精品解析：2026年山东东营市利津县初中学业水平模拟考试（一模）数学试题

2026年初中学业水平模拟考试（一模） 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列汽车图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3 B. 中位数是4.5 C. 平均数是5 D. 方差是4 6. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 7. 如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 10. 如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 12. 分解因式： __________． 13. 已知，则代数式的值为_____． 14. 若关于的方程无解，则的值为_____． 15. 用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 16. 如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B在反比例函数y=图象上，则图中过点A的双曲线解析式是_____． 17. 如图，中，，，D为的中点，在上，点在上，，将线段绕着点旋转，使点落在射线上点处，则_____． 18. 如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为__________． 三、解答题：（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算、解不等式组 （1）； （2） 20. 随着时代的发展，心理健康问题越来越受到人们的关注，为了解巴州区某学校学生对心理健康知识的认知情况，按“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类随机调查该校部分学生，并将调查结果绘制成下面两个统计图． （1）本次调查的学生共有______人，并补全条形统计图． （2）若该校共有1200名学生，请估计“不了解”的学生有______人． （3）“非常了解”的4人中有两名男生，两名女生．若从中随机抽取两人向全校做心理健康知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 21. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，且，垂足为点． （1）求证：是的切线 （2）若，，求直径的长． 22. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m． （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）； （2）下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：，，，） 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 24. 在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 【观察发现】： （1）如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深度探究】： （2）如图2，当点在线段（D点不在中点）上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】： （3）当点在线段或线段的延长线上时，连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）当的面积等于3时，求的值； （3）在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试（一模） 数学试题 （考试时间：120分钟 分值：120分） 注意事项： 1．本试题分第I卷和第II卷两部分，第I卷为选择题，30分；第II卷为非选择题，90分；全卷共6页． 2．数学试题答题卡共4页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束后上交答题卡． 3．第I卷每题选出答案后，都必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．第II卷按要求用0.5mm碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题（本题共10小题，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，不选或选出的答案超过一个均记零分．） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项、整式的乘法运算等知识点，掌握整式的运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项以及整式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解：A．中与不是同类项，不可以合并，故A选项错误； B．，故B选项错误； C．，故C选项正确； D．，故D错误． 故选C． 3. 如图所示的是某单车车架的示意图，线段AB，CE，DE分别为前叉、下管和立管（点C在AB上），EF为后下叉．已知，，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质．熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据两直线平行，内错角相等即可求得结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 下列汽车图标是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据中心对称图形的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意． 5. 对于一组统计数据：2，3，6，9，3，7，下列说法错误的是（ ） A. 众数是3 B. 中位数是4.5 C. 平均数是5 D. 方差是4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查众数、中位数、平均数、方差的计算，先将数据从小到大排序，再根据各统计量的定义计算，即可判断出错误的说法． 【详解】解：将数据从小到大排列为2，3，3， 6，7，9，共 个数据． ∵数据中 出现次数最多， ∴众数为 ，A正确，不符合题意． ∵ 个数据的中位数为第 个和第 个数据的平均数，即 ， ∴中位数为 ，B正确，不符合题意． ∵平均数 ， ∴平均数为 ，C正确，不符合题意． ∵方差， ∴D错误，符合题意． 6. 已知和是方程的两个解，则的值为（ ） A. 2025 B. 2026 C. 2027 D. 2028 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数a，b，c，有如下关系：，，由题意可得，，将所求式子变形为，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵和是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ． 7. 如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先由主视图和左视图可以得到该物体为圆锥体且圆锥体的高为，再由俯视图得到圆锥体的底面圆的周长为，由勾股定理求得圆锥的母线长，进而即可求解． 【详解】提示：该物体为圆锥，底面周长为， 母线长为， 侧面展开图的面积为． 8. 如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M， 由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 9. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围进行求解即可． 熟练掌握一次函数与反比例函数综合，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【详解】解：点A的横坐标为2，点B的横坐标为， 由图知，不等式的解集是或． 10. 如图，在正方形内一点，连接，，过作与的延长线交于点，连接，，且，，下列结论中：①；②；③点到的距离为；④． 其中正确的结论有（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】A 【解析】 【分析】····本题考查了正方形的性质，余角性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，四边形的面积，掌握正方形的性质和全等三角形的判定和性质是解题的关键；由正方形的性质可得，，进而得，由垂直得，即得，即可得，进而由得到，即可判断①；由全等三角形的性质得，由等腰直角三角形的性质得，即可得，得到，即可判断②；由勾股定理可得，进而得，过点作的延长线于点，则，，由勾股定理得，即可判断③；由计算即可判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴， 过点作的延长线于点，则，， ∴， ∴点到的距离为，故③正确； ， 故④错误； 综上，正确结论的为①②③， 故选：A． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：（本大题共8小题，其中11－14题每小题3分，15－18题每小题4分，共28分．只要求填写最后结果．） 11. 石墨烯目前是世界上最薄却也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其理论厚度仅米，将这个数用科学记数法表示为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定，进行求解即可． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故答案为：． 12. 分解因式： __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，原式提取公因式后再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案为:． 13. 已知，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式混合运算法则将原式化简，再将m的值代入求值即可．本题主要考查分式的混合运算以及二次根式的混合运算，正确的计算是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 14. 若关于的方程无解，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 15. 用一种硬纸板制作某种长方体包装盒，每张硬纸板可制作盒身12个或制作盒底18个，1个盒身与2个盒底配成一套．现有28张这种硬纸板，全部用来制作这种包装盒，要使盒身和盒底刚好配套，则需要用于做盒身的硬纸板_____张． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程在实际配套问题中的应用．根据配套关系得到盒底数量是盒身数量的倍，据此设未知数列出方程，再解一元一次方程即可得到结果． 【详解】解：设需要张硬纸板做盒身，则做盒底的硬纸板为张．根据题意，得， 展开得 ， 移项合并同类项得 ， 解得． 16. 如图所示，Rt△AOB中，∠AOB=90°，OA=4，OB=2，点B在反比例函数y=图象上，则图中过点A的双曲线解析式是_____． 【答案】y=﹣ 【解析】 【分析】要求函数的解析式只要求出点A的坐标就可以，过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D．设点B的坐标是（m,n）,然后用待定系数法即可． 【详解】过点A，B作AC⊥x轴，BD⊥x轴，分别于C，D． 设点B的坐标是（m,n）, 因为点B在函数y=的图象上,则mn=2, 则BD=n,OD=m,则AC=2m,OC=2n, 设过点A的双曲线解析式是y=, A点的坐标是（-2n,2m）, 把它代入得到:2m=, 则k=-4mn=-8, 则图中过点A的双曲线解析式是y=. 故答案为：y=. 17. 如图，中，，，D为的中点，在上，点在上，，将线段绕着点旋转，使点落在射线上点处，则_____． 【答案】或 【解析】 【分析】满足条件的N点有、两个．①当时，根据等腰三角形三线合一的性质可得，作于E点，于F点，根据角平分线的性质可得，再根据可得，进而可得，由平行线的性质及三角形外角的性质可得，从而可得，进而可得．②当时，结合可得，进而可得，从而可得解． 【详解】解：根据旋转的性质可得．如图，满足条件的N点有、两个． ①当时， ∵中，，，D为的中点， ∴是的平分线， ∴， 作于E点，于F点， 则，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ②当时，如图， ∵， ∴， ∴． 综上，为或． 18. 如图，已知直线，直线和点，过点P作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点，过点作y轴的平行线交直线a于点，过点作x轴的平行线交直线b于点……按此作法进行下去，则点的横坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，正确找出规律是解题的关键． 依据题意，观察横坐标变化规律，即偶数下标点的横坐标为，根据规律求解即可． 【详解】解：，点在直线上，轴， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线， ． ， ，即点的横坐标为， 同理可得： 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为，点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 偶数下标点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 故答案为：． 三、解答题：（本大题共7小题，共62分．解答要写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．） 19. 计算、解不等式组 （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，零指数幂，以及绝对值的意义计算即可； （2）分别求出两个不等式的解集，然后求出它们的公共部分即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 不等式组的解集为． 20. 随着时代的发展，心理健康问题越来越受到人们的关注，为了解巴州区某学校学生对心理健康知识的认知情况，按“非常了解”“了解”“了解较少”“不了解”四类随机调查该校部分学生，并将调查结果绘制成下面两个统计图． （1）本次调查的学生共有______人，并补全条形统计图． （2）若该校共有1200名学生，请估计“不了解”的学生有______人． （3）“非常了解”的4人中有两名男生，两名女生．若从中随机抽取两人向全校做心理健康知识交流，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）50， 补全条形统计图如下： （2）360 （3） 【解析】 【分析】（1）根据图示，可由非常了解的人数和所占的百分比直接求解总人数，然后求出不了解的人数，最后补全统计图即可； （2）根据（1）中求出的不了解的人数占比乘以总人数即可得到答案； （3）根据题意画出树状图，然后求出总可能和“一男一女”的可能，再根据概率的意义求解即可． 【小问1详解】 解：由统计图可知，“非常了解”的人数为4人，其占比为， ∴总人数（人）， ∴“了解”的人数（人）， “了解较少”的人数（人）， ∴“不了解”的人数（人）， 图略； 【小问2详解】 解：“不了解”的人数占比， （人） ∴该校1200名学生中“不了解”的人数约为360人； 【小问3详解】 解：设两名女生为，，两名男生为，，画树状图如下， 共有种等可能的结果，其中恰好抽到一男一女的结果有8种， （恰好抽到一男一女）． 21. 如图，在中，，以的边为直径作，交于点，且，垂足为点． （1）求证：是的切线 （2）若，，求直径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，，根据平行线的性质可得，从而可得是的切线． （2）连接，证明，再根据相似三角形的性质求出，进而求出，即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直径长为． 22. “五一”节期间，许多露营爱好者在我市郊区露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，通过调节点的高度可控制“天幕”的开合，m，m． （1）天晴时打开“天幕”，若，求遮阳宽度（结果精确到0.1m）； （2）下雨时收拢“天幕”，从65°减少到45°，求点下降的高度（结果精确到0.1m）． （参考数据：，，，） 【答案】（1）遮阳宽度约为 （2）点下降的高度约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用正弦可得的长，由此即可得； （2）设点下降到点，过点作于点，过点作于点，先根据矩形的判定与性质可得，从而可得，再分别解直角三角形可得的长，然后根据线段和差即可得． 【小问1详解】 解：由题意得：是轴对称图形， ， ，， ， ， 答：遮阳宽度约为． 【小问2详解】 解：如图，设点下降到点，过点作于点，过点作于点， 则四边形和四边形都是矩形， ， ，即， 当时，， 当时，， 则， 答：点下降的高度约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、轴对称图形、矩形的判定与性质，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． 23. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 24. 在中，，，点是直线上的一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段． 【观察发现】： （1）如图1，当点是的中点时，连接，试判断四边形的形状，并说明理由． 【深度探究】： （2）如图2，当点在线段（D点不在中点）上时，连接，过点作于点，过点作于点，猜想线段与的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】： （3）当点在线段或线段的延长线上时，连接，过点作于点，连接．若，，请直接写出线段的长 【答案】（1） 解：四边形为正方形，理由如下： ，，点是的中点， 、， ， 由旋转知，、， 、， ， 四边形是平行四边形， 、， 平行四边形是正方形； （2） 解：，理由如下： 连接， 由（1）知，， ， ， 在和中， ， ， 、， ， 即， ， ， ， 、， 点F是的中点， 是的中位线， ， ； （3）的长度为或 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到、，由旋转的性质得到、，进而得到且，则四边形是平行四边形，利用、，得出四边形是正方形； （2）连接，易证明，则、，进而得到，进而得到，根据等腰直角三角形的性质得到，点F是的中点，进而得到是的中位线，即，从而得出结论； （3）分情况讨论：当①点D在线段的延长线上或②点D在线段的延长线上时，连接，过点A作于点M，同（2）可证明，根据直角三角形斜边中线的性质得到，进而证得为等边三角形，利用角之间的和差关系求出，在中，，利用、、间的和差关系求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的长度为或，理由如下： ①当点D在线段的延长线上时， 如图，连接，过点A作于点M， ， ， ， 在和中， ， ， 、， 由（1）知，， ， ， 、、， 、， 、点是中点， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ； ②当点D在线段的延长线上时， 如图，连接，过点A作于点M， 同①证明为等边三角形， ， ， ， 由①可知，， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查旋转的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、正方形的判定定理，全等三角形的判定与性质、解直角三角形，熟练掌握相关性质定理，数形结合和分类讨论的思想方法的运用是解题的关键． 25. 如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． （1）求抛物线的解析式和点的坐标； （2）当的面积等于3时，求的值； （3）在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 【答案】（1），点的坐标为 （2）或3 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）将点和点代入中，求出b和c的值即可得抛物线的解析式，进而可得C点的坐标． （2）先利用待定系数法求出的解析式为，过Q点作轴于D点，交于E点，则可得，，，根据即可求出m的值． （3）由（2）知，根据二次函数的性质可知，当时，有最大值，最大值为4． 【小问1详解】 解：将点和点代入中， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把和代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 过Q点作轴于D点，交于E点， ∵Q点在抛物线上，且的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积等于3， ∴， ∴， 解得，． 【小问3详解】 解：由（2）知， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数，以及二次函数与三角形综合，三角形面积求法，待定系数法．在直角坐标系中“三角形的面积=水平宽铅垂高”是常用的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $