精品解析：山东德州市武城县2025一2026学年度第二学期期中学习成果阶段展示 八年级数学试题

2025—2026学年度第二学期期中学习成果阶段展示 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据二次根式的意义，可知其被开方数为非负数， 因此可得x-2≥0，即x≥2. 故选D 2. 下列计算正确的是（　　） A. ＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ÷＝4 【答案】B 【解析】 【分析】利用二次根式运算法则运算及即可． 【详解】解：A、不能合并，故选项错误； B、，故选项正确； C、，故选项错误； D、，故选项错误． 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的加减乘除运算法则，能熟练运算是解题关键． 3. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 4. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理，利用数形结合的思想是解题关键．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 5. 如图，在中，，垂足为E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的对角相等得到的度数，由垂线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴． 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，坐标与图形，连接，过点作轴于点，根据勾股定理求出的长，再根据矩形的对角线相等即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，过点作轴于点， 点的坐标是， ，， ， 又四边形是矩形， ， 故选：． 7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( ) A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米 【答案】A 【解析】 【分析】将梯子斜靠在墙上时，形成的图形看做直角三角形，根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方，可以求出梯子的长度，再次利用勾股定理即可求出梯子底端到右墙的距离，从而得出答案. 【详解】 如图，在Rt△ACB中， ∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米， ∴ 在Rt△A‘BD中， ∵∠A’BD=90°，A’D=2米， ∴ ∴ ∵BD>0， ∴BD=1.5米， ∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2米 即小巷的宽度为2.2米，故答案选A 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知并熟练运用勾股定理求斜边和直角边是解题的关键 8. 如图，在菱形中，M，N分别在，上，且， 与交于点O，连接，若，则的度数为（ ） A. 28° B. 52° C. 62° D. 72° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，注意掌握菱形对边平行以及对角线相互垂直的性质． 根据菱形的性质以及，利用可得，可得，然后可得，继而可求得的度数． 【详解】解：四边形为菱形， ，，， ，，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 9. 若a＋|a|＝0，则等于（ ） A. 2－2a B. 2a－2 C. －2 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用绝对值的性质得出a的取值范围，再化简二次根式得出答案． 【详解】解：∵a+|a|=0， ∴|a|=-a， ∴a≤0， 则 =-（a-2）-a =-2a+2． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了二次根式的性质与化简，正确掌握相关性质是解题关键． 10. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　） A. 1 B. C. D. ﹣1 【答案】B 【解析】 【分析】如图连接EF，延长BA使得AM=CE，则△OCE≌△OAM．先证明△OFE≌△FOM，推出EF=FM=AF+AM=AF+CE，设AF=x，在Rt△EFB中利用勾股定理列出方程即可解决问题． 【详解】如图连接EF，延长BA使得AM＝CE，则△OCE≌△OAM． ∴OE＝OM，∠COE＝∠MOA， ∵∠EOF＝45°， ∴∠COE+∠AOF＝45°， ∴∠MOA+∠AOF＝45°， ∴∠EOF＝∠MOF， 在△OFE和△OFM中， ， ∴△OFE≌△FOM， ∴EF＝FM＝AF+AM＝AF+CE，设AF＝x， ∵CE＝， ∴EF＝2+x，EB＝2，FB＝4﹣x， ∴（2+x）2＝22+（4﹣x）2， ∴x＝， ∴点F的纵坐标为， 故选B． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的性质，坐标与图形性质，解题关键在于做辅助线 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先化简，然后根据同类二次根式的概念进行求解即可. 【详解】=2， 又与最简二次根式是同类二次根式， 所以a=3， 故答案为3. 【点睛】本题考查了最简二次根式与同类二次根式，熟练掌握相关概念以及求解方法是解题的关键. 12. 现有四块正方形纸片，其面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按图所示的方式组成图案．若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是_____． 【答案】4，6，10 【解析】 【分析】根据勾股定理，直角三角形中两直角边的平方等于斜边的平方，即2个小正方形的面积等于大正方形的面积，据此分析判断即可 【详解】解：∵要使围成的三角形是直角三角形， ∴2个小正方形的面积等于大正方形的面积， ∵， 即选取的三块纸片的面积分别是4，6，10． 13. 如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到DE∥BC，根据平行线的性质得到∠ADE=∠B=α，根据折叠的性质、平角的定义计算，得到答案． 【详解】解：∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=α， 由折叠的性质可知，∠FDE=∠ADE=α， ∵∠FDE+∠ADE+∠BDF=180°， ∴2α+β=180°， 故答案为：2α+β=180°． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、翻转变换的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键． 14. 七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是一个由边长为的正方形纸板制作的七巧板，则平行四边形（图中⑥）的面积是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了七巧板，正方形的性质．根据平行四边形和三角形的面积公式即可得图中⑥的面积． 【详解】解：如图，， ∵， ∴平行四边形（图中⑥）的面积是， 故答案为：2． 15. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当有最小值时，取最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）请求出的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】（1）的长度为 （2）该车符合安全标准 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，理解题意是关键． （1）在中，由勾股定理求得； （2）由勾股定理的逆定理判断是否是直角三角形即可； 【小问1详解】 解：在中，，，， 由勾股定理得：； 答：的长度为； 【小问2详解】 解：， 即， ∴是直角三角形，且， 即； 答：该车符合安全标准． 18. 如图，已知在中，分别是的中点，连结. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的周长. 【答案】 (1)证明：∵分别是的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形. (2)四边形的周长为12. 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质得到DF∥BC，EF∥AB，根据平行四边形的判定定理即可得到结论； （2）根据直角三角形的性质得到DF=DB=DA=AB=3，推出四边形BEFD是菱形，于是得到结论． 【详解】(1)略 (2)∵，是的中点，， ∴. ∴四边形是菱形. ∵， ∴四边形的周长为12. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定和性质，三角形的中位线的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 19. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠B＝90°，AB＝DC，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠DAF， ∵DF⊥AE， ∴∠AFD＝90°＝∠B， ∵DF＝DC， ∴AB＝DF， 在△ABE和△DFA中，， ∴△ABE≌△DFA（AAS）， ∴AE＝AD， ∴AE＝BC； （2）1 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质可得AD＝BC，再通过证明△ABE≌△DFA（AAS），可得AE＝AD，即可得证AE＝BC． （2）根据△ABE≌△DFA，可得BE＝AF＝4，AE＝BC，再根据勾股定理求出BC的长度，最后根据EC＝BC﹣BE求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：△ABE≌△DFA， ∴BE＝AF＝4，AE＝BC， ∵∠B＝90°， ∴AE＝＝＝5， ∴BC＝5， ∴EC＝BC﹣BE＝5﹣4＝1． 【点睛】本题考查了全等三角形的问题，掌握全等三角形的性质以及判定定理、勾股定理、矩形的性质是解题的关键． 20. 在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： （1）计算：； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）可推出（n为正整数），据此把所求式子中的每一项裂项，然后计算求解即可； （2）分母有理化得到，则可推出，即，把所求式子变形为，进一步变形得到，据此可得答案． 【小问1详解】 解：设n为正整数， 则 ， ∴ ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 21. 如图，四边形是平行四边形，、相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，分别求，的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵于点F， 于点G， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，，， ∵，， ∴，， 在中，， ∴， 即， ∴． 22. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点，熟悉利用折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （2）根据折叠的性质和三角形的面积公式分别求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长； （3）连接，根据折叠的性质证出四边形是平行四边形，设，则，利用勾股定理求出矩形的长和宽，即可得到矩形的周长． 【小问1详解】 解：由折叠可知，，，， ∴，点是中点， 过点作于点，交于点，如图①所示： ∵， ， ∴由折叠可知：， ∴， ∴完美矩形的面积为：； 【小问2详解】 解：由折叠可得：，，，， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的周长； 【小问3详解】 解：连接，如图所示： 由折叠可得：点和分别是和的中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴设，则， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴矩形的周长． 23. 在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． （1）当点P与点C重合时（如图①）： ①求证：△BOG≌△POE；②猜想：＝ 　； （2）当点P与点C不重合时，如图②，的值会改变吗？试说明理由． 【答案】 （1）①证明：∵四边形ABCD是正方形，P与C重合， ∴OB＝OP，∠BOC＝∠BOG＝90°， ∵PF⊥BG，∠PFB＝90°， ∴∠GBO＝90°﹣∠BGO，∠EPO＝90°﹣∠BGO， ∴∠GBO＝∠EPO， 在△BOG和△POE中， ∵， ∴△BOG≌△POE（ASA）； ②； （2），不会改变， 证明：如图②，过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N， ∴∠PNE＝∠BOC＝90°，∠BPN＝∠OCB． ∵∠OBC＝∠OCB＝45°， ∴∠NBP＝∠NPB． ∴NB＝NP． ∵∠MBN＝90°﹣∠BMN，∠NPE＝90°﹣∠BMN， ∴∠MBN＝∠NPE， 在△BMN和△PEN中， ， ∴△BMN≌△PEN（ASA）， ∴BM＝PE． ∵∠BPE＝∠ACB，∠BPN＝∠ACB， ∴∠BPF＝∠MPF． ∵PF⊥BM， ∴∠BFP＝∠MFP＝90°． 在△BPF和△MPF中， ， ∴△BPF≌△MPF（ASA）． ∴BF＝MF． 即BF＝BM． ∴BF＝PE． 即＝. 【解析】 【分析】（1）①由四边形ABCD是正方形，P与C重合，易证得OB=OP，∠BOC=∠BOG=90°，由同角的余角相等，证得∠GBO=∠EPO，则可利用ASA证得：△BOG≌△POE； ②先判断出∠BPF=∠GPF，进而得出BF=BG，由①得△BOG≌△POE，得出BG=PE，即可得出结论； （2）首先过P作PM∥AC交BG于M，交BO于N，易证得△BMN≌△PEN（ASA），△BPF≌△MPF（ASA），即可得BM=PE，BF=BM．则可求得 的值； 【详解】（1）①略 ②由①知，△BOG≌△POE， ∴BG＝PE， ∵∠BPE＝∠ACB，∠BPF+∠GPF＝∠ACB， ∴∠BPF＝∠GPF， ∵BF⊥PE， ∴BF＝BG， ∴， 故答案为； （2）略 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．构造出△BMN≌△PEN是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期中学习成果阶段展示 八年级数学试题 （满分：150分 时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请将选择题答案用2B铅笔填涂在答题卡指定题号里，将非选择题的答案用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效． 3．考生必须保持答题卡的整洁，不能使用涂改液、胶带纸、修正带． 第I卷（选择题共40分） 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 若二次根式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. ＝ B. ﹣＝ C. ×＝6 D. ÷＝4 3. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，垂足为E．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中，点的坐标是，连接，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为( ) A. 2.2米 B. 2.3米 C. 2.4米 D. 2.5米 8. 如图，在菱形中，M，N分别在，上，且， 与交于点O，连接，若，则的度数为（ ） A. 28° B. 52° C. 62° D. 72° 9. 若a＋|a|＝0，则等于（ ） A. 2－2a B. 2a－2 C. －2 D. 2 10. 如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（4，4），点E、F分别在边BC、BA上，OE＝2．若∠EOF＝45°，则F点的纵坐标是（　　） A. 1 B. C. D. ﹣1 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题：本大题共5小题，共20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若与最简二次根式是同类二次根式，则__________． 12. 现有四块正方形纸片，其面积分别是4，6，8，10，从中选取三块按图所示的方式组成图案．若要使所围成的三角形是直角三角形，则要选取的三块纸片的面积分别是_____． 13. 如图，DE是△ABC的中位线，将△ABC沿线段DE折叠，使点A落在点F处，若∠B=，∠BDF=，那么与的数量关系为____________． 14. 七巧板是我国民间流传的一种益智玩具，它由等腰直角三角形、正方形和平行四边形组成．如图，这是一个由边长为的正方形纸板制作的七巧板，则平行四边形（图中⑥）的面积是______． 15. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为___________ ． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即）． （1）请求出的长度； （2）根据安全标准需满足，通过计算说明该车是否符合安全标准． 18. 如图，已知在中，分别是的中点，连结. (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求四边形的周长. 19. 如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，DF＝DC，DF⊥AE于F． （1）求证：AE＝BC； （2）如果AB＝3，AF＝4，求EC的长． 20. 在数学学习活动中，小明和他的小伙伴们遇到一个问题：已知，求的值．经过思考和探索，他的解答如下． ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 请你根据小明的解题过程，【解决下列问题】： （1）计算：； （2）若，求的值． 21. 如图，四边形是平行四边形，、相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，，分别求，的长． 22. 综合与实践 折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的矩形，这样的矩形称为完美矩形． （1）操作发现： 如图①，将纸片按所示折叠成完美矩形，若的面积为，，则此完美矩形的边长 ，面积为 ． （2）类比探究： 如图②，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若平行四边形的面积为，，则完美矩形的周长为 ． （3）拓展延伸： 如图③，将平行四边形纸片按所示折叠成完美矩形，若，，求此完美矩形的周长为多少． 23. 在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点P在线段BC上（不含点B），∠BPE＝∠ACB，PE交BO于点E，过点B作BF⊥PE，垂足为F，交AC于点G． （1）当点P与点C重合时（如图①）： ①求证：△BOG≌△POE；②猜想：＝ 　； （2）当点P与点C不重合时，如图②，的值会改变吗？试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $