精品解析：上海市第五十四中学2025-2026学年第二学期期中能力诊断高一数学试卷

五十四中学2025学年度第二学期期中能力诊断 高一数学试卷 （闭卷100分钟，满分100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分） 1. 若，则___________. 2. 函数的最小正周期是___________． 3. 已知角在第二象限，且，则___________． 4. 方程的解是______. 5. 若为锐角，则____________. 6. 已知，则_______ 7. 已知，则的值为_____________. 8. 已知的角对应边长分别为，则__________. 9. 若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为______.（结果保留） 10. 已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为________． 11. 已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是_________． 12. 下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则； ②同时满足，的角有且只有一个； ③如果角满足，那么角是第二象限的角； ④满足条件的角的集合为. 其中真命题的序号为________. 二、选择题（本大题共有4题，满分16） 13. 设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 14. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 15. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 16. 函数是（　　） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 三、解答题（本大题共有5题，满分48分） 17. （1）已知，化简并求值：． （2）已知，求值： 18. 已知：，求的值 19. 在中， 内角所对的边分别为， 已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 20. 目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. （1）求出山高（结果保留一位小数）； （2）如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 21. 已知函数． （1）求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图象； （2）求函数的最大值、最小值及相应的的值； （3）若，求函数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五十四中学2025学年度第二学期期中能力诊断 高一数学试卷 （闭卷100分钟，满分100分） 一、填空题（本大题共有12题，满分36分） 1. 若，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦的二倍角公式即可计算. 【详解】. 故答案为：. 2. 函数的最小正周期是___________． 【答案】 【解析】 【详解】的最小正周期是， 故答案为： 3. 已知角在第二象限，且，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式求解即得. 【详解】因为角在第二象限，且， 所以， 所以. 4. 方程的解是______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据余弦函数的性质计算可得. 【详解】因为，所以或， 即方程的解是或. 故答案为：或. 5. 若为锐角，则____________. 【答案】-2 【解析】 【分析】利用同角公式化简真数为:,再用对数运算性质可得. 【详解】因为 . 故答案为: 【点睛】本题考查了同角三角函数的基本关系式以及对数的运算性质,属于基础题. 6. 已知，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式，以及二倍角公式化简求值. 【详解】. 故答案为： 7. 已知，则的值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据同角三角函数关系得出，再根据两角差正切公式计算求解. 【详解】， 所以， 则. 故答案为：7. 8. 已知的角对应边长分别为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由余弦定理求解，再由反三角函数求得角. 【详解】根据余弦定理得， 把代入可得， 因为，所以. 故答案为：. 9. 若的三条边的长分别为、、，则的外接圆面积为______.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】设，，，利用余弦定理可求得的值，进而可求得的值，利用正弦定理结合圆的面积公式可求得外接圆面积. 【详解】不妨设，，，由余弦定理可得， 所以，角为锐角，故， 设的外接圆半径为，则，所以，， 因此，的外接圆的面积为. 故答案为：. 10. 已知圆O上的一段圆弧长等于该圆的内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角的弧度为________． 【答案】 【解析】 【分析】设该圆的半径为，则可得圆的内接正方形的边长为，然后根据题意利用弧长公式可求得结果. 【详解】设该圆的半径为，则该圆的内接正方形的边长为，即这段弧的长度为， 则其所对的圆心角的弧度数为， 故答案为： 11. 已知点D、E分别是三角形ABC的边AC、BC的中点，且，则三角形ABC的面积的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，利用补形可得，结合面积公式可求范围. 【详解】 如图，过作，过作交的延长线于， 则四边形、四边形为平行四边形，连接， 则互相平分，故共线且为的中点， 而，故，故， 中，，，， 故， 故， 故答案为： 12. 下面有四个命题： ①若点为角的终边上一点，则； ②同时满足，的角有且只有一个； ③如果角满足，那么角是第二象限的角； ④满足条件的角的集合为. 其中真命题的序号为________. 【答案】④ 【解析】 【分析】①根据正弦函数定义求正弦值判断；②注意任意角定义即可判断；③直接判断角所在象限即可；④根据正切值及任意角定义求角即可判断. 【详解】①若点为角的终边上一点，（注意参数a的符号不确定），假命题； ②同时满足，，只要终边与相同的角都满足，假命题； ③如果角满足，那么角是第三象限的角，假命题； ④满足条件的角，，真命题. 故答案为：④ 二、选择题（本大题共有4题，满分16） 13. 设，在平面直角坐标系xOy中，角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，若角的终边经过点，且，则角属于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式和二倍角公式可得，再根据角的终边经过点，即可求解. 【详解】因为，所以，所以， 所以，异号， 所以在第二、四象限， 又，所以在第二象限. 故选：. 14. 在中，，则“”是“是钝角三角形”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答. 【详解】在中，由得：或，而，则，因此得， 于是得，是钝角三角形， 当是钝角三角形时，取钝角，， 即是钝角三角形不能推出， 所以“”是“是钝角三角形”的充分而不必要条件. 故选：A 15. 已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得，然后结合正弦函数的单调性及可得答案. 【详解】因为，，所以， 因为在，上单调递增， 则，得，， 又，取，则，即. 故选：A. 16. 函数是（　　） A. 最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数 C. 最小正周期为的奇函数 D. 最小正周期为的偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用奇偶性的定义证明函数为奇函数，再由周期的定义证明函数的周期为. 【详解】 则函数为奇函数. ， 是函数的一个周期. 又，而，可知不是函数的周期， 故函数的最小正周期为. 三、解答题（本大题共有5题，满分48分） 17. （1）已知，化简并求值：． （2）已知，求值： 【答案】（1）（2）3 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正切公式及诱导公式化简即可得解； （2）根据齐次式弦化切即可得解. 【详解】（1）因为， 所以， 所以. （2）因为， 所以. 18. 已知：，求的值 【答案】 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系及两角差的余弦公式求解. 【详解】因为，， 所以，又， 即，解得， 又，所以， 所以， 所以. 19. 在中， 内角所对的边分别为， 已知． （1）求； （2）若的面积为，求的周长． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由正弦边角关系及已知可得，化简整理得，结合角的范围确定大小； （2）由三角形面积公式列方程求得，再由余弦定理得，即可得. 【小问1详解】 由正弦边角关系，， 所以， 所以，，可得. 【小问2详解】 由（1）知，又, 则，，则， 由余弦定理， 所以的周长为. 20. 目前，中国已经建成全球最大的网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座基站，已知基站高.该同学眼高（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置处（眼睛所在位置）测得基站底部的仰为，测得基站顶端的仰角为. （1）求出山高（结果保留一位小数）； （2）如图（第二幅），当该同学面向基站前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置处（眼睛所在位置）到基站所在直线的距离，且记在处观测基站底部的仰角为，观测基站顶端的仰角为.试问当多大时，观测基站的视角最大？ 参考数据：，，，. 【答案】（1） （2）时，视角最大 【解析】 【分析】（1）利用仰角差得，通过正弦定理求，结合直角三角形求山高即可. （2）用正切表示仰角，通过正切差公式表示视角的正切值，结合基本不等式求最值即可. 【小问1详解】 由题意可知，，，，， 在中，，所以， 在中，， 所以山高. 【小问2详解】 由题意知，，，且， 则， 在中，， 在中，， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以时，取得最大值， 又，所以此时视角最大. 综上，当时，视角最大. 21. 已知函数． （1）求函数的最小正周期，并用五点法作出它在一个周期内的大致图象； （2）求函数的最大值、最小值及相应的的值； （3）若，求函数的取值范围． 【答案】（1），在区间上取，可得下表： 据此可作出函数在上的大致图象如下： （2）当时，有最大值，当时，有最小值. （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简，利用周期公式求周期，“五点法”画图象即可； （2）根据正弦型函数的最值求解； （3）利用正弦型函数在所给区间上的值域求解. 【小问1详解】 因为， 所以， 在区间上取，可得下表： 据此可作出函数在上的大致图象如下： 【小问2详解】 当时，即，时， 有最大值， 当时，即，时， 有最小值. 【小问3详解】 当时，， 所以， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $