专题08 平行四边形（计算题专项训练）数学沪科版新教材八年级下册

专题08 平行四边形（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 平行四边形的性质与线段 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点E，连接DE．已知△DCE的周长是9cm，求平行四边形ABCD的周长． 2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若△AOE的周长为4cm，求△ABC的周长． 3．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若▱ABCD的周长为20，求△CED的周长． 4．如图，在▱ABCD中，E为BC边上的一点，AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA．若AE＝6，DE＝8，求AB的长． 5．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，∠BCD的平分线CE交AD于点E，BF与CE相交于点G．若∠A＝60°，AB＝5，EF＝3，求CG的长． 6．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作∠DCB的平分线交DE于F，且DE＝CD，若DF＝6，AE＝9，求BE的长． 7．平行四边形ABCD周长为52cm，两条对角线AC和BD交于点O，△BOC和△DOC的周长差为6cm，求这个平行四边形的两邻边长． 8．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若BD与AC的和为18cm，CD：DA＝2：3，△AOB的周长为13cm，求BC的长． 9．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AD中点，作EF⊥BD于点F，已知AB＝4，AC＝6，求EF的长 ． 10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，，AC＝2，BD＝4，求AE的长． 训练2 平行四边形的性质与角度 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：3，求平行四边形ABCD中较小内角的度数． 2．在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，求∠C的度数． 3．如图，已知，平行四边形ABCD中，BE⊥CD于E，BE＝AB，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．求∠EFA的度数． 4．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，AB＝BE，作DF⊥AE于点F，若∠ADF＝54°，求∠B的度数． 5．在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若∠DEC＝80°，求∠ACB的度数． 6．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，AE⊥EF，若∠BAE＝45°，∠CEF＝15°，求∠C的度数． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC边上一点，连接DE，若DE是∠ADC的平分线，∠DEC＝70°，求∠ABC的度数． 8．在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，点E在平行四边形的边AD上，连接AE、BE．若△ABE是直角三角形，求∠CBE的度数． 9．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DF交AC于点F，E是AF的中点，且AE＝ED＝CD，∠BCD＝54°，求∠DFE的度数． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝28°，求∠AED的度数． 训练3 平行四边形的性质与面积 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在▱ABCD中，M是BC的中点，且AM＝12，BD＝9，AD＝10，求▱ABCD的面积． 2．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝4，CF＝1，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，，求△AEF的面积． 3．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若四边形EPFQ的面积20cm2，求图中阴影部分的面积． 4．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，求阴影部分的面积． 5．如图，E、F为▱ABCD边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF、CE相交于点Q，若，，求四边形EQFP的面积． 6．如图，平行四边形ABCD的面积为4．点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，连接EF，求图中阴影部分的面积． 7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若，求△ABE的面积． 8．如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，求S1+S2．（用含S的代数式表示） 9．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S2＝14、S3＝4、S4＝6，求S1． 10．如图，▱ABCD的面积是32，点E，G在AD上，点F，H在BC上，且EF∥AB，GH∥DC，点M，N在EF上，点P在GH上，求阴影部分的面积． 训练4 平行四边形的判定 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有　 　 个． 2．如图，3×3的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 　 　 个． 3．在平面直角坐标系中，O（0，1）、A（3，0）、B（5，3），点C在第一象限，若以O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为 　 　 ． 4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 　 　 ． 5．在平面直角坐标系中A、B、C的坐标分别是（3，5），（﹣2，4），（﹣1，﹣2），要使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则顶点D的坐标是　 　 ． 6．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝　 时，四边形PDQB为平行四边形． 7．如图，在梯形ABCD中，AD＝8，BC＝12．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．设点P，Q的运动时间为ts，在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为　 　 ． 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16cm，BC＝21cm，CD＝13cm．动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动．动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 　 　 ． 9．如图，在平面直角坐标系中，E是BC的中点，已知A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），点P是线段BC上的一个动点，当BP的长为 　 　 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 10．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　 　 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 训练5 平行四边形的判定与性质 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，AC＝12，求AE的长． 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形． （2）若四边形DEBF的面积为2，求▱ABCD的面积． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长． 4．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB延长线上，连接ED，且ED＝AD，过A作AF⊥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：四边形BECF为平行四边形； （2）若AB＝2，求四边形BECF的周长． 5．如图，在▱ABCD中，点E是CD延长线上的一点，连接AE，∠EAD＝∠DBC，BE交AD于点F． （1）求证：四边形ABDE为平行四边形； （2）若∠BAD＝4∠EAD，∠BDC＝50°，求∠C的度数． 6．如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上，连接CP，交BD于点Q，AD＝CP，∠BQC+∠ADB＝180°． （1）求证：四边形ADCP为平行四边形． （2）连接AC，若AB⊥BC，CD＝5，BP＝3，BC＝6，求AC的长． 7．在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠CBD＝45°，DE＝DC＝6，CE＝4，求BE的长． 8．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，过点A作AF⊥BD交BD于点M，交BC于点F，过点C作CE⊥BD交BD于点N，交AD于点E． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若AM＝3，CD＝5，∠ADB＝30°，求平行四边形ABCD的面积． 9．如图，在▱ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、F，连接DE，BF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为H．若▱ABCD的周长为18，EH＝2，求△ABC的面积． 10．如图，在△ABC中，F是AB上一点，连接CF，过点A作AD∥FC，E是AC的中点，连接FE并延长，交AD于点D，连接CD． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形． （2）若，BF＝1，∠DCB＝135°，请直接写出FC的长度． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 平行四边形（计算题专项训练） 【适用版本：沪科版新教材；内容预览：5类训练共50题】 训练1 平行四边形的性质与线段 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点O作BD的垂线交BC于点E，连接DE．已知△DCE的周长是9cm，求平行四边形ABCD的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB＝OD，BC＝AD，CD＝AB， ∵OE⊥BD， ∴OE垂直平分BD， ∴DE＝BE， ∴△DCE的周长＝DC+CE+DE＝CD+CE+BE＝DC+BC＝9cm， ∴平行四边形ABCD的周长＝2（BC+CD）＝2×9＝18（cm）． 故答案为：18． 2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点，若△AOE的周长为4cm，求△ABC的周长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点， ∴AC＝2AO， 又∵点E是AB的中点， ∴EO是△ABC的中位线， ∴BC＝2EO，AB＝2AE， ∵△AOE的周长＝AE+AO+EO＝4cm， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝2（AE+AO+EO）＝8cm． 故答案是：8． 3．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若▱ABCD的周长为20，求△CED的周长． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的周长为20， ∴CD+DA＝10， ∵EF是对角线AC的垂直平分线， ∴AE＝CE， ∴△CED的周长＝DE+CE+DC＝DE+AE+DC＝AD+DC＝10， 故答案为：10． 4．如图，在▱ABCD中，E为BC边上的一点，AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA．若AE＝6，DE＝8，求AB的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，AD∥BC， ∴∠BAD+∠CDA＝180°， ∵AE，DE分别平分∠BAD，∠CDA， ∴∠DAE∠BAD，∠ADE∠CDA， ∴∠DAE+∠ADE（∠BAD+∠CDA）＝90°， ∴∠AED＝180°﹣（∠DAE+∠ADE）＝90°， ∵AE＝6，DE＝8， ∴BC＝AD10， ∵∠BAE＝∠DAE＝∠BEA，∠CDE＝∠ADE＝∠CED， ∴BE＝AB＝CD＝CEBC＝5， ∴AB的长是5， 故答案为：5． 5．如图，在▱ABCD中，∠ABC的平分线BF交AD于点F，∠BCD的平分线CE交AD于点E，BF与CE相交于点G．若∠A＝60°，AB＝5，EF＝3，求CG的长． 【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，∠A＝60°，AB＝5，EF＝3， ∴∠DCB＝60°，∠ABC＝∠D＝120°，CD＝AB＝5，AD∥BC， ∵∠ABC的平分线为BF，∠BCD的平分线为CE， ∴∠ABF＝∠CBF＝60°，∠DCE＝∠BCE＝30°， ∵AD∥BC， ∴∠AFB＝∠CBF＝∠ABF＝60°，∠DEC＝∠BCE＝∠DCE＝30°， ∴AF＝AB＝DC＝DE＝5， ∴AE＝DF＝5﹣3＝2， ∴BC＝AD＝2+3+2＝7， ∵∠BGC＝180°﹣∠BCE﹣∠CBF＝90°， ∴， 在直角三角形BCG中，由勾股定理得：； 故答案为：． 6．如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，作∠DCB的平分线交DE于F，且DE＝CD，若DF＝6，AE＝9，求BE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，DE⊥AB， ∴AB＝CD，AB∥CD，∠A＝∠BCD，∠EDC＝∠AED＝90°， 延长ED至点G，使DG＝AE＝9，连接CG， ∵∠GDC＝180°﹣∠FDC＝90°＝∠AED，DE＝CD， ∴△CGD≌△DAE（SAS）． ∵CF平分∠BCD， ∴∠BCF＝∠DCF， 设∠BCF＝∠DCF＝α， 则∠G＝∠A＝∠BCD＝2α，∠DFC＝90°﹣∠DCF＝90°﹣α， ∴∠GCF＝180°﹣∠G﹣∠DFC＝90°﹣α＝∠DFC， ∴CG＝FG＝DG+DF＝9+6＝15， ∴， ∴BE＝AB﹣AE＝12﹣9＝3． 故答案为：3． 7．平行四边形ABCD周长为52cm，两条对角线AC和BD交于点O，△BOC和△DOC的周长差为6cm，求这个平行四边形的两邻边长． 【解答】解： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BO＝OD（平行四边形的对角线互相平分）， ∵平行四边形ABCD周长为52cm， ∴DC+BC＝26cm， ∵△BOC和△DOC的周长差为6cm， ∴|OB+OC+BC﹣（OD+OC+DC）|＝6， ∴|BC﹣CD|＝6cm， 当BC﹣CD＝6cm时， ∵DC+BC＝26cm， ∴BC＝16cm，DC＝10cm； 当DC﹣BC＝6cm时， ∵DC+BC＝26cm， ∴BC＝10cm，DC＝16cm； 综上所述，这个平行四边形的两邻边长分别为16cm，10cm； 故答案为：16cm，10cm． 8．在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若BD与AC的和为18cm，CD：DA＝2：3，△AOB的周长为13cm，求BC的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴CD＝AB，BC＝DA，OA＝OCAC，OB＝ODBD， ∵BD+AC＝18cm， ∴OB+OA（BD+AC）＝9cm， ∵△AOB的周长为13cm， ∴AB+OB+OA＝AB+9cm＝13cm， ∴CD＝AB＝4cm， ∵CD：DA＝2：3， ∴2DA＝3CD＝12cm， ∴BC＝DA＝6cm， 故答案为：6cm． 9．如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，点E是AD中点，作EF⊥BD于点F，已知AB＝4，AC＝6，求EF的长 ． 【解答】解：如图，连接OE， ∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝6， ∴OAAC＝3，OB＝OD， ∴S△OAD＝S△OABAB•OA4×3＝6， ∵AB⊥AC， ∴∠OAB＝90°， ∴OB5， ∴OD＝5， ∵点E是AD中点， ∴S△OAE＝S△ODE6＝3， ∵EF⊥BD， ∴S△ODEOD•EF＝3， ∴OD•EF＝6， 即5EF＝6， ∴EF， 故答案为：． 10．如图，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BC于E，，AC＝2，BD＝4，求AE的长． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，AC＝2，BD＝4， ∴OA＝OCAC＝1，OB＝ODBD＝2， ∵AB， ∴OA2+AB2＝12+（）2＝4，OB2＝22＝4， ∴OA2+AB2＝OB2， ∴△AOB是直角三角形，且∠BAO＝90°， ∴BC， ∵AE⊥BC于点E，AC⊥AB于点A， ∴S△ABCAE2， ∴AE， 故答案为：． 训练2 平行四边形的性质与角度 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．在平行四边形ABCD中，有两个内角的度数比为1：3，求平行四边形ABCD中较小内角的度数． 【解答】解：∵平行四边形的对角相等， ∴度数比为1：3的两个内角是平行四边形的邻角， 设这两个内角中较小的角是x，则较大的内角是3x， ∵平行四边的邻角互补， ∴x+3x＝180°， ∴x＝45°， ∴平行四边形ABCD中较小内角的度数为45°． 故答案为：45°． 2．在▱ABCD中，AD＝BD，BE是AD边上的高，∠EBD＝20°，求∠C的度数． 【解答】解：根据平行四边形的性质和题意画出图形，分2种情况：①如图1所示 ∵BE是AD边上的高，∠EBD＝20°， ∴∠BDE＝90°﹣20°＝70°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD（180°﹣70°）＝55°， ∴∠C＝∠A＝55°； ②如图2所示：同①得：∠BDE＝70°， ∵AD＝BD， ∴∠A＝∠ABD， ∴∠C＝∠A＝70°÷2＝35°； 上所述：∠C的度数为55°或35°． 3．如图，已知，平行四边形ABCD中，BE⊥CD于E，BE＝AB，∠DAB＝60°，∠DAB的平分线交BC于F，连接EF．求∠EFA的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AFB， ∵AF平分∠∠DAB， ∴， ∴∠BAF＝∠AFB＝30°， ∴AB＝BF， ∵BE＝AB， ∴BE＝BF， ∴∠BEF＝∠BFE， ∵BE⊥CD， ∴∠BEC＝90°， ∵DAB＝60°， ∴∠C＝∠DAB＝60°， ∴∠EBF＝30°， ∴， ∴∠EFA＝∠BFE﹣∠BFA＝45°， 故答案为：45°． 4．如图，在▱ABCD中，点E在边BC上，AB＝BE，作DF⊥AE于点F，若∠ADF＝54°，求∠B的度数． 【解答】解：∵DF⊥AE于点F， ∴∠AFD＝90°， ∴∠ADF＝54°， ∵∠DAE＝90°﹣∠ADF＝36°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC∥AD， ∴∠BEA＝∠DAE＝36°， ∵AB＝BE， ∴∠BAE＝∠BEA＝36°， ∴∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠BEA＝108°， 故答案为：108． 5．在▱ABCD中，O是对角线AC，BD的交点，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若∠DEC＝80°，求∠ACB的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AD∥BC， ∵OE⊥AC， ∴EA＝EC， ∴∠EAC＝∠ECD， ∵∠DEC＝∠EAC+∠ECA＝80°， ∴∠EAC＝∠ACB＝40°． 故答案为：40°． 6．如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边上一点，F为CD边上一点，AE⊥EF，若∠BAE＝45°，∠CEF＝15°，求∠C的度数． 【解答】解：∵AE⊥EF， ∴∠AEF＝90°， ∵∠BAE＝45°，∠CEF＝15°， ∴∠AEB＝180°﹣∠AEF﹣∠CEF＝75°， ∴∠B＝180°﹣∠BAE﹣∠AEB＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠C＝180°﹣∠B＝120°， 故答案为：120°． 7．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为BC边上一点，连接DE，若DE是∠ADC的平分线，∠DEC＝70°，求∠ABC的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ABC＝∠ADC， ∵∠DEC＝70°， ∴∠ADE＝∠DEC＝70°， ∵DE是∠ADC的平分线． ∴∠ADC＝2∠ADE＝140°， ∴∠ABC＝∠ADC＝140°， 故答案为：140°． 8．在平行四边形ABCD中，∠A＝50°，点E在平行四边形的边AD上，连接AE、BE．若△ABE是直角三角形，求∠CBE的度数． 【解答】解：当AE⊥BE时， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB＝90°， ∵ABCD是平行四边形，∠A＝50°， ∴∠ABC＝130°， ∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠A＝180°﹣90°﹣50°＝40°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣ABE＝130°﹣40°＝90°， 当AB⊥BE时， ∵AB⊥BE， ∴∠ABE＝90°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝130°﹣90°＝40°， 故答案为：90°或40°． 9．如图，在平行四边形ABCD中，AD⊥DF交AC于点F，E是AF的中点，且AE＝ED＝CD，∠BCD＝54°，求∠DFE的度数． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵AE＝ED， ∴∠DAC＝∠ADE， ∵∠DEC是△ADE的一个外角， ∴∠DEC＝∠DAC+∠ADE， ∴∠DEC＝2∠DAC＝2∠ACB， ∵DE＝DC， ∴∠DEC＝∠DCE， ∴∠DCE＝2∠ACB， ∵∠BCD＝54°， ∴∠ACB+∠BCD＝54°， ∴3∠ACB＝54°， ∴∠ACB＝18°， ∴∠DAE＝∠ACB＝18°， ∵AD⊥DF， ∴∠ADF＝90°， ∴∠AFD＝90°﹣∠DAE＝72°， 故答案为：72°． 10．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝AE，若AE平分∠DAB，∠EAC＝28°，求∠AED的度数． 【解答】解：∵AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB＝CD＝AE，∠B＝∠ADC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵AE平分∠DAB， ∴∠DAE＝∠BAE， ∴∠B＝∠AEB＝∠BAE， ∵∠B+∠AEB+∠BAE＝180°， ∴∠B＝∠AEB＝∠BAE＝60°＝∠ADC＝∠DAE， ∵∠EAC＝28°， ∴∠BAC＝88°， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝88°， 在△ADC和△DAE中， ， ∴△ADC≌△DAE（SAS）， ∴∠AED＝∠ACD＝88°， 故答案为：88°． 训练3 平行四边形的性质与面积 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在▱ABCD中，M是BC的中点，且AM＝12，BD＝9，AD＝10，求▱ABCD的面积． 【解答】解：作DE∥AM，交BC的延长线于E，则四边形ADEM是平行四边形， ∴DE＝AM＝9，ME＝AD＝10， 又由题意可得，BMBCAD＝5，则BE＝15， 在△BDE中，∵BD2+DE2＝144+81＝225＝BE2， ∴△BDE是直角三角形，且∠BDE＝90°， 过D作DF⊥BE于F， 则DF， ∴S▱ABCD＝BC•FD＝1072． 故答案为：72． 2．如图，在平行四边形ABCD中，点F是BC上一点，BF＝4，CF＝1，点E是CD的中点，AE平分∠DAF，，求△AEF的面积． 【解答】解：延长AE和BC交于点H， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠D＝∠ECH，∠DAE＝∠H， ∵点E是CD的中点， ∴DE＝CE， 在△ADE和△HCE中， ， ∴△ADE≌△HCE（ASA）， ∴AE＝EH， ∵AE平分∠DAF， ∴∠DAE＝∠FAE， ∴∠FAE＝∠H， ∴FA＝FH， ∴FE⊥AH， ∴AD＝BC＝BF+CF＝5， ∴FH＝CH+CF＝CF+AD＝6， 由勾股定理可得，， 由三角形的面积公式可得，△AEF的面积 ， 故答案为：． 3．如图，在▱ABCD中，E，F分别是边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若四边形EPFQ的面积20cm2，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：如图，连接EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴S△AED＝S△AEF， ∴S△AED﹣S△AEP＝S△AEF﹣S△AEP， ∴S△APD＝S△EPF， 同理可得：S△BQC＝S△EQF， ∴阴影的面积＝S△CQB+S△APD＝S△EPF+S△EQF＝S四边形EPFQ＝20cm2， 故答案为：20cm2． 4．如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝17cm2，S△BQC＝27cm2，求阴影部分的面积． 【解答】解：如图，连接EF ∵△ADF与△DEF同底等高， ∴S△ADF＝S△DEF， 即S△ADF﹣S△DPF＝S△DEF﹣S△DPF， 即S△APD＝S△EPF＝17cm2， 同理可得S△BQC＝S△EFQ＝27cm2， ∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ＝17+27＝44cm2． 故答案为：44． 5．如图，E、F为▱ABCD边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF、CE相交于点Q，若，，求四边形EQFP的面积． 【解答】解：连接EF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△BCF， ∴S△EFQ＝S△BCQ， 同理可得S△EFD＝S△ADF， ∴S△EFP＝S△ADP， ∵，， ∴， 故答案为：16． 6．如图，平行四边形ABCD的面积为4．点P在对角线AC上，E、F分别在AB、AD上，且PE∥BC，PF∥CD，连接EF，求图中阴影部分的面积． 【解答】解：如图，设AP交EF于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC， ∵PE∥BC，PF∥CD， ∴AE∥PF，AF∥EP， ∴四边形AEPF是平行四边形， ∴OA＝OP，OE＝OF， ∴S△AEO＝S△PFO， ∴S阴影S▱ABCD4＝2， 故答案为：2． 7．如图，在平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于点E，过点A作AF⊥DC，交DC的延长线于点F，分别交BE，BC于点G，H，若，求△ABE的面积． 【解答】解：过A作AM⊥BC于M，过B作BN⊥DA于N，如图所示： 则BN＝AM， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB， ∵AF⊥DC， ∴AF⊥AB， ∴∠BAF＝90°， ∴BH， ∵AM⊥BC， ∴△ABH的面积BH×AMAB×AH， ∴AM ∴BN， ∴△ABE的面积AE×BN． 故答案为：． 8．如图，P是面积为S的▱ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，求S1+S2．（用含S的代数式表示） 【解答】解：P是面积为S的▱ABCD内任意一点，如果△PAD的面积为S1，△PBC的面积为S2，如图，过点P作EF⊥AD交AD于点E，交BC于点F， ∴AD＝BC， ∴S＝BC•EF，S1，S2， ∵EF＝PE+PF，AD＝BC， ∴S1+S2， 故答案为：． 9．如图，平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，依次连接EB、EC、FC、FD，图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，已知S2＝14、S3＝4、S4＝6，求S1． 【解答】解：平行四边形ABCD中，点E、F分别在AD、AB上，设平行四边形的面积为S，则， 图中阴影部分的面积分别为S1、S2、S3、S4，由图形可知，△CDF面积+△CBE面积+（S1+S4+S3）﹣S2＝平行四边形ABCD的面积， ∵S2＝14、S3＝4、S4＝6， ∴S＝S△CBE+S△CDF+S1+6+4﹣14， 即， 解得S1＝4， 故答案为：4． 10．如图，▱ABCD的面积是32，点E，G在AD上，点F，H在BC上，且EF∥AB，GH∥DC，点M，N在EF上，点P在GH上，求阴影部分的面积． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵EF∥AB，GH∥DC， ∴四边形ABFE，四边形EFHG，四边形GHCD是平行四边形， ∴S△AEM+S△BFM四边形ABFE，S△ENP+S△FNH四边形EFHG的面积，S△CDG四边形GHCD的面积， ∴阴影部分的面积S△AEM+S△BFM+S△ENP+S△FNH+S△CDG四边形ABFE四边形EFHG的面积四边形GHCD的面积▱ABCD的面积， 故答案为：16． 训练4 平行四边形的判定 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．点P、Q、R是平面内不在同一条直线上的三个定点，点M是平面内任意一点，若P、Q、R、M四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点M有　 　 个． 【解答】解：如图，连接PR、PQ、QR， 若以PR为对角线，可作出▱PQRM； 若以PQ为对角线，可作出▱PRQM1； 若以QR为对角线，可作出▱RPQM2， ∴符合条件的点M有3个， 故答案为：3． 2．如图，3×3的方格纸中小正方形的边长为1，A，B两点在格点上，以线段AB为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多有 　 　 个． 【解答】解：在直线AB的右下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，故答案为：5． 3．在平面直角坐标系中，O（0，1）、A（3，0）、B（5，3），点C在第一象限，若以O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为 　 　 ． 【解答】解：∵点C在一象限， ∴分两种情况，如图所示： ①OB为对角线时， 当BC∥OA，BC＝OA时，四边形OABC是平行四边形， ∵O（0，1）、A（3，0）、B（5，3）， ∴把点B向左平移3个单位，再向上平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为（2，4）； ②AB为对角线时， 当BC'∥OA，BC'＝OA时，四边形OAC'B是平行四边形， ∵O（0，1）、A（3，0）、B（5，3）， ∴把点B向右平移3个单位，再向下平移1个单位得到点C， ∴点C的坐标为（8，2）； 综上所述，若以O、A、B、C为顶点的四边形为平行四边形，则点C的坐标为（2，4）或（8，2）， 故答案为：（2，4）或（8，2）． 4．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是（1，3），点A的坐标是（5，0），点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 　 　 ． 【解答】解：如图，点B1，B2即为所求． B1（﹣4，3），B2（4，﹣3）． 故答案为：（﹣4，3）或（4，﹣3）． 5．在平面直角坐标系中A、B、C的坐标分别是（3，5），（﹣2，4），（﹣1，﹣2），要使以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则顶点D的坐标是　 　 ． 【解答】解：在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（3，5），B（﹣2，4），C（﹣1，﹣2），如图： ∵平行四边形的两组对边分别平行且相等， ∴①当AD1∥BC，AB∥CD1时，四边形ABCD1是平行四边形， ∴D1（4，﹣1）； ②当AD2∥BC，D2B∥AC时，四边形AD2BC是平行四边形， ∴D2（2，11）； ③当AB∥CD3，BD3∥AC时，四边形ABD3C是平行四边形， ∴D3（﹣6，﹣3）， 综上所述，顶点D的坐标为（4，﹣1）、（2，11）或（﹣6，﹣3）． 故答案为：（4，﹣1）、（2，11）或（﹣6，﹣3）． 6．如图，平行四边形ABCD中，AB＝8cm，AD＝12cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时点Q也停止运动），当t＝　 时，四边形PDQB为平行四边形． 【解答】解：设经过m秒，以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∵以点P、D、Q、B为顶点组成平行四边形， ∴DP＝BQ， 分为以下情况：①点Q的运动路线是C﹣B，方程为12﹣4t＝12﹣tt 此时方程t＝0； ②点Q的运动路线是C﹣B﹣C，方程为4t﹣12＝12﹣t， 解得：t＝4.8； ③点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B，方程为12﹣（4t﹣24）＝12﹣t， 解得：t＝8； ④点Q的运动路线是C﹣B﹣C﹣B﹣C，方程为4t﹣36＝12﹣t 解得：t＝9.6； 综上所述，t＝4.8s或8s或9.6s时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形， 故答案为：0s或4.8s或8s或9.6s． 7．如图，在梯形ABCD中，AD＝8，BC＝12．点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→D运动，同时点Q从点C出发，以每秒4个单位长度的速度沿C→B→C→…往复运动，当点P到达端点D时，点Q随之停止运动．设点P，Q的运动时间为ts，在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为　 　 ． 【解答】解：∵四边形ABCD是梯形， ∴AD∥BC， ∴当PD＝QC时，四边形PQCD是平行四边形， 当Q从C出发到B的运动过程中， ∵PD＝8﹣t，QC＝4t， ∴8﹣t＝4t， ∴t； 当Q从C出发到B后返回C的运动过程中， ∵PD＝8﹣t，QC＝12×2﹣4t， ∴8﹣t＝24﹣4t， ∴t； 当Q再次从C出发到B的过程中， ∵PD＝8﹣t，QC＝4t﹣12×2， ∴8﹣t＝4t﹣24， ∴t， 综上所述：在此运动过程中当四边形PQCD为平行四边形时，t的值为或或． 故答案为：或或． 8．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝16cm，BC＝21cm，CD＝13cm．动点P从点B出发，沿射线BC以每秒3cm的速度运动．动点Q同时从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动；当动点Q到达点D时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t秒，当以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为 　 　 ． 【解答】解：由题意QD∥CP，当DQ＝PC时，点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形， 则有16﹣t＝21﹣3t或16﹣t＝3t﹣21， 解得t＝2.5或． 故答案为：2.5或． 9．如图，在平面直角坐标系中，E是BC的中点，已知A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4），点P是线段BC上的一个动点，当BP的长为 　 　 时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形． 【解答】解：∵A（0，4），B（﹣2，0），C（8，0），D（4，4）， ∴AD∥BC，AD＝4，OB＝2，OC＝8， ∴BC＝10， ∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC10＝5， 当EP＝AD＝4时，以点P、A、D、E为顶点的四边形是平行四边形， 分两种情况： ①当点P在点E的左侧时，BP＝BE﹣EP＝5﹣4＝1； ②当点P在点E的右侧时，BP＝BE+EP＝5+4＝9； 综上所述，当BP的长为1或9时，以点P，A，D，E为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：1或9． 10．如图，在▱ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，点P在AD边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动．点Q在BC边上以每秒4cm的速度从点C出发，在CB之间往返运动．两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止运动），设运动时间为t秒．当5＜t＜10时，运动时间t＝　 　 时，以P、D、Q、B为顶点的四边形是平行四边形． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 当5＜t时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，CQ＝（4t﹣20）cm，BQ＝（30﹣4t）cm， ∴10﹣t＝30﹣4t， 解得：t； 当t≤10时，AP＝tcm，PD＝（10﹣t）cm，BQ＝（4t﹣30）cm， ∴10﹣t＝4t﹣30， 解得：t＝8． 综上所述：当运动时间为秒或8秒时，以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形． 故答案为：秒或8秒． 训练5 平行四边形的判定与性质 建议用时：15分钟 实际用时： 分钟 1．如图，在平行四边形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，AE＝CF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）当BE⊥EF时，BE＝8，BF＝10，AC＝12，求AE的长． 【解答】（1）证明：如图，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，交AC于点O， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， ∴BD，EF互相平分， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：∵BE⊥EF， ∴△BEF是直角三角形， ∵BE＝8，BF＝10， 由勾股定理得：， ∵AC＝12， ∴AE+CF＝AC﹣EF＝6， ∵AE＝CF， ∴． 2．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E，F分别是OA和OC的中点． （1）求证：四边形DEBF是平行四边形． （2）若四边形DEBF的面积为2，求▱ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵E、F分别是OA、OC的中点， ∴，， ∴OE＝OF， ∴四边形DEBF是平行四边形； （2）解：∵点E是OA的中点， ∴S△AOD＝2S△DOE，S△AOB＝2S△BOE， 同理得：S△COD＝2S△DOF，S△BOC＝2S△BOF， ∵S▱DEBF＝S△DOE+S△BOE+S△DOF+S△BOF， S▱ABCD＝S△AOD+S△AOB+S△COD+S△BOC， ∴S▱ABCD＝2S▱DEBF＝2×2＝4． 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，延长DC到点E，使CE＝CD．过点E作EF∥AD交AC的延长线于点F，连接AE，DF． （1）求证：四边形ADFE是平行四边形； （2）过点E作EG⊥DF于点G，若BD＝2，AE＝6，求EG的长． 【解答】（1）证明：∵EF∥AD， ∴∠FEC＝∠ADC， 又∵CE＝CD，∠FCE＝∠ACD， ∴△FCE≌△ACD（ASA）， ∴EF＝AD， ∴四边形ADFE是平行四边形； （2）解：如图， 由（1）可知，四边形ADFE是平行四边形， ∴DF＝AE＝6， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴CD＝BD＝2， ∴CE＝CD＝2， ∴DE＝2CD＝4， ∵EF∥AD， ∴EF⊥BC， ∴∠DEF＝90°， ∴EF2， ∵EG⊥DF， ∴S△DEFDF•EG•EF， ∴EG， 即EG的长为． 4．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高．点E在AB延长线上，连接ED，且ED＝AD，过A作AF⊥AB交ED的延长线于点F，连接BF，CF，CE． （1）求证：四边形BECF为平行四边形； （2）若AB＝2，求四边形BECF的周长． 【解答】（1）证明：∵AD是等边△ABC的BC边上的高， ∴BD＝DC， ∠BAD＝∠CAD＝30°， ∵ED＝AD， ∴∠AED＝30°， ∴∠ADF＝60°， ∵AF⊥AB， ∴∠DAF＝90°﹣∠EAD＝90°﹣30°＝60°， ∴△ADF为等边三角形， ∴AD＝DF， ∵ED＝AD， ∴ED＝DF， ∵BD＝DC， ∴四边形BECF为平行四边形； （2）解：∵AB＝2， ∴． ∵△ADF为等边三角形， ∴， ∴， ∵∠ABC＝60°，∠AED＝30°， ∴∠BDE＝30°， ∴BE＝BD＝1， ∴四边形BECF的周长为． 5．如图，在▱ABCD中，点E是CD延长线上的一点，连接AE，∠EAD＝∠DBC，BE交AD于点F． （1）求证：四边形ABDE为平行四边形； （2）若∠BAD＝4∠EAD，∠BDC＝50°，求∠C的度数． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ADB＝∠DBC， ∵∠EAD＝∠DBC， ∴∠EAD＝∠ADB， ∴AE∥BD， 又∵AB∥DE， ∴四边形ABDE是平行四边形． （2）解：∵∠BDC＝50°， ∴∠BDE＝180°﹣50°＝130°， ∵四边形ABDE是平行四边形， ∴∠BAE＝∠BDE＝130°， ∵∠BAD＝4∠EAD， ∴∠EAB＝5∠DAE＝130°， ∴∠DAE＝26°， ∴∠DBC＝26°， ∴∠C＝∠BDE﹣∠DBC＝104°． 6．如图，在四边形ABCD中，点P在边AB上，连接CP，交BD于点Q，AD＝CP，∠BQC+∠ADB＝180°． （1）求证：四边形ADCP为平行四边形． （2）连接AC，若AB⊥BC，CD＝5，BP＝3，BC＝6，求AC的长． 【解答】（1）证明：∵∠BQC＝∠PQD，∠BQC+∠ADB＝180°， ∴∠PQD+∠ADB＝180°， ∴AD∥CP， 又∵AD＝CP， ∴四边形ADCP为平行四边形； （2）解：∵四边形ADCP为平行四边形，CD＝5， ∴CD＝AP＝5， ∵BP＝3， ∴AB＝AP+BP＝8， ∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC10， 即AC的长为10． 7．在平行四边形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点E在边BC上，EO的延长线与边AD交于点F，连接BF、DE． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）若∠CBD＝45°，DE＝DC＝6，CE＝4，求BE的长． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CB∥AD， ∴∠OEB＝∠OFD， ∵点O是对角线BD的中点， ∴OB＝OD， 在△BOE和△DOF中， ， ∴△BOE≌△DOF（AAS）， ∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形． （2）解：作DH⊥CB于点H，则∠BHD＝90°， ∵∠CBD＝45°， ∴∠HDB＝∠CBD＝45°， ∵DE＝DC＝6，CE＝4， ∴EH＝CHCE＝2， ∴BH＝DH4， ∴BE＝BH﹣EH＝42， ∴BE的长是42． 8．如图，在▱ABCD中，BD为对角线，过点A作AF⊥BD交BD于点M，交BC于点F，过点C作CE⊥BD交BD于点N，交AD于点E． （1）求证：四边形AFCE是平行四边形； （2）若AM＝3，CD＝5，∠ADB＝30°，求平行四边形ABCD的面积． 【解答】（1）证明：∵AF⊥BD交BD于点M，交BC于点F，CE⊥BD交BD于点N，交AD于点E， ∴AF∥CE， ∵四边形ABCD是平行四边形，点F在CB上，点E在AD上， ∴CF∥AE， ∴四边形AFCE是平行四边形． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝AB，CB＝AD， 在△CDB和△ABD中， ， ∴△CDB≌△ABD（SSS）， ∵∠AMB＝∠AMD＝90°，∠ADB＝30°，AB＝CD＝5，AM＝3， ∴BM4，AD＝2AM＝6， ∴DM3， ∴BD＝BF+DM＝4+3， ∵S△CDB＝S△ABDBD•AM， ∴S▱ABCD＝S△CDB+S△ABD＝2S△ABD＝BD•AM＝（4+3）×3＝12+9， ∴平行四边形ABCD的面积为12+9． 9．如图，在▱ABCD中，BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC，交AC于点E、F，连接DE，BF． （1）求证：四边形BEDF是平行四边形； （2）过点E作EH⊥AB，垂足为H．若▱ABCD的周长为18，EH＝2，求△ABC的面积． 【解答】（1）证明：连接BD，交AC于点O，如图1所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，∠ABC＝∠CDA， ∴∠BAE＝∠DCF， ∵BE、DF分别平分∠ABC、∠ADC， ∴∠ABE∠ABC，∠CDF∠CDA， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（ASA）， ∴AE＝CF， ∴OA﹣AE＝OC﹣CF， ∴OE＝OF， 又∵OB＝OD， ∴四边形BEDF是平行四边形； （2）解：过点E作EP⊥BC于点P，如图2所示： ∵BE平分∠ABC，EH⊥AB，EH＝2， ∴EP＝EH＝2， ∵▱ABCD的周长为18， ∴2（AB+BC）＝18， ∴AB+BC＝9， ∵S△ABEAB•EH＝AB，S△BCEBC•EP＝BC， ∴S△ABC＝S△ABE+S△BCE＝AB+BC＝9． 10．如图，在△ABC中，F是AB上一点，连接CF，过点A作AD∥FC，E是AC的中点，连接FE并延长，交AD于点D，连接CD． （1）求证：四边形AFCD是平行四边形． （2）若，BF＝1，∠DCB＝135°，请直接写出FC的长度． 【解答】（1）证明：∵E是AC的中点， ∴AE＝CE， ∵AD∥FC， ∴∠DAE＝∠FCE． 在△DAE和△FCE 中， ， ∴△DAE≌△FCE（ASA）， ∴AD＝CF， ∴四边形AFCD是平行四边形； （2）解：∵四边形AFCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠DCB＝180°， ∵∠DCB＝135°， ∴∠B＝45°， 过点F作FH⊥BC于H， ∴∠BFH＝45°＝∠B， ∴BH＝FH， 在Rt△BFH中，BF＝1，BH2+FH2＝BF2， ∴2BH2＝1， ∴BH＝FH， ∴CH＝BC﹣BH＝4， 在Rt△CFH中，FC2＝FH2+CH2， ∴FC5． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $