第19章 四边形 单元测试题 2025-2026学年 沪科版八年级数学下册

2025-2026学年八年级数学下册 第19章 四边形 单元测试题 沪科版 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若正边形的每个内角为120°，则的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．如图，生物课堂中，同学们在显微镜下观察某树叶的细胞图片，一个细胞可近似看成如图多边形，则该多边形的内角和是（　　） A． B． C． D． 3．如图，、两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了、间的距离；先在外选一地点，然后测出，的中点、，并测量出的长为，由此他就知道了、间的距离．下列有关他这次探究活动的结论中，错误的是（　　） A． B． C． D． 4．下列命题的逆命题中，是真命题的个数有（　　） ①如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等；②全等三角形的对应角相等；③对顶角相等；④平行四边形的对角线互相平分 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点，若线段PQ长的最大值为，最小值为4，则菱形ABCD的边长为（　　） A．5 B．10 C． D．8 6．如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（　　） A．当时， B．当时， C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为 7．要求只用圆规来验证纸片的两边是否平行，现有甲、乙两种方案如图1和图2． 甲 乙 ①在纸片的一边上取线段； ②用圆规在另一边上截取，使； ③用圆规比较和的长度，若，则． ①沿折叠纸片，使和重合，和重合，交于点F； ②用圆规比较的长度，若，则． 对于两个方案，说法正确的是（　　） A．只有甲方案可行 B．只有乙方案可行 C．甲、乙方案都可行 D．甲、乙方案都不可行 8．如图，在菱形中，点是对角线上一点，是中点，若菱形周长是16，，则的最小值为（　　） A．2 B．2 C．3 D． 9．已知，矩形ABCD中，E为AB上一定点，F为BC上一动点，以EF为一边作平行四边形EFGH，点G，H分别在CD和AD上，若平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，则应满足（　　） A． B． C． D． 10．如图，的面积为24，D为边上的一点，延长交的平行线于点E，连接，以为邻边作平行四边形交边于点H，连接，当时，则的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 二、填空题（每题4分， 共20分） 11．一个正多边形的每个外角为，那么这个正多边形的内角和是　 　． 12．如图，矩形中，对角线，相交于点O，且，则的长为　 　． 13．如图，在中，，点D，E，F分别在边，，上，，，则四边形的周长是　 　． 14．如图，以的顶点为圆心，长为半径作弧，再以顶点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连接，．由此得到的四边形是　 　，依据是　 　． 15．如图，菱形ABCD的边长为4，∠ADC=120°，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），点F是CD上一动点，且AE+CF=4，则△BEF面积的最小值为　 　. 三、解答题（共7题，共70分） 16． （1）在如下图所示的平面直角坐标系中，描出，，，四个点． （2）按次序将所描出的点用线段连接起来．求四边形的面积． 17． 如果一个多边形的内角和等于它外角和的 3 倍， 则这个多边形的边数是多少? 18．如图，在中，，分别平分， ，交于点，． （1）求证：； （2）过点作，垂足为．若▱的周长为，，求的面积． 19．如图，在四边形中，是的中点，、交于点，，． （1）求证：四边形为平行四边形； （2）若，，，求的长． 20．如图，矩形的对角线，相交于点，将沿所在直线折叠，得到． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，是边上的动点，是边上的动点，那么的最小值是多少？ 21．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点，顺次连接各边中点得到的新四边形EFGH称为中点四边形． （1）我们知道：无论四边形ABCD怎样变化，它的中点四边形EFGH都是平行四边形．特殊的： ①当对角线时，四边形ABCD的中点四边形为　 　形； ②当对角线时，四边形ABCD的中点四边形是　 　形． （2）如图：四边形ABCD中，已知，且，请利用（1）中的结论，判断四边形ABCD的中点四边形EFGH的形状并进行证明． 22．如图，点C为矩形和正方形的公共顶点，点E，F在矩形的边，上． （1）求证：； （2）连接，若，F是的中点，求的长； （3）在（2）的条件下，猜想和的数量关系，并说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 【解析】【解答】解： ∴n的值是6. 故选 D. 【分析】根据内角的度数求出外角为60°，然后根据多边形的外角和定理解答即可. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：∵该多边形是六边形， ∴该多边形的内角和=， 故答案为：． 【分析】本题根据多边形的内角和公式，即（n-2）×180°，其中n是多边形的边长数，列式计算即可求解。 3．【答案】D 【解析】【解答】解： ∵点M，N是AC，BC的中点， ∴CM=MA=， CN=NB， 故A、B、C正确， 故选： D. 【分析】根据三角形的中位线定理即可判断. 4．【答案】B 【解析】【解答】解：①的逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等．这是假命题． ②的逆命题：对应角相等的三角形全等．这是假命题． ③的逆命题：相等的角是对顶角．这是假命题． ④的逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形．这是真命题． 所以各命题的逆命题是真命题的共有1个． 故选：B． 【分析】写出各选项命题的逆命题，然后判断命题的真假解答即可． 5．【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点C作，交AB的延长线于H， ∵四边形ABCD是菱形， ∵点P，Q分别是菱形ABCD的边AD，BC上的两个动点， ∴当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即 当 时，PQ有最小值，即直线AD与直线BC的距离为4， ∴CH=4， 解得：BC=5， 故选： A. 【分析】过点C作交AB的延长线于H，由题意可得当点P与点A重合，点Q与点C重合时，PQ有最大值，即 当 时，PQ有最小值，即直线CD，直线AB的距离为4，即CH=4，由勾股定理可求解. 6．【答案】C 【解析】【解答】解： 过点P作PE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F， A、当t=9时， PD =36-3×9=9， CQ=9，四边形PQCD是平行四边形，PQ∥DC，正确，不符合题意； B、当t=10时，AP=30，BQ=40-10=30， 四边形ABQP是矩形， 正确，不符合题意； C、当t=9或11.5时， 当t=9时， 四边形PQCD是平行四边形，当t=11.5时， 如图CF=4， QE=6，PE=DF，四边形PQCD是梯形，但 PQ≠CD，原命题不正确，符合题意； D、当t=12时，因为 四边形ABQP是直角梯形， 原命题正确，不符合题意. 故选： C. 【分析】根据t的取值求出PD和CQ的长，判断PQCD或ABQP的形状解答即可. 7．【答案】C 【解析】【解答】解： 如图1， 连接BC， 在△ABC和△DCB中， ∴△ABC≌△DCB， ∴∠ABC=∠DCB， ∴AB∥CD， ∴甲的方法正确； 如图2，∵EF=GF， ∴∠FGE =∠FEG， 由折叠得∠AEG =∠FEG， ∴∠AEG=∠FGE， ∴AD∥BC， ∴乙的方法正确， 故选： C. 【分析】在图1中， 连接BC， 可证明△ABC≌△DCB， 得∠ABC=∠DCB， 所以AD∥CB， 可知甲的方法正确； 在图2中， 由EF=GF， 得∠FGE=∠FEG， 由折叠得∠AEG=∠FEG， 则∠AEG=∠FGE， 所以AD∥CB， 可知乙的方法正确，于是得到问题的答案. 8．【答案】A 【解析】【解答】解： 如图， 连接AP， AC， AQ， ∵四边形ABCD为菱形， ∴点A和点C关于BD对称， 的最小值即为AP+PQ的最小值， 的最小值为AQ， ，四边形ABCD为菱形 为等边三角形， ∵点Q为BC的中点， ∵菱形周长是16， 故选： A. 【分析】连接AP， AC， AQ，根据菱形的对称性得到的最小值即为AP+PQ的最小值，即可得到然后得到△ABC为等边三角形，然后根据勾股定理解答即可. 9．【答案】C 【解析】【解答】 解：设AB=a，BC=b，BE=c，BF=x， ∴S平行四边形EFGH = S矩形ABCD-2(S△BEF + =ab-(cx+ab-ax-bc+cx) =ab-cx-ab+ax+bc-cx =(a-2c)x+bc， ∵ F为BC上一动点， ∴x是变量，(a-2c)是x的系数， ∵平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值， ∴x的系数为0， bc为固定值， ∴E是AB的中点， 故答案为：C. 【分析】设AB=a，BC=b，BE=c，BF=x，根据 F为BC上一动点，x是变量，(a-2c)是x的系数，根据平行四边形EFGH的面积不会随点F的位置改变而改变，为固定值，x的系数为0，bc为固定值，a-2c=0，进而可得点E是AB的中点，即可进行判断. 10．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接EH， 的面积为24， ∵四边形DECF是平行四边形， ∴DF∥EC， 故选C. 由面积的和差关系可求， 即可求解. 【分析】连接EH，先求出△BDC的面积，然后根据平行线的性质求出△CDE的面积，再根据平行四边形的性质解答即可. 11．【答案】 【解析】【解答】解：这个正多边形的边数为 所以这个正多边形的内角和 故答案为： 【分析】先利用多边形的外角和为 计算出这个正多边形的边数，然后根据内角和公式求解. 12．【答案】2 【解析】【解答】解：∵四边形是矩形， ∴，（矩形的对角线相等且互相平分）， ∴． 故答案为：2． 【分析】根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得 BD=AC=2OA，代入 OA=1 计算得出 BD=2。 13．【答案】16 【解析】【解答】解： ∵DE∥AC， EF∥AB， ∴四边形AEFG是平行四边形， ∠B=∠FEC，∠C=∠DEB， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∴∠B=∠DEB， ∠FEC=∠C， ∴DB=DE， FE=FC， ∵四边形ADEF的周长=AD+DE+EF+AF， ∴四边形ADEF的周长 =AD+DB+GF+AF=AB+AC， ∵AB=AC=8， ∴四边形ADEF的周长=AB+AC=8+8=16. 故选： 16. 【分析】根据题意得到四边形AEFG是平行四边形，然后根据等腰三角形的判定和性质得到DB=DE， FE=FC，然后计算四边形ADEF的周长即可. 14．【答案】平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【解析】【解答】解：以顶点A为圆心，BC的长度为半径作弧， 以顶点C为圆心，AB的长度为半径作弧，两弧相交于点D，连接AD、CD； 此时AD的长度等于半径BC的长度，CD的长度等于半径AB的长度 即AD=BC，CD=AB ∵在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形. ∴依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 故答案为：平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 【分析】根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答即可. 15．【答案】 【解析】【解答】解： 连接BD， ∵菱形ABCD边长为4， ∠ADC=120°， ∴∠BAD=60°， ∴△ABD与△BCD都为等边三角形， ∴∠FDB=∠EAB=60°， ∵AE+CF=4， 而DF+CF=4， ∴AE=DF， ∵AB=BD， ∴△BDF≌△BAE (SAS) ， ∴BE=BF， ∠ABE=∠DBF， ∴∠EBF=∠ABD=60°， ∴△BEF是等边三角形， ∴当BE⊥AD时， △BEF的面积最小， 在Rt△ABE中， 由勾股定理得BE=2 同理可得等边△BEF的边BE上的高为 =3， BEF面积的最小值： 故答案为： 【分析】连接BD，根据菱形的性质得到△ABD与△BCD是等边三角形，然后根据SAS得到△BDF≌△BAE，进而得到△BEF是等边三角形，当BE⊥AD时面积最小，根据勾股定理求出BE长，利用面积公式计算即可. 16．【答案】（1）解：如图所示： ​​​​​​​ （2） 解： 连接BD， 三角形ABC的面积为： 三角形DBC的面积为： ∴四边形ABDC的面积为：7.5+7.5=15. 即四边形ABDC的面积是15. 【解析】【分析】(1)根据点的坐标，在直角坐标系中找出各点即可； (2)先求得两个三角形的面积，求和即可求得四边形ABDC的面积. 17．【答案】解：设这个多边形的边数为n． 由题意得，． ∴． ∴这个多边形的边数为8 【解析】【分析】设这个多边形的边数为n，根据多边形的内角和公式（n-2）×180°列出一元一次方程，进而即可求解. 18．【答案】（1）证明：在中， ∵， ∴， ∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， （2）解：如图，作， ∵的周长为， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质，利用角平分线的定义得到，证 明即可求证； (2)作 根据角平分线的性质得到，根据 即可求解； 19．【答案】（1）证明：∵是的中点，， ∴是的中位线， ∴， ∵，． ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴ ∵， ∴ ∵， ∴​​​​​​​ 【解析】【分析】（1）先得到EF是△ABD的中位线，即可得到EF∥AD，然后根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）根据平行四边形的性质得到CF=AD=4，然后根据勾股定理求出BC长即可. 20．【答案】（1）证明：四边形是矩形 与相等且互相平分 关于的对称图形为 ， 四边形是菱形 （2）解：作于，交于，则如图所示： 沿所在直线折叠，得到 ， 在中， 即的最小值为． 【解析】【分析】(1)根据四边相等的四边形是菱形即可判断. (2)作OQ⊥CE于Q， 交CD于P， 此时PE+PQ的值最小，由折叠的性质得出 得出PE+PQ=PO+PQ=OQ，由直角三角形的性质得出 即可得到答案. 21．【答案】（1）菱；矩 （2）解：四边形ABCD的中点四边形EFGH是菱形．理由如下： 分别延长BA、CD相交于点M，连接AC、BD， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形ABCD的对角线相等，中点四边形EFGH是菱形． 【解析】【解答】解：（1）①连接AC、BD， ∵点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边的中点， ∴EH∥BD，FG∥BD， ∴EH∥FG， 同理EF∥HG， ∴四边形EFGH都是平行四边形， ∵对角线AC=BD， ∴EH=EF， ∴四边形ABCD的中点四边形是菱形； ②当对角线AC⊥BD时，EF⊥EH， ∴四边形ABCD的中点四边形是矩形； 故答案为：菱；矩； 【分析】(1)①连接AC、BD，根据三角形中位线定理证明四边形EFGH都是平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明； ②根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明； (2)分别延长BA、CD相交于点M， 连接AC、BD，证明 得到AC=DB，根据(1)①证明即可. 22．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：如图，连接， ∵四边形是正方形，四边形是矩形， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∵由（1）可知，， 在中，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴． （3）解：，理由如下： 如图，过点作于点，则， ∵四边形是矩形，四边形是正方形， ∴，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵点F是的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【解析】【分析】(1)由已知、根据“同角的余角相等”得到： 证明 ，即可得出结论； (2)由已知可证四边形CEFG是正方形，从而得到： 由已知及(1)的结论可得：DE=AF=2，在 CDE中，由勾股定理可求出 从而CG 在 中，由勾股定理即可求出GE的长. (3)过点作于点，则，即可得到四边形是正方形，然后根据AAS得到△DCE≌△MCG，即可得到DE=GM，进而证明△BFH≌△MGH，即可得到结论. 学科网（北京）股份有限公司 $