精品解析：2025年山东省东营市利津县一模数学试题

2025 年初中学业水平模拟考试 数学试题（一模） （总分 120 分 考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．本试题分第 Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第 Ⅰ卷为选择题，30 分 ；第Ⅱ卷为非选择题，90 分；本试题共 6 页． 2．数学试题答题卡共 4 页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第 Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用 0.5mm 碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第 Ⅰ卷（选择题共 30 分） 一、选择题：本大题共 10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数的概念，直接根据相反数的定义求解即可． 【详解】解：的相反数是2， 故选D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，二次根式的加法，负整数指数幂，幂的乘方，根据相关运算法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，故此选项错误； B、不能合并，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，正确； 故选D． 3. 如图，，点 E 在线段上，若， 则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质；由平行线的性质得，由三角形外角的性质即可求解结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故选：B． 4. 某商品的进价为200元，标价为300元，折价销售时的利润率为5%，问此商品是按（ ）折销售的． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】设此商品是按x折销售的，根据利润=进价×利润率，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设此商品是按x折销售的， 根据题意得：300×-200=200×5%， 解得：x=7． 答：此商品是按7折销售的． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 5. 下列命题正确的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 面积之比为的两个相似三角形的周长之比也是 D. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的性质、垂径定理的推论、相似三角形的性质、中点四边形等知识，根据相关知识进行判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项错误，不符合题意； B．平分弦（弦不是直径）的直径垂直于弦，故选项错误，不符合题意； C．面积之比为的两个相似三角形的周长之比是，故选项错误，不符合题意； D．顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形，故选项正确，符合题意； 故选：D． 6. 小明为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中参加百米短跑决赛的 8名女运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：76、78、77、78、77、79、78、81，那么这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 77、78 B. 77、77 C. 78、78 D. 78、77 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记中位数和众数的定义是解题关键．根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】解：在这组数据中，78出现的次数最多， 所以这组数据的众数是78， 将这组数据从小到大进行排序为， 所以这组数据的中位数是， 故选：C． 7. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是 （ ） A. 12 π B. 15 π C. 20 π D. 30 π 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了三视图、圆锥的侧面积等知识．根据三视图判断几何体为圆锥，再进行计算即可得到答案． 【详解】解：由三视图可知此几何体为圆锥， ∴圆锥的底面半径为3，母线长为5， ∵圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的底面周长圆锥的侧面展开扇形的弧长， ∴圆锥的侧面积． 故选：B． 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，根据一元二次方程的定义结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴，且， 解得且， 故选：B 9. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与位似，根据以原点为位似中心的两个位似图形的对应点的坐标之间的关系，倍或倍，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：或， 即：或； 故选D． 10. 如图，已知四边形是矩形，点 E 是 边上的点，且，，，垂足为 F．下列结论：①；②平分；③；④其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理、锐角三角函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 根据矩形的性质证明，，利用勾股定理求出，然后逐一进行判断即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， ， ， ，，故①③正确， 不妨设平分，则是等腰直角三角形，这个显然不可能，故②错误， ，， ， ， ，故④错误， 正确的结论有①③共个． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 8 小题，其中 11-14 题每小题 3 分，15-18 题每小题 4 分，共 28分．只要求填写最后结果． 11. 飞机零件的精确度极高 ，它的某个零件的精度小于 0.00000002 丝，则 0.00000002 用科学记数法表示为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：0.00000002； 故答案为：． 12. 因式分解： _____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，运用平方差公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是_________． 【答案】 【解析】 【分析】列举出所有情况，看每个路口都是绿灯的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】共4种情况：红红、红绿、绿红、绿绿，有1种情况每个路口都是绿灯，所以概率为． 故答案为． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，通过树状图列举出所有的情况和得到每个路口都是绿灯的情况数是解决本题的关键． 14. 若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查分式方程的增根问题，将分式方程转化为整式方程，根据方程有增根，得到，求出的值，再代入到整式方程中，求出m 的值即可． 【详解】解：， 去分母，得：， ∵方程有增根， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：3 15. 已知的半径是，A 是上一点，过 A 作弦，，则弦所对的圆周角的度数为 __________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理和圆内接四边形定理，熟练掌握这两个定理是解题的关键．注意：圆当中一条弦对了两条弧，也就对了两个圆周角，做题时防止漏掉一个解． 先计算出的度数，根据圆周角定理即可求出的度数，再根据圆的内接四边形定理，可得的度数 ，这两个角都是弦所对的圆周角． 【详解】解：如图， ∵的半径为2，， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴弦所对的圆周角的度数是或． 故答案为：或． 16. 如图，两建筑物和的水平距离为 24 米，从 A 点测得 D 点的俯角为， 测得 C 点的俯角为， 则建筑物的高为 ____ 米．（精确到米， ） 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点M．在中，可求出；在中，可求出．那么根据即可求出答案． 【详解】解：延长交于点M．则米， 在中， ∴米， 同理，得米， 因此（米）． 故答案为：． 17. 如图，在中，，P 为边上动点，作 于点 D， 于 点 E， 则的最小值为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理．连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，线段的值最小，此时线段的值最小， ∵， ∴， 解得：， 即线段的最小值为． 故答案为：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，若和分别是直线和轴上的点．并且，，…都是等腰直角三角形，已知，，那么点的纵坐标是_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式，求出各点的坐标的规律是解答此题的关键． 先先求出直线的解析式，求出直线与轴、轴的交点坐标，求出直线与轴的夹角的正切值，分别过等腰直角三角形的直角顶点向轴作垂线，然后根据等腰直角三角形斜边上的高线与中线重合并且等于斜边的一半，利用正切值列式依次求出三角形的斜边上的高线，即可得到的坐标，进而得出各点的坐标的规律． 【详解】解：，在直线上， ， 解得， 直线解析式为：， 设直线与轴、轴的交点坐标分别为、， 当时，， 当时，，解得， 点、的坐标分别为，， ， 作轴于点，轴于点，轴于点， ∵，， …都是等腰直角三角形， ∴，， ，， ， ∴， 是等腰直角三角形， ， ， 同理可求，第四个等腰直角三角形， 依此类推，点的纵坐标是， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 62 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1） 计算： （2）化简求值 ，其中 【答案】（1）7；（2）； 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算和分式的化简求值，熟练掌握运算法则、特殊角的三角函数、二次根式的运算是解题的关键． （1）利用零指数幂、负整数指数幂、绝对值、积的乘方等法则计算即可； （2）先计算括号内的加减法，再计算除法得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ； 当时， 原式 ． 20. 为了响应国家全面开展素质教育的号召，班主任邓老师在班里随机抽取了四个小组的学生对其生活习惯和学习习惯进行了调研，将调研结果分成四类，A： 优秀；B： 良好；C：一般；D：较差；将调研结果绘制成了两幅不完整的统计图，请根据下列图形解答问题： （1）邓老师调查的同学的人数是 ，其中 C类女生有 名，D类男生有 名； （2）将上面的条形统计图补充完整； （3）D 所对应扇形圆心角的大小为 ； （4）养成习惯从日常生活做起，邓老师从 A类和D类学生中各选取一位同学组成互助小组，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是两名女同学的概率． 【答案】（1）20，2，1 （2）补全条形图如图： （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，列表法求概率，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）用类学生总数除以所占的比例求出调查的总人数，用总人数乘以类所占的比例求出类人数，再减去3即为女生人数，总人数减去其他人数，求出D类男生人数即可； （2）根据（1）中结果，补全条形图即可； （3）用360度乘以D类学生所占的比例求出圆心角的度数即可； （4）列出表格，利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：（人）； （名）； （名）； 故答案为：20，2，1 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ； 故答案为：； 【小问4详解】 由图可知，类共有2名男生，3名女生，列表如下： 男1 男2 女1 女2 女3 男1 男1，男2 男1，女1 男1，女2 男1，女3 男2 男2，男1 男2，女1 男2，女2 男2，女3 女1 女1，男1 女1，男2 女1，女2 女1，女3 女2 女2，男1 女2，男2 女2，女1 女2，女3 女3 女3，男1 女3，男2 女3，女1 女3，女2 共20种等可能的结果，其中两名女生的情况有6种， ∴． 21. 如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求AD的长． 【答案】（1） 证明：连接OC，如图： ∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC＝∠CAO， ∵OA＝OC， ∴∠CAO＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OCA， ∴ADOC， ∵AD⊥DC， ∴CO⊥DC， ∵OC是⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接OC，由AC平分∠BAD，OA＝OC，可得∠DAC＝∠OCA，ADOC，根据AD⊥DC，即可证明CD是⊙O的切线； （2）由OE是△ABC的中位线，得AC＝12，再证明△DAC∽△CAB，，即，从而得到AD． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵E是BC的中点，且OA＝OB， ∴OE是△ABC的中位线，AC＝2OE， ∵OE＝6， ∴AC＝12， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°＝∠ADC， 又∠DAC＝∠CAB， ∴△DAC∽△CAB， ∴，即， ∴AD． 【点睛】本题考查圆的切线的判定定理，相似三角形的判定及性质等知识，解题的关键是熟练应用圆的相关性质，转化圆中的角和线段． 22. 某学校为了增强学生体质，购进一批甲、乙两种跳绳，已知一件甲种跳绳的进价与一件乙种跳绳的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种跳绳的条数与用150元购进乙种跳绳的条数相同． （1）求每件甲种、乙种跳绳的进价分别是多少元？ （2）该校计划购进甲、乙两种跳绳共 48 件，其中甲种跳绳的件数少于乙种跳绳的件数．该校决定此次进货的总资金不超过 1000 元，求该校共有哪几种进货方案？哪种方案的费用最低，最低费用是多少？ 【答案】（1）每件甲种跳绳的进价为15元，每件乙种跳绳的进价为25元 （2）方案一，购进甲种跳绳20件，乙种跳绳28件；方案二，购进甲种跳绳21件，乙种跳绳27件；方案三，购进甲种跳绳22件，乙种跳绳26件；方案四，购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件；方案四的费用最低，为970元． 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式组是解题的关键： （1）设每件甲种跳绳的进价为元，根据一件甲种跳绳的进价与一件乙种跳绳的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种跳绳的条数与用150元购进乙种跳绳的条数相同，列出方程进行求解即可； （2）设购进甲种跳绳件，根据甲种跳绳的件数少于乙种跳绳的件数，此次进货的总资金不超过 1000 元，列出不等式组进行求解即可． 【小问1详解】 解：设每件甲种跳绳的进价为元，则：每件乙种跳绳的进价为元，由题意，得： ， 解得：， 经检验是原方程的解并符合实际意义， ∴， 答：每件甲种跳绳的进价为15元，每件乙种跳绳的进价为25元； 【小问2详解】 设购进甲种跳绳件，则购进乙跳绳件，由题意，得： ，解得：， ∵为整数， ∴，则：， 故共有4种方案： 方案一，购进甲种跳绳20件，乙种跳绳28件； 方案二，购进甲种跳绳21件，乙种跳绳27件； 方案三，购进甲种跳绳22件，乙种跳绳26件； 方案四，购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件； ∵乙种跳绳的进价高于甲种跳绳的进价，故购进甲种跳绳的数量越多，乙种跳绳的数量越少，费用越少， ∴方案四，当购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件时，费用最少，为：元； 答：方案一，购进甲种跳绳20件，乙种跳绳28件；方案二，购进甲种跳绳21件，乙种跳绳27件；方案三，购进甲种跳绳22件，乙种跳绳26件；方案四，购进甲种跳绳23件，乙种跳绳25件；方案四的费用最低，为970元． 23. 如图，已知点，点是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）若点P是y轴上一点，且的面积等于3，求点P的坐标； （3）求不等式的解集．（直接写出答案即可） 【答案】（1）反比例函数的关系式为：；一次函数的关系式为：． （2）或． （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的综合，熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，以及一次函数和反比例函数的图象和性质． （1）先将点B的坐标代入，求出m的值，即可得出反比例解析式，再把代入反比例函数解析式，求出n的值，最后将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）先求出直线与轴交点的坐标为，设，得出的长度表达式，计算、两点横坐标差值的绝对值．根据，，代入得到关于的方程，求解方程得出或，从而确定点的坐标为或． （3）根据函数图象，找出一次函数图象低于反比例函数图象时自变量的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：∵在反比例函数上， ∴． 又∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 又∵，是一次函数的上的点， 联立 解得，， ∴反比例函数的关系式为：；一次函数的关系式为：． 【小问2详解】 在中，令，则， ∴． 设，则． ∵，， ∴， ． ∵， ∴，即． 当时，；当时，． ∴点的坐标为或． 【小问3详解】 解：不等式的解集，就是一次函数的图象在反比例函数图象下方时的取值范围． 从图象上看，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象下方． ∴不等式的解集为或． 24. 已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点G． 【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形是正方形，且，求证：； 【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形是矩形，，且，猜想 与的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形是平行四边形，，当时，第（2） 问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 【答案】 （1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2），证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （3）当时，成立， 证明：如图，在的延长线上取点，使， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，即． 【解析】 【分析】（1）由四边形为正方形，利用正方形的性质得到一对角为直角，相等，且，利用同角的余角相等得到一对角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）根据四边形为矩形，同角的余角相等可证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证； （3）当时，成立，理由为：如图，在的延长线上取点，使，利用平行线的性质以及同角的补角相等证明，利用相似三角形对应边成比例即可得证． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题属于相似三角形综合题，考查了矩形的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，等边对等角，平行线的性质，同等的余角（或补角）相等．熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 25. 如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； （3）在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点坐标为 （3）存在，面积的最大值为，点P的坐标为． 【解析】 【分析】本题考查二次函数与一次函数的综合应用，涉及到待定系数法求函数解析式、求平面直角坐标系内三角形面积等，解题的关键是用含x的式子表示出的长度． （1）设函数的解析式为，将B代入求出a值即可； （2）令，求出点A坐标，进而求出直线的解析式，中，的长度固定，点A、点B关于直线对称，当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小，求出点N的坐标即可； （3）过点P作轴于点E，交于点F，设，则，F ，利用求出的最大值，再利用求出答案即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点为， 设函数的解析式为， 又函数图象经过点， ， 解得， ， 即抛物线的函数解析式为； 【小问2详解】 解：存在， 函数的图象与y轴交于点C， ， ， 令，得， 解得，， ， ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点N是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点N的坐标是； 【小问3详解】 解：如图，过点P作轴于点E，交于点F，设，则， 点F的坐标为． ， ， 当时，有最大值，最大值为， 此时四边形的面积最大，最大值为 时，， 在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大，面积的最大值为，点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025 年初中学业水平模拟考试 数学试题（一模） （总分 120 分 考试时间 120 分钟） 注意事项： 1．本试题分第 Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第 Ⅰ卷为选择题，30 分 ；第Ⅱ卷为非选择题，90 分；本试题共 6 页． 2．数学试题答题卡共 4 页．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座号等填写在试题和答题卡上，考试结束，试题和答题卡一并收回． 3．第 Ⅰ卷每题选出答案后，都必须用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号【ABCD】涂黑．如需改动，先用橡皮擦干净，再改涂其它答案．第Ⅱ卷按要求用 0.5mm 碳素笔答在答题卡的相应位置上． 第 Ⅰ卷（选择题共 30 分） 一、选择题：本大题共 10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来．每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，点 E 在线段上，若， 则的度数是 （ ） A. B. C. D. 4. 某商品的进价为200元，标价为300元，折价销售时的利润率为5%，问此商品是按（ ）折销售的． A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 5. 下列命题正确的是（ ） A. 过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 面积之比为的两个相似三角形的周长之比也是 D. 顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形 6. 小明为了了解本校运动员百米短跑所用步数的情况，对校运会中参加百米短跑决赛的 8名女运动员的步数进行了统计，记录的数据如下：76、78、77、78、77、79、78、81，那么这组数据的众数和中位数分别为（ ） A. 77、78 B. 77、77 C. 78、78 D. 78、77 7. 如图，是某几何体的三视图及相关数据，则该几何体的侧面积是 （ ） A. 12 π B. 15 π C. 20 π D. 30 π 8. 若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为（    ） A. B. 且 C. D. 且 9. 在平面直角坐标系中，已知点 ， 以原点 O 为位似中心，位似 比为，把扩大，则点 B 的对应点的坐标是（ ） A. B. C. 或 D. 或 10. 如图，已知四边形是矩形，点 E 是 边上的点，且，，，垂足为 F．下列结论：①；②平分；③；④其中正确的结论有（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 第Ⅱ卷（非选择题共 90 分） 二、填空题：本大题共 8 小题，其中 11-14 题每小题 3 分，15-18 题每小题 4 分，共 28分．只要求填写最后结果． 11. 飞机零件的精确度极高 ，它的某个零件的精度小于 0.00000002 丝，则 0.00000002 用科学记数法表示为__________． 12. 因式分解： _____________． 13. 小红上学要经过两个十字路口，每个路口遇到红、绿灯的机会都相同，小红希望上学时经过每个路口都是绿灯，但实际这样的机会是_________． 14. 若关于 x 的分式方程 有增根，则 m 的值是__________． 15. 已知的半径是，A 是上一点，过 A 作弦，，则弦所对的圆周角的度数为 __________． 16. 如图，两建筑物和的水平距离为 24 米，从 A 点测得 D 点的俯角为， 测得 C 点的俯角为， 则建筑物的高为 ____ 米．（精确到米， ） 17. 如图，在中，，P 为边上动点，作 于点 D， 于 点 E， 则的最小值为 _______． 18. 如图，在平面直角坐标系中，若和分别是直线和轴上的点．并且，，…都是等腰直角三角形，已知，，那么点的纵坐标是_____________________． 三、解答题：本大题共 7 小题，共 62 分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 19. （1） 计算： （2）化简求值 ，其中 20. 为了响应国家全面开展素质教育的号召，班主任邓老师在班里随机抽取了四个小组的学生对其生活习惯和学习习惯进行了调研，将调研结果分成四类，A： 优秀；B： 良好；C：一般；D：较差；将调研结果绘制成了两幅不完整的统计图，请根据下列图形解答问题： （1）邓老师调查的同学的人数是 ，其中 C类女生有 名，D类男生有 名； （2）将上面的条形统计图补充完整； （3）D 所对应扇形圆心角的大小为 ； （4）养成习惯从日常生活做起，邓老师从 A类和D类学生中各选取一位同学组成互助小组，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是两名女同学的概率． 21. 如图，在半径为10cm的⊙O中，AB是⊙O的直径，CD是过⊙O上一点C的直线，且AD⊥DC于点D，AC平分∠BAD，点E是BC的中点，OE＝6cm． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）求AD的长． 22. 某学校为了增强学生体质，购进一批甲、乙两种跳绳，已知一件甲种跳绳的进价与一件乙种跳绳的进价的和为 40 元，用 90 元购进甲种跳绳的条数与用150元购进乙种跳绳的条数相同． （1）求每件甲种、乙种跳绳的进价分别是多少元？ （2）该校计划购进甲、乙两种跳绳共 48 件，其中甲种跳绳的件数少于乙种跳绳的件数．该校决定此次进货的总资金不超过 1000 元，求该校共有哪几种进货方案？哪种方案的费用最低，最低费用是多少？ 23. 如图，已知点，点是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与y轴交于点C． （1）求反比例函数和一次函数的关系式； （2）若点P是y轴上一点，且的面积等于3，求点P的坐标； （3）求不等式的解集．（直接写出答案即可） 24. 已知四边形中，分别是、边上的点，与交于点G． 【问题初探】（1）如图 1 ，若四边形是正方形，且，求证：； 【类比探究】（2）如图 2 ，若四边形是矩形，，且，猜想 与的数量关系，并加以证明； 【迁移拓展】（3）如图 3 ，若四边形是平行四边形，，当时，第（2） 问的结论是否成立？若成立给予证明；若不成立，请说明理由． 25. 如图，抛物线的顶点为，与 x 轴交于 A、B 两点，且 B，与y 轴交于点 C ． （1）求抛物线的函数解析式； （2）对称轴上是否存在点 N ，使的周长最小，若存在，请求出点坐标，若 不存在，请说明理由； （3）在直线的下方抛物线的图象上能否找到一点 P ，使四边形的面积最大？若能，请求出面积的最大值及点 P 的坐标；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $