精品解析：山东省德州市武城县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

2024~2025学年第二学期期中教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请将选择题答案用铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效 3、考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 4，5，8 3. 如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 20 4. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形是（ ） A. B. C. D. 5. 估计的值应在（ ） A. －1和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 6. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 若，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 8. 如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（ ） A. 1.8米 B. 2米 C. 2.5米 D. 2.7米 9. 化简二次根式得（ ） A. B. C. D. 10. 如图，两张等宽纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（ ） A. 5 B. C. D. 11. 如图，在中，是对角线，E，F，G，H分别是的中点，连接，则下列说法中，不正确的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 若四边形为矩形，则为菱形 C. 若四边形为菱形，则为菱形 D. 若四边形正方形，则为正方形 12. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 写出一个能与合并的最简二次根式：____________． 14. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 15. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是__． 16. 如图，一艘船从A处向北偏西的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距________海里． 17. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______. 18. 如图1所示，在边长为4的正方形中，点分别为的中点，和相交于点；如图2所示，将图1中边长为4的正方形折叠，使得点落在边的中点处，点落在点处，折痕为．现有四个结论：图1中：①；②；③；图2中：④．其中正确的结论有：___________．（填序号） 三、解答题（7个题，共78分） 19. 计算： （1）． （2）． 20. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 21. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高. 22. 如图，在中，，是的中位线，是的中线.连接 （1）求证：． （2）判断四边形形状，并说明理由． 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 24. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： （1）请用两种不同的方法化简：； （2）化简：． 25. 如图，在四边形ABCD中，，，，．点P从A点出发以1cm/s的速度向点D运动；同时点Q从点C出发以2cm/s的速度向点B运动．规定运动时间为t秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． （1）______，______（分别用含有的式子表示）； （2）当四边形的面积是四边形面积的2倍时，求出的值． （3）当点、与四边形任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024~2025学年第二学期期中教学质量检测 八年级数学试题 （满分150分 时间120分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2.请将选择题答案用铅笔填涂在答题卡指定题号里；将非选择题的答案用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷上无效 3、考生必须保持答题卡的整洁． 一、选择题（每小题4分，共48分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； B、是最简二次根式，符合题意； C、，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 3，4，6 D. 4，5，8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．熟练掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：三个正整数，满足两个数的平方和等于第三个数的平方，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； B、，是勾股数，符合题意，选项正确； C、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； D、，不是勾股数，不符合题意，选项错误； 故选：B． 3. 如图，菱形中，，则菱形的面积为（　　） A. 48 B. 40 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，根据菱形对角线垂直即可解答，熟知菱形的面积等于对角线相乘除以2，是解题的关键． 【详解】解：，四边形是菱形， 菱形的面积=， 故选：C． 4. 如图，已知，增加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，根据平行四边形的判定定理逐项判断即可，解题的关键是熟知平行四边形的判定定理． 【详解】、由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 、∵， ∴， 又，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，符合题意； 、由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； 故选：． 5. 估计的值应在（ ） A. －1和0之间 B. 0和1之间 C. 1和2之间 D. 2和3之间 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，根据二次根式的运算法则先化简，再利用夹逼法即可估算出无理数的范围，掌握夹逼法是解题的关键． 【详解】 ∵ ∴ ∴ ∴估计的值应在0和1之间． 故选：B． 6. 如图，在矩形中，，，在轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】在中利用勾股定理求出，继而得出的长，结合数轴的知识可得出点表示的数． 【详解】解：由题意得： ， 故， ， 点表示的数为， 点表示的数为， 点的坐标为． 故选：． 【点睛】此题考查了勾股定理及数轴的知识，利用勾股定理求出的长度是解答本题的关键． 7. 若，则的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了化简二次根式及一元一次不等式的运用，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 8. 如图,小巷左右两侧是竖直墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙的距离为0.7米,顶端距离地面2.4米．若保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面1.5米,则小巷的宽度为（ ） A. 1.8米 B. 2米 C. 2.5米 D. 2.7米 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查的是勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解决此题的关键．先根据题意求得，再求得，，，从而利用勾股定理求得的长；然后再利用勾股定理求得的长，进而利用线段的和差关系，求得即可． 【详解】解：如图，，，，， 在中， ∵， ∴， ∴ ∴，即小巷的宽度为2.7米． 故选：D． 9. 化简二次根式得（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断出，再由二次根式的性质即可得出结论． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简，熟知二次根式具有非负性是解答此题的关键． 10. 如图，两张等宽的纸条交叉叠放在一起，若重合部分构成的四边形中，，，则四边形的面积为（ ） A 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、勾股定理、菱形的面积的计算，证明四边形是菱形是解题的关键． 作于，作于，连接交于点，先证明四边形是菱形，再根据勾股定理求出的长，从而得到的长，最后由菱形的面积公式进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作于，作于，连接交于点， 两条纸条的宽度相同， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 故选：C． 11. 如图，在中，是对角线，E，F，G，H分别是的中点，连接，则下列说法中，不正确的是（ ） A. 四边形为平行四边形 B. 若四边形为矩形，则为菱形 C. 若四边形为菱形，则为菱形 D. 若四边形正方形，则为正方形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的判定与性质，正方形的判定，平行四边形的性质与判定，根据三角形中位线定理可得，则可证明四边形为平行四边形；由矩形一组邻边垂直得到，进而可得，则为菱形；由菱形一组邻边相等得到，进而可得，则为矩形；由正方形的对角线互相垂直且相等得到，，进而得到 ，且，则为正方形． 【详解】解：∵E，F，G，H分别是的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A说法正确，不符合题意； 同理可得， 若四边形为矩形，则， ∴， ∴为菱形，故B说法正确，不符合题意； 若四边形为菱形，则， ∴， ∴为矩形，故C说法错误，符合题意； 若四边形正方形，则， ∴，且 ∴为正方形，故D说法正确，不符合题意； 故选：C． 12. 有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”如图2所示，若“生长”了2025次后，形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ） A. 2026 B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2025次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2026． 故选：A． 二、填空题（每题4分，共24分） 13. 写出一个能与合并的最简二次根式：____________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，正确理解其概念是解题的关键． 同类二次根式的定义：把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式；根据定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴能与其合并的最简二次根式可以是． 故答案为：（答案不唯一） ． 14. 命题“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是_____________________． 【答案】如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 【解析】 【详解】解：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件， 那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题. 因此，“平行四边形的对角线互相平分”的逆命题是“如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形”. 故答案为：如果一个四边形的对角线互相平分，那么这个四边形是平行四边形. 15. 已知n是正整数，是整数，则n的最小值是__． 【答案】3 【解析】 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴n的最小值是3. 故答案是：3． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握． 16. 如图，一艘船从A处向北偏西的方向行驶5海里到B处，再从B处向正东方向行驶8海里到C处，此时这艘船与出发点A处相距________海里． 【答案】7 【解析】 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，，进而得出，利用勾股定理得出即可． 【详解】解：如图： ， ， ，海里， 海里，海里， （海里）， （海里）， 故答案为：7． 【点睛】此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数得出，解答． 17. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，分别以Rt△ABC三边为直径作半圆，则阴影部分面积为_______. 【答案】6 【解析】 【分析】先利用勾股定理列式求出BC，再根据阴影部分面积等于以AC、BC为直径的两个半圆的面积加上直角三角形ABC的面积减去以AB为直径的半圆的面积，列式计算即可得解． 【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， ∴AC2+BC2=AB2， ∵AB=5，AC=4， ∴， S阴影=直径为AC的半圆的面积+直径为BC的半圆的面积+S△ABC－直径为AB的半圆的面积 = = = = = =6. 【点睛】本题考查了勾股定理，半圆的面积，熟记定理并观察图形表示出阴影部分的面积是解题的关键． 18. 如图1所示，在边长为4的正方形中，点分别为的中点，和相交于点；如图2所示，将图1中边长为4的正方形折叠，使得点落在边的中点处，点落在点处，折痕为．现有四个结论：图1中：①；②；③；图2中：④．其中正确的结论有：___________．（填序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】结合正方形的性质证明，由全等三角性质的性质可得，，即可判断结论①；证明，易得，即可判断结论②；利用面积法解得的长度，即可判断结论③；图2中，过点作于点，连接交于，证明，由全等三角性质的性质可得，利用勾股定理解得的值，即可判断结论④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵点分别为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ， ∴， ∵， ∴，故结论③错误； 图2中，过点作于点，连接交于，如下图， 由题意可知， 由折叠可知，， ∴， ∵，， ∴， 与中， ， ∴， ∴，故结论④正确． 综上所述，正确的结论有：①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形的性质并灵活运用是解题关键． 三、解答题（7个题，共78分） 19. 计算： （1）． （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 已知：如图，点为对角线的中点，过点的直线与，分别相交于点，． 求证：． 【答案】详见解析 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得出，，进而得出，，再证明，根据全等三角形的性质得出，再利用线段的差得出，即可得出结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵点为对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，正确理解题意是解题的关键． 21. 小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高. 【答案】12m 【解析】 【分析】根据题意设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m，再利用勾股定理即可求得AB的长，即旗杆的高． 【详解】解：设旗杆的高AB为xm，则绳子AC的长为（x+1）m 在Rt△ABC中， ∴ 解得x＝12 ∴AB＝12 ∴旗杆的高12m. 【点睛】此题考查了学生利用勾股定理解决实际问题的能力，关键是利用勾股定理即可求得AB的长． 22. 如图，在中，，是的中位线，是的中线.连接 （1）求证：． （2）判断四边形形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形为矩形，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位线的判定与性质，平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由中位线的性质得，结合直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半，得出，即可作答． （2）先由是的中位线，是的中线，得出，证明四边形为平行四边形，再结合有一个角是直角的平行四边形是矩形，即可作答． 【小问1详解】 证明：∵是的中位线， ∴， ∵是斜边上的中线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：四边形为矩形，理由是： ∵是的中位线，是的中线， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形． 23. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿方向由点向点移动，已知点为一海港，且点与直线上两点A，B的距离分别为和，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． （1）海港受台风影响吗？为什么？ （2）若台风的速度为，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】（1）海港受台风影响，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）过点作于点，先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，再利用三角形的面积公式求出的长，由此即可得； （2）当时，台风正好影响海港，利用勾股定理求出的长，从而可得的长，再利用除以台风的速度即可得． 【小问1详解】 解：海港受台风影响，理由如下： 如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴， ∵， ∴海港受台风影响． 【小问2详解】 解：如图，当时，台风正好影响海港， ∴， ∴， ∵台风的速度为， ∴， 答：台风影响该海港持续的时间为． 24. 阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一： 方法二： （1）请用两种不同的方法化简：； （2）化简：． 【答案】(1)-；(2) ． 【解析】 【分析】(1)首先理解题意，根据题目的解析，即可利用两种不同的方法化简求得答案； (2)结合题意，可将原式化为(-+-+-+…+-)，继而求得答案． 【详解】解：(1)方法一：===-； 方法二：===-； (2)原式=(-+-+-+…+﹣)=(﹣)=． 【点睛】此题考查了分母有理化的知识，解题的关键是理解题意，掌握分母有理化的两种方法． 25. 如图，在四边形ABCD中，，，，．点P从A点出发以1cm/s的速度向点D运动；同时点Q从点C出发以2cm/s的速度向点B运动．规定运动时间为t秒，当其中一点到达终点时另一点也同时停止运动． （1）______，______（分别用含有的式子表示）； （2）当四边形面积是四边形面积的2倍时，求出的值． （3）当点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2）6 （3）3或4或5 【解析】 【分析】（1）根据路程等于速度乘以时间，即可求解； （2）设点到距离为，根据四边形的面积是四边形面积的2倍，可列方程，解方程即可得到答案； （3）分四种情况讨论，根据平行四边形对边相等，列出一元一次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵点以的速度由向运动，点以的速度由向运动， ∴，， ∴， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：设点到的距离为， ∵四边形的面积是四边形面积的2倍， ∴可得：， 解得：； 【小问3详解】 解：若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：（不合题意，舍去）， 若四边形是平行四边形， ∴， ∴可得：， 解得：， 综上可得：当或3或5时，点、与四边形的任意两个顶点所形成的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、平行四边形的性质，利用分类讨论思想是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $