期中模拟试卷•培优提升卷（ 范围：第6章 数据的收集、整理与描述～第9章 因式分解）2025-2026学年苏科版数学八年级下册

2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷（能力提升卷） 苏科版 考试范围：第6章 数据的收集、整理与描述~第9章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．了解某班同学的绘画成绩 B．了解秋季水果市场上苹果的质量情况 C．了解我省中学生的课外阅读量 D．了解某品牌某批次手机的防水能力 【答案】A 【详解】解：A、某班同学人数有限，进行全面调查容易实施且能准确获取每位同学的绘画成绩，适合全面调查，符合题意；     B、了解秋季水果市场上苹果的质量情况，全面调查成本过高，且检测可能破坏产品，适合抽样调查，不符合题意； C、我省中学生的人数极多，了解我省中学生的课外阅读量全面调查耗费资源巨大，通常采用抽样调查，不符合题意；     D、了解某品牌某批次手机的防水能力，会破坏被测手机，无法对所有手机进行测试，必须采用抽样调查，不符合题意； 故选：A． 2．下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查公式法分解因式，主要利用平方差公式和完全平方公式判断每个多项式是否符合公式形式． 【详解】解：∵ ① 不符合完全平方公式或平方差公式，故不能用乘法公式进行分解； ② ，符合完全平方公式，故能分解； ③ ，不符合平方差或完全平方公式，故不能用乘法公式进行分解； ④ ，符合平方差公式，故能分解； ⑤ ，符合完全平方公式，故能分解． ∴ 能用公式法分解的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 3．为了提高学生的数学实践能力，某中学开展了数学实践作业成果展示活动，每位同学只上交一项作业，作业项目包括：无字证明、调查活动、测量、七巧板．为了解本校名学生上交作业的情况，随机调查了本校若干名学生，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．下列说法正确的是（    ） A．本次调查的样本容量是 B．选择七巧板和调查活动的人数一样多 C．选择调查活动这一项目的学生人数占被调查人数的 D．本次调查的总体是名学生上交作业的情况 【答案】D 【分析】由条形统计图与扇形统计图之间的信息关联逐项求解判断即可． 【详解】解：由条形统计图可知，选择无字证明的人数有人，由扇形统计图可知，无字证明占比为，则本次调查的样本容量是，A选项错误； 选择七巧板的人数为，选择调查活动的人数为，人数不一样，B选项错误； 选择调查活动这一项目的学生人数占被调查人数的，C选项错误； 本次调查的总体是名学生上交作业的情况，D选项正确． 4．如图，在矩形中，点E在边上，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点，交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据矩形性质得到，再结合翻折的性质求解，即可解题． 【详解】解：四边形为矩形， ， ， ， 沿翻折得到， ． 5．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据用含a、b的式子表示出阴影部分的面积即可得到答案． 【详解】解： ， ∵阴影部分的面积为10， ∴． ∴的值不变． 6．如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由菱形的性质得到，，利用勾股定理求得，从而求得的长，取中点Q，连接，由三角形中位线定理结合勾股定理即可求得最终结果． 【详解】在菱形中，对角线与相交于点O， ，， ∴，， 由勾股定理可得， ∵， ∴， 如图，取中点Q，连接， ∴， ∵点P为的中点，点Q为的中点， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 7．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 【答案】D 【分析】本题通过大量重复试验中频率的稳定值来估计概率．随着试验次数的增加，频率逐渐趋近于概率．观察大样本量的数据，其频率稳定在0.95附近，因此可估计发芽概率为0.95． 【详解】由试验数据可知，当种子数量较大时（如700、900、1000），发芽频率分别为0.949、0.953、0.951，均稳定在0.95左右． 根据频率估计概率的原理，大样本量的频率更接近真实概率． 因此，发芽概率约为0.95，对应选项D． 故选：D． 8．已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（   ） A．140 B．70 C．35 D．24 【答案】B 【分析】由题意可得，，再对进行因式分解，最后代入求值即可． 【详解】解：由题意可得：，， ∴． 9．如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将绕点顺时针旋转，连接，由半角模型，可证得，设，则，由勾股定理得 ，可得出，再用、、表示，以此判断各选项即可． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转，连接， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 设， 则， ∵， ∴， 化简可得， ∴， ， ， ， ∵， ， ∴，故选项A错误； ∵， ， 仅时，，故选项B错误； ∵，， 故与不一定满足，故选项C错误； ∵，， ∴，故选项D正确． 10．如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论：①，②，③，④中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】延长、交于点，结合平行线的性质和中点利用可证，得到，，再结合根据垂直平分线的性质可得，进一步可得，，即可判断①②④正确；③缺少条件证明． 【详解】解：延长、交于点，如图所示， ∵平行四边形， ∴， ∴，， ∵点是的中点，∴， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴，， ∴②正确； ∵，∴， ∴，∴， ∴①正确； ∴， ∴， ∴， ∴④正确； 由现有条件无法证明，③不一定正确； 故选：C ． 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为_____． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，等腰三角形的定义，三角形的三边关系．根据绝对值和平方的非负性，可得，，再根据等腰三角形的性质，分两种情况讨论，利用三角形三边关系判断，即可求解． 【详解】解： ∴ 因为且，所以且，解得，． 当腰为时，三边为，，，但，不满足三角形三边关系，故舍去； 当腰为时，三边为，，，满足三角形三边关系， 周长为． 故答案为：． 12．【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为____． 【答案】35 【分析】本题考查了利用频率估计概率，折线统计图，解题的关键是理解题意，得出小球落在该地形图的概率约为0.35．根据图②可得，小球落在该地形图的概率约为0.35，设该地形图的面积为 ，再根据几何概率可得：该地形图的面积长方形的面积小球落在该地形图内的概率，列出方程即可求解． 【详解】解：据题意可得：小球落在该地形图内的概率约为0.35， 设该地形图的面积为 ， 则， 解得：， 则估计该地形图的面积大约为， 故答案为：35． 13．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 【答案】5 【分析】根据，得到，进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．已知中，，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点，，作直线交于点，则的度数是___________． 【答案】 【分析】先由平行四边形性质求出和的度数，再根据尺规作图得出是的垂直平分线，利用等腰三角形等边对等角求出，最后通过角的差即可计算出的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 由作图可知，直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴． 15．如图所示，把一个长为，宽为的矩形纸片放置在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，若点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．当在运动过程中，的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】连接，由矩形的性质和勾股定理可得，由折叠的性质可得，根据“两点之间，线段最短”可知，当、、三点共线时，取得最小值． 【详解】解：如图，连接， 由题意可知，在矩形中，，，， 在中，， ∵由沿折叠得到， ∴， ∵， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值． 16．对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“5元数”，则的值为______．若是一个“2元数”，且被的各个数位上的数字之和除，余数是2，则满足条件的的最大值为______． 【答案】 【分析】利用“元数”定义可得，根据题意表示出，，再利用即可得到；设，则根据“2元数”定义可得，进而求得，根据能被的各个数位上的数字之和除，余数是2，得到为整数，结合各个数位上的数字互不相等且均不为0，且取最大，求出、、、的值，最后确定的值即可． 【详解】解：四位数是一个“5元数”， ， 解得：， ，， ， ； 设，则， 是一个“2元数”， ， ， 被的各个数位上的数字之和除，余数是2， 能被的各个数位上的数字之和整除 ， 为整数，即为整数， 各个数位上的数字互不相等且均不为0， ， 为100的因数， 符合条件的有或或， 若要最大，则取，且，， ， 若要最大，且各个数位上的数字互不相等且均不为0， 则，， 满足条件的的最大值为． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 18．如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的性质，易证，从而，再证，根据“”，即可求证； （2）根据全等三角形的性质，可得，，再根据平行线的判定，可证，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，即可求证． 【详解】（1）证明： ， ， ，， ， ， ，即， 在和中， ； （2）证明：由（1）知，， ，， ， 四边形是平行四边形． 19．马年春晚以“欢乐吉祥、喜气洋洋”为主基调，深度践行“人民的春晚”创作理念，精心安排了歌舞、戏曲、语言、创意融合等多类型节目．新学期第一天，春晚成为同学们热议的话题．为筹备艺术节，某校艺术社以“我最喜欢的春晚节目”为主题对本校部分学生进行了随机抽样调查，被调查学生每人都只选择了一个节目．根据调查结果按照节目类型进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： (1)抽取的学生共有_____________人，请补全条形统计图； (2)求扇形统计图中“戏曲”对应的扇形圆心角的度数； (3)若该校有学生人，估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有多少人？ 【答案】(1)，图见解析 (2) (3)人 【分析】（）根据创意融合类的人数和占比求出抽样总人数，再用总人数减去其余三类的人数，算出语言类人数并补全条形统计图； （）先计算戏曲类人数占抽样总人数的比例，再用乘以该比例，求出戏曲对应的扇形圆心角度数； （）先算出样本中创意融合类与语言类的总人数及占比，再用全校总人数乘以该占比，估计出全校选择这两类节目的总人数． 【详解】（1）解：∵创意融合类有人，占总人数的， ∴总抽取人数为：； 语言类人数总人数歌舞人数戏曲人数创意融合人数， 即：， 补全条形图：语言类对应条形高度为，如图所示： （2）解：扇形圆心角戏曲人数占比，即： ， 答：“戏曲”对应的扇形圆心角的度数为； （3）解：样本中创意融合语言类的总人数为：，占比为， 因此估计全校人中选择创意融合类和语言类节目的总人数为： 人， 答：估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有人． 20．把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：， ． 这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． (1)代数式的最__________值是__________，相应的的值是__________． (2)已知、、是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 【答案】(1)大；；7 (2) 【分析】（1）提取负号后配方，将代数式转化为“负的完全平方加常数”的形式，根据完全平方的非负性判断代数式的最值，进而求出对应的值； （2）先通过配方将等式转化为两个完全平方和为0的形式，利用非负性求出、的长度，再结合“是最长边”和三角形三边关系确定的取值范围． 【详解】（1）解：， ， ， ， 代数式的最大值是，此时． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ，， ，， 解得，． ∴， 又是中最长的边， ， 的取值范围是． 21．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 【答案】（1）C；（2）；（3）估计该不规则封闭图形的面积约是平方米；（4）． 【分析】本题考查了利用频率求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）观察数据，根据大量试验时，频率可估计概率找到稳定值进行估计即可； （2）大量试验时，频率可估计概率； （3）利用概率，用正方形面积：封闭图形的面积概率建立方程求解； （4）如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆，在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆(可把绿豆近似看成点)，大量重复实验记录数据，根据频率可估计概率即可求解． 【详解】解：（1）观察表格得：随着投掷次数的增大，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的频率值稳定在， ∴如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 当掷绿豆所落的总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数最可能为，只有比较接近， 故选：C； （2）由（1）可知如果你掷一次绿豆，那么绿豆落在正方形内（含正方形边上）的概率约为， 故答案为：； （3）设封闭图形的面积为， 根据题意得：， 解得：， 即：估计整个不规则封闭图形的面积约是平方米； （4）如图，地面上有一个边长为米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆， 在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录如下： 有效丢掷绿豆总次数 绿豆落在圆内（含圆的边）的次数 当很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在， ∴如果掷一次绿豆，那么绿豆落在圆内（含圆的边上）的概率约为，则， ． 22．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？ 【答案】时，四边形是矩形 【分析】首先表示出，，然后根据矩形的性质得到，然后求解即可． 【详解】解：由题意得：，， ∵四边形是矩形， ∴，即， 解得：． 即当时，四边形是矩形． 23．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 24．在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②根据点G，H所在边的不同分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）解：①由（1）知：， 如图2，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点G在上，点在上时，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， 即，解得， ∴，， 同理可得， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，点G在线段上，同时点在线段上， 即时， ， ， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 如图，点G在线段上，同时点在上， 即时， ，， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 综上所述，四边形的面积是矩形面积的时，的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟试卷（能力提升卷） 苏科版 考试范围：第6章 数据的收集、整理与描述~第9章 因式分解 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题 共30分） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列调查中，适合采用全面调查的是（   ） A．了解某班同学的绘画成绩 B．了解秋季水果市场上苹果的质量情况 C．了解我省中学生的课外阅读量 D．了解某品牌某批次手机的防水能力 2．下列多项式能用公式法分解因式的有（     ） ① ② ③ ④ ⑤ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．为了提高学生的数学实践能力，某中学开展了数学实践作业成果展示活动，每位同学只上交一项作业，作业项目包括：无字证明、调查活动、测量、七巧板．为了解本校名学生上交作业的情况，随机调查了本校若干名学生，并将调查结果绘制成两幅不完整的统计图（如图）．下列说法正确的是（    ） A．本次调查的样本容量是 B．选择七巧板和调查活动的人数一样多 C．选择调查活动这一项目的学生人数占被调查人数的 D．本次调查的总体是名学生上交作业的情况 4．如图，在矩形中，点E在边上，连接，将沿翻折得到，点D的对应点为点，交于点F．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，正方形与正方形的边长分别为，连接、，若阴影部分的面积为10．当的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，在边长为5的菱形中，对角线与相交于点O，，点E在线段上，，点F在线段上，，连接，点P为的中点，连接，则的长为（   ） A． B． C． D． 7．为推动农业现代化进程，某农科所在相同条件下开展农作物种子发芽率的试验，试验数据如下表． 种子个数 100 400 600 700 900 1000 发芽种子个数 94 337 530 664 858 951 发芽种子频率 0.940 0.843 0.883 0.949 0.953 0.951 由此估计这种农作物种子在此条件下发芽的概率（精确到0.01）约为（   ） A．0.84 B．0.88 C．0.94 D．0.95 8．已知长方形的长是a，宽是b，它的长与宽的和为7，面积为10．则的值为（   ） A．140 B．70 C．35 D．24 9．如图，正方形中，分别为上两动点（不与正方形端点重合），且满足，分别过点作，交于点，记矩形，矩形，矩形，矩形，面积依次为，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，在平行四边形中，点是的中点，作交于，若，，下列结论：①，②，③，④中正确的有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 第II卷（非选择题 共90分） 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．已知等腰三角形的两边长，满足，这个等腰三角形的周长为_____． 12．【跨学科·地理】地理实践课上，活动小组的同学在一张面积为的长方形卡片上绘制了如图1所示的河北省地形图，他们想了解该地形图的面积，经研究采取了以下办法：将长方形卡片水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录落在该地形图上的次数（球扔在地形图最外围的界线上或长方形区域外不计入试验结果）．他们将若干次有效试验结果绘制成了如图2所示的折线统计图，由此估计该地形图的面积大约为____． 13．计算：图1为某校七（1）（2）两个班级的劳动实践基地，图2是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长为m，n的正方形，其中重叠部分B为池塘，阴影部分，分别表示七（1）（2）两个班级的基地面积．若，则________ ． 14．已知中，，分别以点，点为圆心，以大于的长为半径画弧，分别交于点，，作直线交于点，则的度数是___________． 15．如图所示，把一个长为，宽为的矩形纸片放置在平面直角坐标系中，矩形的边在轴上，边在轴上，若点为边上的动点，将沿折叠得到，连接、．当在运动过程中，的最小值为_______． 16．对于一个各个数位上的数字互不相等且均不为0的四位数，若满足千位数字与百位数字之和比十位数字与个位数字之和小（为正整数），则称该数为“元数”．对“元数”，将千位数字与百位数字互换，个位数字与十位数字互换，得到新的四位数，规定：．若四位数是一个“5元数”，则的值为______．若是一个“2元数”，且被的各个数位上的数字之和除，余数是2，则满足条件的的最大值为______． 3、 解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．因式分解 (1) (2) 18．如图，E，F是四边形的对角线上两点，，，．求证： (1)； (2)四边形是平行四边形． 19．马年春晚以“欢乐吉祥、喜气洋洋”为主基调，深度践行“人民的春晚”创作理念，精心安排了歌舞、戏曲、语言、创意融合等多类型节目．新学期第一天，春晚成为同学们热议的话题．为筹备艺术节，某校艺术社以“我最喜欢的春晚节目”为主题对本校部分学生进行了随机抽样调查，被调查学生每人都只选择了一个节目．根据调查结果按照节目类型进行统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据统计图信息，解答下列问题： (1)抽取的学生共有_____________人，请补全条形统计图； (2)求扇形统计图中“戏曲”对应的扇形圆心角的度数； (3)若该校有学生人，估计其中选择创意融合类和语言类节目的共有多少人？ 20．把一个多项式进行局部因式分解可以用来解决代数式值的最小(或最大)问题． 例如：， ． 这个代数式的最小值是2，这时相应的的值是． (1)代数式的最__________值是__________，相应的的值是__________． (2)已知、、是的三边长，满足，且是中最长的边，求的取值范围． 21．阅读下列材料，回答问题： 任务1：估计不规则封闭图形的面积 如图，地面上有一个不规则的封闭图形，为求得它的面积，小明在此封闭图形内画出一个边长为1米的正方形后，在附近闭上眼睛向封闭图形内丢掷绿豆（可把绿豆近似看成点），并记录如下数据（有效丢掷绿豆落在该封闭图形内，含边界）： 有效丢掷绿豆总次数m 50 150 300 600 绿豆落在正方形内（含正方形的边）的次数n 10 35 78 151 （1）当有效丢掷绿豆总次数时，绿豆落在正方形内（含正方形边上）的次数n最可能是______； A．150  B．230  C．251  D．510 （2）请根据表格中的数据估计，如果你随机丢掷一颗绿豆（落在该封闭图形内，含边界），那么该绿豆恰好落在正方形内（含正方形的边）的概率约为______（精确到）； （3）请你利用（2）中所得概率，估计该不规则封闭图形的面积； 任务2：估计圆周率的大小 （4）关于圆周率，数学发展史上出现过许多有创意的求法，小华借鉴任务1的探究思路，设计一个估算圆周率的实验，如图，地面上有一个边长为3米的正方形，在此正方形内画出一个半径为米的圆．在正方形外闭上眼睛向正方形内掷绿豆（可把绿豆近似看成点），大量重复实验记录数据，小华将有效丢掷绿豆总次数计为a，绿豆落在圆内（含圆的边）的次数记为b．当a很大时，绿豆落在圆内（含圆的边上）的频率值稳定在，则______（用字母a，b表示） 22．如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度运动，动点Q从点C开始沿边以的速度运动，点P和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，动点的运动时间为，则当t为何值时，四边形是矩形？ 23．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 24．在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $