第9章 因式分解 学情评估卷 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

2025-2026学年八年级数学下册 第9章 因式分解 学情评估卷 苏科版 一、单选题（每题3分 共30分） 1．对多项式进行因式分解，正确的是（　　） A． B． C． D． 2．下列多项式，能用平方差公式进行因式分解的是（　　） A． B． C． D． 3．若长为，宽为的长方形周长为10，面积为6，则的值是（　　） A．60 B．16 C．30 D．1 4．将多项式加上一项，使它能化成的形式，以下是四位学生所加的项，其中错误的是（　　） A． B． C． D． 5．已知，则的值等于（　　） A．24 B．26 C．28 D．30 6．下面是甲、乙两位同学因式分解的结果，下列判断正确的是（　　） 甲同学：原式 乙同学：原式 A．只有甲的结果正确 B．只有乙的结果正确 C．甲、乙的结果都正确 D．甲、乙的结果都不正确 7．因式分解时，应提取的公因式是（　　） A．6a B． C． D． 8．若，则的值为（　　） A．14 B．21 C．49 D．56 9．若为整数，则代数式的值一定可以（　　） A．被9整除 B．被6整除 C．被3整除 D．被2整除 10．已知是三角形ABC的三边长，则的取值为（　　） A．大于0 B．等于0 C．小于0 D．非负数 二、填空题（每题3分 共30分） 11．因式分解： =　 　. 12．若分解因式：，则的值为　 　. 13．整式各项的公因式是　 　． 14．若多项式可以因式分解成，则的值是　 　． 15．多项式的一个因式为，则m的值为　 　． 16．已知，且，则的值为　 　． 17．设，，，则a，b，c的大小关系为　 　．（用“<”号连接） 18．已知m，n为正整数，，且，则　 　． 19．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数，的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个“智慧优数”，可以利用进行研究．若将“智慧优数”从小到大排列，第4个“智慧优数”是　 　． 20．分解因式：　 　． 三、解答题 21．分解因式： （1）； （2）； （3）； （4） 22．对于任意自然数是否能被24整除？ 23．已知，，满足，试求的值． 24．【阅读理解】对于二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式[注：把代入多项式，若能使多项式的值为0，则多项式中有因式．设另一个因式为，则有，所以，解得，因此多项式因式分解得．我们把以上因式分解的方法叫作“试根法”． 【解决问题】 （1）当　 　时，多项式，所以可以因式分解为　 　； （2）对于三次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式，设另一个因式为，则有，求的值； （3）对于三次多项式，用“试根法”因式分解． 25．[类比思想]利用我们学过的知识，可以导出下面这个等式： ． 该等式从左到右的变形，不仅保持了结构的对称性，还体现了数学的和谐、简洁美． （1）请你展开右边检验这个等式的正确性； （2）利用上面的式子计算：． 26． 八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将因式分解． 【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法： 解法一：原式 解法二：原式 【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止） （1）【类比】请用分组分解法将因式分解； （2）【挑战】请用分组分解法将因式分解； （3）【应用】“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角分别是和，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将因式分解，再求值． 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：. 故答案为：B. 【分析】此题给出的二项式中两项的符号相反，故先将各项写成一个整式的完全平方，进而利用平方差公式直接分解即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：A、两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； B、，符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解； C、两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解； D、是三项，不能用平方差公式进行因式分解． 故答案为：A． 【分析】如果一个二项式满足：①符号相反，②每一项都能写成一个整式的完全平分，那么这个二项式就能使用平方差公式分解因式，据此逐一判断即可. 3．【答案】C 【解析】【解答】解：由长方形的周长为10，得：， 即． 由长方形的面积为6，得：． ∴． 故选C． 【分析】根据题意得出2(a+b)=10，ab=6，整体代入即可. 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、不能化成的形式，故D符合题意； 故选：D． 【分析】添加各选项的单项式后，根据完全平方公式的形式判断即可. 5．【答案】D 【解析】【解答】解：∵， 把代入得：原式， 故选：D． 【分析】因为 将a+b=4，ab=3代入式子计算即可. 6．【答案】C 【解析】【解答】解：； ； 故甲、乙的结果都正确； 故选C． 【分析】根据先提取公因式，再利用平方差公式因式分解判断即可. 7．【答案】D 【解析】【解答】解：多项式分解因式， 6，4的最大公约数是2，各项都含有相同因式为， 故提出公因式. 故选：D. 【分析】多项式中，各项系数的最大公约数是2，各项都含有的相同因式是(a-b)，且因式的指数最低是2，所以得出结果. 8．【答案】C 【解析】【解答】解：∵， ∴． 故选：C． 【分析】先利用幂的乘方与积的乘方得到 再利用平方差公式计算，然后利用整体代入的方法计算. 9．【答案】C 【解析】【解答】解：因为 ， 所以该代数式的值一定可以被3整除． 故选：C． 【分析】先运用整式的四则混合运算化简，再因式分解，然后判断即可. 10．【答案】C 【解析】【解答】解： ， ∵是三角形ABC的三边长， ∴ ，，，， ∴， ∴， 故， 故选：C． 【分析】先对 进行因式分解，再结合三角形三边关系判断其取值范围. 11．【答案】 【解析】【解答】解： = 。 故答案为： 。 【分析】此三项式中，有两项能写成一个整式的完全平方，且符号相同，剩下的第三项是两完全平方项底数乘积2倍的差，故可以用完全平方差公式直接分解。 12．【答案】3 【解析】【解答】解：由题意得， 故答案为：3. 【分析】化为 可得结论. 13．【答案】 【解析】【解答】解：∵ ∴该多形式各项的公因式是． 故答案为：． 【分析】确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：1定系数，即确定各项系数的最大公约数；2定字母，即确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)；3定指数，即各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂，据此求解即可. 14．【答案】3或 【解析】【解答】解：∵可以因式分解成， ∴ ， 故，或，， 则或． 故填：3或． 【分析】先根据“提公因式法”对多项式进行因式分解，再将分解结果与带参数的分解结果进行对照，得出参数的值即可. 15．【答案】11 【解析】【解答】解：设分解后的另一个因式为， 根据题意得：， 可得，， 解得：，， 故答案为：． 【分析】设分解后的另一个因式为3x+a，利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可. 16．【答案】4 【解析】【解答】解：，且， ． 故答案为：4． 【分析】先分解因式，然后整体代入计算即可. 17．【答案】 【解析】【解答】解：∵，， ∴，， ∴，， ∵，且， ∴， 故答案为：． 【分析】先利用平方差公式求出b和c的值，然后计算a中192的值，然后比较另一因式的值即可解答. 18．【答案】13 【解析】【解答】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数 ∴都是大于5的正整数， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：13． 【分析】把已知等式两边同时乘以3得到9mn+6m+6n=1185，利用配方法，在该等式两边同时加上4后，将等式左边利用十字相乘法分解因式得到(3m+2)(3n+2)=1189，结合m、n都是正整数推出3m+2与3n+2都是大于5的正整数，然后将1189利用分解因数的方法分解为两个正整数的乘积形式，再结合n＞m即可列出关于字母m、n的方程，求解即可得出答案. 19．【答案】16 【解析】【解答】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，…， 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为8，12，16，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为15，21，27，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为24，32，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为35，45，…； 当时，则， ∴， 得到的“智慧优数”为48，60，…； …， 把这些“智慧优数”从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，…， 故第4个“智慧优数”是16， 故答案为：16． 【分析】依题意，利用 进行研究，可得m-n=2或3时可分析得解. 20．【答案】 【解析】【解答】解： ． 故答案为：． 【分析】先利用配方法将多项式变形为a4+b4+c4+2a2b2-2a2c2-2b2c2-4a2b2，然后再进行六、一分组（前六项分为一组），再运用完全平方公式将第一组分解因式，最后用平方差公式分解即可得出答案. 21．【答案】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解：． 【解析】【分析】（1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）先提取公因式3，然后利用完全平方公式分解因式； （3）先提取负号，然后利用完全平方公式分解因式； （4）把(a+b)看作整体，利用完全平方公式因式分解即可. 22．【答案】解：原式 ． ∵n为自然数， ∴能被24整除， 故对于任意自然数能被24整除． 【解析】【分析】利用平方差公式对 进行因式分解，然后分析分解后的式子是否能被24整除解答即可. 23．【答案】解：∵， ∴． ∴． ∴，，． ∴，，． ∴． 【解析】【分析】原式配方为完全平方式后，利用偶次方的非负性质求出a，b，c的值，代入计算即可. 24．【答案】（1）； （2）解：由题意可知， ∴， ∴，， ∴，； （3）解：当时，， ∴多项式有因式， 设另一个因式为， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 【解析】【解答】解：（1）当时，， ∴， 故答案为：，； 【分析】（1）通过解方程求出使多项式值为0的x值，再根据平方差公式进行因式分解； （2）将等式右边展开，然后根据多项式相等时对应项系数相等来求解a、b的值； （3）通过试根找出多项式的一个因式，再设出另一个因式，展开后根据对应项系数相等求出未知系数，从而完成因式分解. 25．【答案】（1）解： ， 故正确； （2）解：对于， 我们可以利用上述等式进行计算，令，，． 根据，则： ． 【解析】【分析】(1)右边利用完全平方公式化简，去括号合并即可作出验证； (2)根据a=2023，b=2024，c=2025，将原式变形，计算即可得到结果. 26．【答案】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： 根据题意得：， ∴原式． 【解析】【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； (2)用分组分解法因式分解即可； (3)用分组分解法因式分解，再求值即可. 学科网（北京）股份有限公司 $