ABCD,AE⊥BD,CB=CD=CF (1)求证：BDL平面AED; (2)求二面角F-BD-C的余弦值 D B 16.(15分) 已知函数f(x)=a(x-1)-hnx+1. (1)求f(x)的单调区间； (2)当a≤2时，证明：当x>1时，f(x)<e恒成立. 数学试题第3页共4页 17.(15分) 如图，已知抛物线x2=y点A 》[)，地物线上的点P(x<》 过点B作直线AP的垂线，垂足为Q. (I)求直线AP斜率的取值范围； (I)求PAPO的最大值 18.(15分) 已知曲线Cn:x2-2x+y2=0(n=1,2,).从点P(-1,0)向曲线Cn引斜率为 飞（飞n>0)的切线，切点为(y). (1)求数列{x}与{y}的通项公式； (2)证明：·X3·X…2n-1 <√2sim 1+x 19.(15分) 某高校数学系计划在周六和周日各举行一次主题不同的心理测试活动，分别由李老 师和张老师负责，已知该系共有位学生，每次活动均需该系k位学生参加（和k 都是固定的正整数).假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立、随机 地发给该系k位学生，且所发信息都能收到记该系收到李老师或张老师所发活动通 知信息的学生人数为x (1)求该系学生甲收到李老师或张老师所发活动通知信息的概率； (2)求使P(X=)取得最大值的整数m. 数学试题第4页共4页 青岛一中2026年高三年级一模考试 数学试题答案解析 2026.04 1.C 【分析】由集合的交集运算求解， 【详解】A={-1,0,1,2,B={xx2-3x+2≤0}={x1≤x≤2}， 得AnB=1,2} 2.C 【分析】根据给定条件，作出几何图形，再利用向量线性运算求解即得。 【详解】在ABCD中，M为BC的中点，AB=a,DM=b, D B 所以AC=AB+BC=AB+2MC=AB+2(DC-D☑=3AB-2DM=3a-2i 故选：C 3.C 【详解】在(x2+x+y)的5个因式中，2个取因式中x2剩余的3个因式中1个取x,其余因 式取y,故xy2的系数为CCC=30,故选C. 考点：本题主要考查利用排列组合知识计算二项式展开式某一项的系数. 【名师点睛】本题利用排列组合求多项展开式式某一项的系数，试题形式新颖，是中档题， 求多项展开式式某一项的系数问题，先分析该项的构成，结合所给多项式，分析如何得到该 项，再利用排列组知识求解 4.A 【i详解】因为f)=cosx-sinx=V5cos(x+孕， 所以由0+2m≤x+亚≤元+2m,k∈Z)得-+2≤x≤3L+2kk∈2D 4 4 因此[a小-（平7aaa2子as经0sa 4,从而a的最大值为云，故选： 4 A 5.C 【详解】分析：先确定不超过30的素数，再确定两个不同的数的和等于30的取法，最后根 据古典概型概率公式求概率 详解：不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两 个不同的数，共有C=45种方法，因为7+23H1+19月3+17=30，所以随机选取两个不同的 数，其和等于30的有3种方法，故概率为3- ,选C 4515 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法：(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问 题中的基本事件的探求对于基本事件有“有序与“无序区别的题目，常采用树状图法.(3)列 表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体 化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目. 6.D 【分析】由题得sin(a+B)=0,再利用和角公式结合条件即得. 【详解】由oma+月=-1，得sna+)=0,又s如0= 所以sm(a+2p)Esn(a+B+A)=sn(a+)-cosB+c0s(a+)-sinB三 故选：D 7.B 【分析】利用抛物线的定义及相似三角形的性质可得Q=MQ=3,从而可得正确的选项. 【详解】设准线与x轴的交点为H,则FH=4, 如图所示，因为亚=42，故P月4 PO 3 MO PO 3 过点2作QM11,垂足为M,则OMk轴，所以4=P4 所以MQ=3,由抛物线定义知，2=MQ=3, 故选：B. H 0 8.B 【详解】令f)=8(x),可得1 =ar+b. 设风约=y=x+h 根据题意F()与直线y=ax+b只有两个交点， 不妨设x<x2,结合图形可知，当a>0时如右图， y=+b与F(x)左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点， 根据对称性可得|x>x2,即-x>x2>0,此时x+x2<0, =-%,+2>0, x-x 同理可得，当a<0时如左图，x+x2>0,+y2<0 故选：B. y=ax+b(a<0) F()- y=ax+b(a>0) 0 【点睛】本题从最常见了两类函数出发进行了巧妙组合，考查数形结合思想、分类讨论思想， 函数与方程思想等，难度较大，不易入手，具有很强的区分度 9.AD 【分析】根据正态分布曲线的对称性即可求解. 【详解】因为随机变量5服从正态分布N(2,4),所以该正态分布曲线的对称轴为4=2， 所以函数f(x)是单调递增函数，则f(3)>f(2)>f(I),又P(5≤u-a)+P(5≤u+a)=1, 所以f(1)+f(3)=1,故AD正确： 故选：D. 10.ABD 【分析】根据复数的运算性质可一一验证 【详解】设z,=a+bi,z2=c+di 对A,-z2=(a-c)+(b-d)i=(a-c)-(b-d)i, 云-五=a-bi-c-di)=a-c6-d,-=云-五，故A正确： 片-=|a-c)+(b-d)i=a-c)'+b-d), 月-引=《a-c)+(d-b)1=Va-c)'+(d-b,片-=月-，故B正确： 三·三2=(a+bi)(c-di)=(ac+bd)+(bc-ad)i, ·2=(a-bi)(c+di)=(ac+bd)+(ad-bc)i,故C错误： =(ac+bd)+(bc-ad),=(ac+bd)+(ad-bc), 5·=,故D正确： 故选：ABD. 11.BD 【分析】结合导数的性质与专点存在性定理得到≤∈（22m+ X2+2∈21m+3 5,2π+π，举反例判断A,不断构造函数并结合导数的性质判断B,利用 弦函数性质并结合题意代换判断C,对原函数合理变形得到(x)= +1x,结合 X2k<x2+2并利用导数判断D即可. 【详解】由题意得f()的定义域为(0，+四)，则f(x)=-simx+上， 1” 万极植点满足了似=0，则血￥士结合墨应行0， 可得方程的根出现在sinx>0时，即x∈(2匹，2r+元)，n∈N时， 而f2m>0,f2m+}0.f2m+利>0. 结合零点在性定理程(2m2m+引(-受-可】 对于已知得5(2红》 则x,-x,∈（兀2），不满足x1-x<π，故A错误， 对于B,令a1,且2版受2加- 令8（到=了）=-mx+子则g()=-6osx月 令)-子，e)=如+ 当x∈23司时，(0，则4)在22司上单调递增， 面42到0，(2a-可>0，则2a)2点网0， 由零点存在性定理得存在气(2版班，2加元作为（零点。 即存在(2经2-x作为g()零点。 ◆g0,e化2-用，令g9k0,a-经月 则8倒流经上单用莲减，在化，2流上竿调港霜。 即了)在2受)上单调造减，在（化，2-网上单调道谐。 而/a}0.fx0.f2r-0, 则∫'(x)f'(2m-)<0,由零点存在性定理得存在x作为f"(x)零点， 令f'(x)<0,xE(xx),令f'(x)>0,x∈(x,2m-), 可得f(x)在(xx)上单调递减，在(x2,2π-π)上单调递增， 则x2是∫(x)的极小值点，故B正确， 对于c由已知得x(3经2：2x+受+ 则+2e(+号2，而:+20=m 1 1 11 Sin X2k+2= ，而x2k<X2+2,则 X2k+2 2X22 得到sin(2+2D>sinx2+2, 由正弦函数性质得y=mx在红+号2流+ 上单调递减， 则x2+2T<x2t2,得到x2+2-X2t>2T,故C错误， 对并D,南题凉得2版受2加小：2 1 满足x2<X2+2,由已知得sinx2= 可得∫(x2)=C0sxk+hx2= +ln 1 令()=-1- +nx,且xe受o, 2 而(30-），当停时，m0, xVx2-I 则m(在受，+m)上单调递增，则m)<m5, 即f(x)<f(:+2),故D正确. 12.5 【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解 【详解】由题意知，++3=2，所以+，十天=6， 3 由=2y+伍，-2+，=2Y-1,得+x好+=15， 3 所以++=5 3 故答案为：5 1 【详解】如图，连接PO,在直角三角形PA0中，OA=l,PA=V3,所以，tm∠APO= 3 cosAPB=1-tmAPO 1-() 1+tan2∠AP0 1+3 专：故a历-网列网aB=5x5分 B 考点：1.直线与圆的位置关系；2.平面向量的数量积. 14.2m 【分析】分析可知PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC,结合正三棱锥可得P在底面ABC内的投影 为底面△ABC的中心O,且PO=√6，做辅助线结合长方体的性质可得PD2=10,即可知点 D的轨迹是以点O为圆心，半径r=2的圆的一部分即可求解 【详解】由题意可知：PA=PB=PC=3V2,AB=AC=BC=6, PA2+PB2=AB2,PA2+PC2=AC2,PB2+PC2=BC2, 可知PA⊥PB,PA⊥PC,PB⊥PC, G M B 因为三棱锥P-ABC为正三棱锥，则点P在底面ABC内的投影为底面△ABC的中心O, 取AB的中点M,则C0=CM=2WB,PO=VPC-cO=6, 设点D在平面PAB、平面PAC和平面PBC内的投影分别为F、I和J, 根据正三棱锥的结构特征，可以以DF,DI,DJ为邻边作长方体PEFG-HIDJ, 则PA⊥平面EFDI,DEc平面EFDI,则PA⊥DE,即A,=DE, 同理可知：d,=DG,d=DH, 「d-PH+PG2 由长方体的性质可知： d2=PE2+PH2 d2=PE2+PG2 PD2=PE2+PG2+PH2 可得d+d+d=2PD2=20,即PD2=10, 又因为PO⊥平面ABC,ODC平面EFDI, 则PO⊥OD,可得OD=VPD2-PO2=2, 可知点D在以点O为圆心，半径r=2的圆上， M T 因为OM<r,可知AB与圆O相交， 设圆0与AB交于S,T两点，则ST=2MT=2Wr2-OM2=2, 可知△OST为等边三角形，则∠S0T=匹， 结合对称性可知点D运动路径的长度为2加-3×2×亚=2元 3 故答案为：2π 15.:()见解析；()5 【分析】(1)要证明直线和平面垂直，只需证明直线和平面内的两条相交直线垂直.由已知 得AE⊥BD,故只需证明AD⊥BD,在△BCD中，由余弦定理得BD,CB的关系，即BD,AD 的关系确定，在△4BD中，结合已知条件∠DAB=60°可判定△ABD是直角三角形，且 AD⊥BD,从而可证明BDL平面AED:(2)求二面角F一BD一C,可先找后求，过C作 CM⊥BD,由已知FC⊥平面ABCD,得BDL面FCM,故CM⊥BD,FM⊥BD,故∠FMC 为二面角F一BD一C的平面角，在Rt△FCM中计算∠FMC. 【详解】(I)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD,∠DAB=60°，CB=CD, 由余弦定理可知，BD2=CB2+CD2 -2CB.CD cos120°=3CD2,即BD=√3AD=V3CD, 在△ABD中，∠DAB=60°，BD=√3AD, 则△ABD是直角三角形，且AD⊥BD, 又AE⊥BD,且AEOAD=A, 故BD⊥平面AED. (2)过C作CM⊥BD,交BD于点M A B 因为FC⊥平面ABCD,BDC面ABCD,所以FC⊥BD,所以 BD⊥面FCM,因此CM⊥BD,FM⊥BD, 故∠FMC为二面角F一BD一C的平面角 在ACDB中，CD=CB,∠DCB=120°， 可相cM-5cB-cP 2 因此amn∠mMc=C-23cos∠MC-5 CM 即二面角F一BD一C的余弦值为 J 考点：1、直线和平面垂直的判定；2、二面角. 16.(1)见解析 (2)见解析 【分析】(1)求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性： (2)先根据题设条件将问题可转化成证明当x>1时，e1-2x+1+1x>0即可. 【详解】(1)f)定义域为(0，+0)，f)=a-1=-1 当a≤0时，f)=-1<0,故f(9在(0，+0上单调递减： 当a>0时，e合和时，fW>0,f单润递增， 当0月时，了0，网单调莲减 综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(0，+∞)： 口>0时，)的单调道抛区间为[后+，单调道减区间为0分 (2)a≤2，且x>1时，e-1-f(x)=e1-a(x-1)+lnx-1≥ex-1-2x+1+nx, 令g(x)=e-1-2x+1+nx(x>),下证g(x)>0即可. g国=e-2+子再令Md=gw,则)=e1是 显然h(x)在(1，+o)上递增，则(x)>h)=e°-1=0， 即g'(x)=h(x)在(L,+o)上递增， 故g'(x)>g')=e°-2+1=0，即g(x)在(1，+∞)上单调递增， 故g(x)>g1)=e°-2+1+ln1=0,问题得证 17.(I)(-1,1):() 27 16 【详解】(I)设直线AP的斜率为k, 1 x+2 2 因为-1<x<,所以直线AP斜率的取值范围是（一1，）. (Ⅱ)联立直线AP与BO的方程 1 kx-y+ 10， =0, 解得点Q的横坐标是x。= -k2+4k+3 2(2+1) 因为2A=1+产(x+=1+Fk+少， PO=V1+F(x。-9=-匠-IDk+)2 Vk2+1 所以PAPg=(k-1k+1)'. 令f(k)=-(k-10k+1, 因为f'(k)=-(4-2)(飞+12， 所以在区间(1分上单调递增，(，)上单调递减， 因此当仁时，IPAl-IPO取得最大值 27 6 【点睛】本题主要考查直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，同时考查解析几何 的基本思想方法和运算求解能力，通过表达|PA与PQ的长度，通过函数 f()=-(k-1)k+1求解|PAPQ|的最大值. n+:。=k,(,+)=2n+司 18.(1)x。= n+1 （2)证明见解析. 【详解】(1)设直线.：y=k(x+I),联立x2-2x+y2=0得 (1+k2)x2+(2k2-2n)x+k=0,则△=(2k2-2)2-4(1+k)k2=0, ∴.kn= 17 (- 舍去) V2n+1√2n+1 1+好+)，即x,=”, x n+7'六。=k,(c,+1)=2n+国 n+1 (2)证明： 1-a n+1 \1+x 1++1 n+1 13 2n-113。 2n-1 X1X3X5…X2m-1=,×X…× 24 21V35 2n+1V21+1 - .飞：3X… 11+x 1 y V2n+1 V1+x =,可令函数f)=X-2sinx,则f)=1-2os, 令∫0=0，得cosr=5,给定区间0，则有fW<0,则函数f)在0.名上 单调递减，·f()<f(0)=0,即x<√2sinx在(0，)恒成立，又 0< 1π 12+13<4 则有 1 1 ,即 1-xsin 2n+ <2sin2n+’V1+x 19.Q)P=1-a-4=2m- n (2)ms2k-径+)2 n+2 【分析】(1)由于A和B是相互独立，P④=P®)=C空_人 没有收到信息的概率正好 是Q-,所以最后的结果就能求出： (2)要从k=n和k<n两个角度考虑. 【详解】(1)设事件A:“学生甲收到李老师所发信息”，事件B:“学生甲收到张老师所发信 息”，由题意A和B是相互独立的事件，则A与B相互独立， k 所以P(④=P(B)=1- 因此，学生甲收到活动通知信息的概率为P=1-Q--2 Γ2 （2)当k=n时，m只能取n,有P(X=m=P(X=)=1 当k<n,整数m满足k≤≤t,其中t是2k和n中的较小者.“李老师和张老师各自独立、随 机地发活动通知信息给k位同学所包含的基本事件总数为(C)2, 当X=m时，同时收到李老师和张老师转发信息的学生人数恰为2-，仅收到李老师或仅 收到张老师转发信息的学生人数为m-k,则由乘法计数原理知：事件{X=所含基本事 件数为CCmC=CC*C 此时p(X=m=CCC是_C空*C (C)2 当k≤m<t,PX=m）sP(X=m+)一CC≤C1C- 化简解得m≤2k-任+) n+2 假如k≤2k-径+ <t成立， n+2 则当(k+1)2能被n+2整除时， k≤2k-k+<2k+1-+≤1，故Px=m在m=2k-+少和m=2k+1-+处 n+2 +2 n+2 n+2 达到最大值： 则当(k+1)2不能被n+2整除时，P(X=)在m=2k (k+1)2 处达最大值.（注：[x]表示 n+2 不超过x的最大整数) 下证：ks2k-k+ -<t n+2 因为1≤k<,所以2k&+-k-加-E-1≥+)-1_k-1≥0， n+2 n+2 n+2n+2 2k-《+少-n=-+1<0,故2k-+<n,显然2k-任+<2k n+2 n+2 n+2 n+2 因此k≤2k-+1)2」 t. n+2 【点睛】关健点睛：本题第二问的关键是用高斯取整函数证明k≤2k-（化+ -<t. n+2