精品解析：山东省菏泽市牡丹区2026年九年级阶段性学业水平考试检测（一）数学试题

山东省菏泽市牡丹区2026年九年级阶段性学业水平考试检测（一）数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上数的大小比较，掌握数轴的特点是关键． 根据数轴的特点得到，由此即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴， 故选：A ． 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意． 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法表示较小的数，解题的关键是掌握科学记数法的表示形式（其中为正整数，的值等于原数中左起第一个非零数前零的个数）． 确定和的值来用科学记数法表示0.0000000256． 【详解】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则． 原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以， 那么0.0000000256用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从几何体左边看到的图形即可 【详解】解：该几何体的左视图如下： 故选：A． 【点睛】本题考查几何体的三视图，注意观察角度不同分别得出视图是解题关键． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，原计算错误； B、不是同类项，不能合并，原计算错误； C、，正确； D、，原计算错误. 6. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（ ） A. 米／秒 B. 米／秒 C. 米／秒 D. 米／秒 【答案】C 【解析】 【分析】设通过的速度是，根据米，小敏共用22秒通过路段，通过路段的速度是通过路段速度的1.2倍，进行列分式方程，解出x即可，进而求得小敏通过路段时的速度． 【详解】解：设通过的速度是， 根据题意可列方程： ， 解得， 经检验：是原方程的解且符合题意． ∴通过时的速度是1米/秒 ∴路段的速度是米/秒． 7. 某基因数据分析平台对人类单双眼皮遗传规律开展建模研究：双眼皮由显性基因R控制，单眼皮由隐性基因r控制．基因型表现为双眼皮，表现为单眼皮．父母均随机将一对基因中的一个遗传给子女．若父母基因型均为，则子女为双眼皮的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列出子女所有等可能的基因型，再统计双眼皮对应的结果数，利用概率公式计算即可． 【详解】解：∵父母基因型均为，每人随机传递一个基因给子女，所有等可能的基因型组合为，共种， 又∵基因型表现为双眼皮，符合条件的结果共种， ∴子女为双眼皮的概率为． 8. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到，再根据等边对等角，三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵所对圆心角为，所对圆周角为， ∴， ∵，是弦， ∴是线段的垂直平分线， ∵， ∴，则， ∵， ∴． 9. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，则下列结论正确的是（ ） … 0 2 4 7 … … … A. B. C. 的解是， D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由表格得出对称轴为直线，从而得出，由二次函数的性质得出当时，为最小值，即，再求出，即可得出，由题意可得和关于直线对称，由，得出，即可得解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：由表格可得，当和时，，故对称轴为直线， ∴，顶点坐标为， ∴， ∵， ∴抛物线开口向上，故当时，为最小值，即，故B正确； 当时，， ∴，故A错误； ∵和关于直线对称， ∴的解是，，故C正确； ∵， ∴， ∴，故D正确； 综上所述，正确的有BCD， 故选：BCD． 10. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，，下列三个结论：若，则；若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据的正切值，结合勾股定理可求出的值，即可判断；根据的面积与正方形面积之间的关系，得出关于和的方程，即可判断；得出点的运动轨迹，根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线性质即可判断． 【详解】解：在中， ， 设，，则， 四边形是正方形，， ， ，解得， ，， 外部的四个直角三角形全等， ， ，故正确． 的面积是正方形面积的倍， ， ， ， 整理得，， ，即， 解得（负值已舍去）， 点是的三等分点， 故正确． 由旋转可知， ， 点在以为直径的圆上，如图，取的中点，连接，， ， 在中， ． 当点，，共线时，取得最大值， 此时， 故正确． 综上，正确的结论是． 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案） 11. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据图形面积计算即可求解． 【详解】解：各个图形组合成长方形，其面积和为，长方形的面积为， ∴ ． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据翻转变换的性质得到∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5，根据矩形的性质得到∠EFC=∠BAF，根据余弦的概念计算即可． 【详解】解：由翻转变换的性质可知，∠AFE=∠D=90°，AF=AD=5， ∴∠EFC+∠AFB=90°， ∵∠B=90°， ∴∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠EFC=∠BAF，cos∠BAF=， ∴cos∠EFC=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，余弦的概念． 13. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】作轴，轴，根据反比例函数值的几何意义得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，进行求解即可. 【详解】解：作轴，轴，则， 由题意可得，， ∴， ∴， ∴， ∴. 14. 定义运算：，例如，则函数的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与二次函数最值问题，根据新定义运算规则得到二次函数解析式，再利用配方法将二次函数化为顶点式，根据二次函数的性质即可求出最小值． 【详解】解： ， 二次项系数，抛物线开口向上， 当时，函数取得最小值，最小值为． 15. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到，第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…依此类推，得到，则点的坐标为____． 【答案】（，） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、坐标与图形的变化及规律探究，解题的关键是找出旋转周期和坐标变化规律．先根据初始点，分别计算前几次变换后的坐标，发现每6次变换回到轴正方向，周期为6；由，得与同方向，累计旋转，在第二象限，与轴负半轴夹角为, 再用含角的直角三角形性质求坐标． 【详解】解：初始点，在轴正半轴，， 第一次变换：顺时针旋转， 过点作轴于点H， 在中，， ， 顺时针旋转到第四象限， ； 第二次变换：顺时针旋转，累计旋转，过点作于G， 在中，， ， 在第三象限， ； 第三次变换：顺时针旋转，累计旋转, ， 由上可知，每6次变换回到轴正方向，周期为6， ， 与同方向， 累计旋转，在第二象限，与轴正方向的夹角为即与轴负半轴夹角为， ， 过作轴垂线，垂足为， 在中，， ， 在第二象限， ， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） 解： ； （2） 解： ∴原不等式的解集为， 数轴表示为： 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 【答案】（1） 如图： （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵在中，是斜边上的中线， ∴， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，菱形的判定，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是： （1）根据作一个角等于已知角的方法作图即可； （2）先证明四边形是平行四边形，然后利用直角三角形斜边中线的性质得出，最后根据菱形的判定即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）连接并延长，与反比例函数的图象交于点，点在轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 【答案】（1），； （2）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（）将点的坐标代入关系式，求出的值，即可得出答案； （）令得到点的坐标，然后分情况根据相似三角形的对应边成比例求出答案即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数解析式为， 当时，， ∴点， ∴ 当点落在轴的正半轴上， 则， ∴与不可能相似． 当点落在轴的负半轴上， 若， ∴ ∵， ∴， ∴， 若， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述：点的坐标为或． 19. 2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动，普及健康生活方式．“少年强则国强”，关注青少年健康是头等大事．其中，青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表）， 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图（扇形统计图为男女生总人数）． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） （2）扇形统计图中A等级的圆心角度数为 ；将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数； （4）根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 【答案】（1）B （2） 36º，补全条形统计图如下： （3）“肥胖”的学生约为120人 （4）该校多数学生体重标准，存在少数同学体重不标准，甚至肥胖，这部分同学应该健康饮食，多锻炼身体．（答案不唯一，言之有理即可） 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据体重指数公式计算即可判断出答案； （2）用等级的人数除以可得总人数，用总人数乘，再减去等级的男生人数，进而得出等级的女生人数，再补全条形统计图即可； （3）利用样本估计总体，可估计出全校体重指标为“肥胖”的学生人数； （4）答案不唯一，言之有理即可． 【小问1详解】 解：，， 她的体重指数属于B等级； 故答案为：B； 【小问2详解】 解：本次调查的样本容量是：， A等级的圆心角度数为：， 等级的女生人数为：（人）， 图略； 【小问3详解】 解： （人）． 答：估计全校体重指数为“肥胖”的学生约为120人； 【小问4详解】 略 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，过点作于点，先求出，求出，然后在中，利用勾股定理即可求解； （2）过点作，垂足为．先求出，再求出，在中，求出，然后根据求解即可． 【小问1详解】 解：过点作于点，过点作于点， 由题意可得四边形是矩形， ， ， ， ． 在中，， 答：下折臂的长约为． 【小问2详解】 解：过点作，垂足为． ， ． ， ． ， ， 由题意可得四边形是矩形， ， 在中，， ． ． 答：路灯的高约为． 21. 如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点D． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） 证明：连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质，以及圆周角定理得到，，再利用平行线判定证明，即可解题； （2）过点A作交于点F，结合平行线性质，以及直角三角形性质得到，再证明四边形是正方形，结合正方形性质，以及进行求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：过点A作交于点F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴． ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， ∴ ． 22. 项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． （1）求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 解：洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，理由如下， 当米时，米， 当时，， ∵， ∴洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带． 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，抛物线过点，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意，设上边缘抛物线向左平移，且抛物线过点，代入计算得到平移后的解析式，再令，解一元二次方程即可求解； （3）根据题意，当米时，米，把代入上边缘抛物线计算出高度，再与绿化带横截面的比较即可求解． 【小问1详解】 解：喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米， ∴，抛物线过点， ∴设抛物线解析式为， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到， ∴设上边缘抛物线向左平移， ∴平移后的抛物线解析式为：， 把代入得，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴平移后的解析式为， 令时，， 整理得，， 解得，（舍去），， ∴； 【小问3详解】 略 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】 （1），理由如下： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），理由如下： 过E点作于点M，过E点作于点N，如图， ∵四边形是正方形，是正方形的对角线， ∴，平分，， ∴， 即， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴四边形是正方形， ∴是正方形对角线，， ∴， ， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， 即有； （3），理由如下， 过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，如图， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵在正方形中，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）直接证明，即可证明； （2）过E点作于点M，过E点作于点N，先证明，可得，结合等腰直角三角形的性质可得：， ，即有，，进而可得，即可证； （3）过A点作于点H，过F点作，交的延长线于点G，先证明，再结合等腰直角三角形的性质，即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的性质等知识，题目难度中等，作出合理的辅助线，灵活证明三角形的全等，并准确表示出各个边之间的数量关系，是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省菏泽市牡丹区2026年九年级阶段性学业水平考试检测（一）数学试题 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 数轴上表示数的点如图所示，下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 3. 在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个几何体如图所示，那么它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 斑马线前“车让人”，不仅体现着一座城市对生命的尊重，也直接反映着城市的文明程度．如图，某路口的斑马线路段横穿双向行驶车道，其中米，在绿灯亮时，小敏共用秒通过路段，其中通过路段的速度是通过路段速度的倍，则小敏通过路段时的速度是（ ） A. 米／秒 B. 米／秒 C. 米／秒 D. 米／秒 7. 某基因数据分析平台对人类单双眼皮遗传规律开展建模研究：双眼皮由显性基因R控制，单眼皮由隐性基因r控制．基因型表现为双眼皮，表现为单眼皮．父母均随机将一对基因中的一个遗传给子女．若父母基因型均为，则子女为双眼皮的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，是的弦，交于点，点是上一点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 已知抛物线图象上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表，则下列结论正确的是（ ） … 0 2 4 7 … … … A. B. C. 的解是， D. 10. 如图是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成．在正方形中，，下列三个结论：若，则；若的面积是正方形面积的倍，则点是的三等分点；将绕点逆时针旋转得到，则的最大值为．其中正确的结论是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共5个小题，每小题3分，共15分，直接填写答案） 11. 数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法，请利用如图所示的图形分解因式__________． 12. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=5，点E在DC上，将矩形ABCD沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点F处，那么cos∠EFC的值是_____． 13. 如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作的垂线与反比例函数的图象交于点，则的值为__________． 14. 定义运算：，例如，则函数的最小值为__________． 15. 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转60°，同时边长扩大为边长的2倍，得到，第二次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到，…依此类推，得到，则点的坐标为____． 三、解答题：（本大题共8个小题，共75分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：． （2）解不等式：，把它的解集表示在数轴上． 17. 如图，在中，是斜边上的中线，交的延长线于点E． （1）请用无刻度的直尺和圆规作，使，且射线交于点F（保留作图痕迹，不写作法）． （2）证明（1）中得到的四边形是菱形 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求与的值； （2）连接并延长，与反比例函数的图象交于点，点在轴上，若以O、C、D为顶点的三角形与相似，求点的坐标． 19. 2025年3月9日，十四届全国人大三次会议举行记者会，国家卫生健康委员会主任雷海潮表示，将持续推进体重管理年行动，普及健康生活方式．“少年强则国强”，关注青少年健康是头等大事．其中，青少年体重指数（）是评价青少年营养状况、肥胖的一种衡量方式．其中体重指数计算公式：，其中G表示体重（kg），h表示身高（m）．《国家学生体质健康标准》将学生体重指数（）分成四个等级（如表）， 等级 偏瘦（A） 标准（B） 超重（C） 肥胖（D） 男 女 为了解学校学生体重指数分布情况，九年级某数学综合实践小组开展了一次调查． 【数据收集】小组成员从本校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并收集数据． 【数据整理】调查小组根据收集的数据，绘制了两组不完整的统计图（扇形统计图为男女生总人数）． 【问题解决】根据以上信息，解决下列问题： （1）若一位女生的身高为1.6m，体重为51.2kg，则她的体重指数（）属于 等级；（填“A”，“B”，“C”，“D”） （2）扇形统计图中A等级的圆心角度数为 ；将条形统计图补充完整； （3）若该校共有2000名学生，估计全校体重指数为“肥胖”学生的人数； （4）根据以上统计数据，针对该校学生的胖瘦程度，请你提出一条合理化建议． 20. 如图1是某路政部门正在维修路灯的实物图片，图2是平面示意图．路灯和汽车折臂升降机的折臂底座都垂直于地面，且它们之间的水平距离，折臂底座高，上折臂与下折臂的夹角，下折臂与折臂底座的夹角，下折臂端点E到地面距离是． （1）求下折臂的长； （2）求路灯的高． （结果精确到，参考数据：） 21. 如图，内接于，连接，过点作的切线，与的延长线交于点D． （1）求证：； （2）若，求图中阴影部分的面积． 22. 项目式学习以解决实际问题为核心，结合二次函数知识，聚焦城市绿化灌溉中的精准设计问题，开展实践探究． 项目主题：合理设计，智慧泉源——基于城市绿化灌溉的数学实践探究 项目背景：为响应“绿色城市”建设号召，洒水车作为城市绿化灌溉的核心设备，承担着道路清扫、降温除尘、浇灌绿化带的重要职责，直接影响绿化带存活与城市风貌．如图1，如何科学把控洒水车行驶路线与绿化带的距离，确保喷出的水能浇灌到整个绿化带、实现高效节水，是提升城市管理精细化水平的重要课题．数学小组成员结合所学二次函数知识，围绕这一实际问题，开展了“合理设计 智慧泉源”为主题的项目式学习． 任务一：测量建模 为精准分析洒水范围、解决“浇灌全覆盖”的核心问题，小组成员建立如图2所示的平面直角坐标系，将洒水车喷出水的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．已知喷水口离地面的竖直高度为米，上边缘拋物线的最高点离喷水口的水平距离为2米，且高出喷水口米． （1）求上边缘拋物线的函数解析式； 任务二：推理分析 经过进一步实践探究，小组成员发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状保持不变（即抛物线的开口方向和开口大小不变），下边缘抛物线可由上边缘抛物线向左平移得到．为判断浇灌效果，将绿化带横截面抽象为矩形，其水平宽度米，竖直高度米，洒水车到绿化带的水平距离为米． （2）求下边缘抛物线与轴交点的坐标； （3）若米，则洒水车行驶时喷出的水能否浇灌到整个绿化带？请说明理由． 23. 【模型建立】 （1）如图1，已知和，，，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型应用】 （2）如图2，在正方形中，点E，F分别在对角线和边上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，点E在对角线上，点F在边的延长线上，，．用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $